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500 多年前 数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分 数 直到有一天 大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生 在研究 1 和2 的比例中项时 若 1 x x 2 那么 x 叫 1 和 2 的比例 中项 他怎么也想不出这个比例中项值 后来 他画了一个边长为 1 的正方形 设对角线为 x 于是由毕达哥拉斯定理 x2 12 12 2 他 想 x 代表对角线的长 而 x2 2 那么 x 必定是确定的数 这时他 又为自己提出了几个问题 1 x 是整数吗 为什么不是 2 x 可能是分数吗 是 能找出来吗 不是 能说出理由吗 亲爱的同学 你能帮他解答这些问题吗 怎样估算怎样估算的近似值 的近似值 31 估算的近似值 可以按照如下顺序 31 1 因为 所以的值应在 5 与 6 之间 等于 5 加上一个纯小数 363125 31 2 设 平方得 由于是纯小数 所以就更小了 在估315a 2 3125 10aa a 2 a 算的值时可以忽略不计 则估计 解得 这样就得到313125 10 a 0 6a 了的第一个近似值 5 6 31 3 依此类推 可以再设 平方得可忽略不315 6b 22 3131 36 11 2 bb b 计 求出得到第 2 个估计值 照此下去 还可以求得0 03 b 5 60 035 57 精确到小数点后面第三位 第四位 的近似值 31 你能用这种方法求的近似值吗 试一试 21 拓展训练拓展训练 设半径为 a 的圆面积为 20 1 a 是有理数吗 说说你的理由 2 估计 a 的值 精确到十分位 并利用计算器验证你的估计 3 如果精确到百分位呢 解 a2 20 a2 20 1 a 不是有理数 因为 a 既不是整数 也不是分数 而是无限不循环小 数 2 估计 a 4 4 3 a 4 47 请你算一算请你算一算 在某项工程中 需要一块面积为 3 平方米的正方形钢板 应该如何划线 下 料呢 要解决这个问题 必须首先求出正方形的边长 那么 请你算一算 1 如果精确到十分位 正方形的边长是多少 2 如果精确到百分位呢 答案答案 1 1 7 米 2 1 73 米 课后探究 读一读 你有何收获课后探究 读一读 你有何收获 24 25 吗 小明自豪地对同学说 我可以证明 24 25 同学们都觉得是天方夜谭 小明取一张方格纸如下图 1 如图将它剪开 然后拼成图 2 的正方形 同学们 数了一下 图 1 有 24 个方格 图 2 变成了 25 个方格 这把同学们都搞闷了 你能 揭穿他的骗术吗 你想出来了吗 你想出来了吗 事实上 3 4 两块并不密切合缝 拼成的正方形缺少了图中的阴影部分 开卷有益 开卷有益 是谁最早使用符号表示圆周率 无理数表示圆周率 是从什么时候开始用表示圆周率的呢 为什么用字 母呢 1600 年英国的威廉 奥托兰特 Willian Oughtred 首先使用表示圆周率 他的理由是 因为是希腊文圆周的第一个字母 奥托兰特用它表示圆周长 而 是希腊文直径的第一个字母 奥托兰特用它表示直径 根据圆周率 理解为圆周率 但在推求圆周率的过程中 人们常选用直径为 1 的 圆周长 直径 圆 即设 1 于是就等于了