2014中考数学一轮复习学案：第19讲矩形、菱形和正方形

第 1 页 共 10 页 第第 1919 讲讲 矩形 菱形和正方形矩形 菱形和正方形 考纲要求 1 掌握平行四边形与矩形 菱形 正方形之间的关系 2 掌握矩形 菱形 正方形的概念 判定和性质 3 灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明 命题趋势 特殊的平行四边形是中考的重点内容之一 常以选择题 填空题 计算题 证明题的 形式出现 也常与折叠 平移和旋转问题相结合 出现在探索性 开放性的题目中 考点探究 考点一 矩形的性质与判定 例 1 如图 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上 端点除外 的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的平分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 连接 AE AF 那么当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 分析 分析 判定一个四边形是矩形 可以先判定四边形是平行四边形 再找一个内角是直 角或说明对角线相等 解 解 当点 O 运动到 AC 的中点 或 OA OC 时 四边形 AECF 是矩形 证明 CE 平分 BCA 1 2 又 MN BC 1 3 3 2 EO CO 同理 FO CO EO FO 又 OA OC 四边形 AECF 是平行四边形 又 1 2 4 5 1 5 2 4 又 1 5 2 4 180 2 4 90 即 ECF 90 四边形 AECF 是矩形 第 2 页 共 10 页 方法总结方法总结 矩形的定义既可以作为性质 也可以作为判定 矩形的性质是求证线段或 角相等时常用的知识点 证明一个四边形是矩形的方法 1 先证明它是平行四边形 再证 明它有一个角是直角 2 先证明它是平行四边形 再证明它的对角线相等 3 证明有三个 内角为 90 触类旁通触类旁通 1 如图 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠 点 C 落在点 E 处 BE 交 AD 于点 F 连接 AE 求证 1 BF DF 2 AE BD 考点二 菱形的性质与判定 例 2 如图 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O DE AC CE BD 1 求证 四边形 OCED 是菱形 2 若 ACB 30 菱形 OCED 的面积为 8 求 AC 的长 3 分析 分析 1 先证明四边形 OCED 是平行四边形 然后证明它的一组邻边相等 2 因为 DOC 是等边三角形 根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长 从而求出 AC 的长 解 解 1 证明 DE OC CE OD 四边形 OCED 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 AO OC BO OD 四边形 OCED 是菱形 2 ACB 30 DCO 90 30 60 又 OD OC OCD 是等边三角形 过 D 作 DF OC 于 F 则 CF OC 1 2 设 CF x 则 OC 2x AC 4x 第 3 页 共 10 页 在 Rt DFC 中 tan 60 DF FC DF FC tan 60 x 3 由已知菱形 OCED 的面积为 8得 OC DF 8 即 2x x 8 解得 3333 x 2 AC 4 2 8 方法总结方法总结 菱形的定义既可作为性质 也可作为判定 证明一个四边形是菱形的一般方 法 1 四边相等 2 首先证明是平行四边形 然后证明有一组邻边相等 3 对角线互相垂 直平分 4 对角线垂直的平行四边形 触类旁通触类旁通 2 如图 在ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 O 作直线 EF BD 分别交 AD BC 于点 E 和点 F 求证 四边形 BEDF 是菱形 考点三 正方形的性质与判定 例 3 如图 在正方形 ABCD 中 E F G H 分别为边 AB BC CD DA 上的 点 HA EB FC GD 连接 EG FH 交点为 O 1 如图 连接 EF FG GH HE 试判断四边形 EFGH 的形状 并证明你的结论 2 将正方形 ABCD 沿线段 EG HF 剪开 再把得到的四个四边形按图 的方式拼接成 一个四边形 若正方形 ABCD 的边长为 3 cm HA EB FC GD 1 cm 则图 中阴影 部分的面积为 cm2 分析 分析 根据题目的条件可先证 AEH BFE CGF DHG 四个三角形全等 证 得四边形 EFGH 的四边相等 然后由全等再证一个角是直角 解 解 1 四边形 EFGH 是正方形 证明 四边形 ABCD 是正方形 A B C D 90 AB BC CD DA HA EB FC GD AE BF CG DH AEH BFE CGF DHG EF FG GH HE 第 4 页 共 10 页 四边形 EFGH 是菱形 由 DHG AEH 知 DHG AEH AEH AHE 90 DHG AHE 90 GHE 90 菱形 EFGH 是正方形 2 1 方法总结方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑 1 平行四边形 一组 邻边相等 一个角为直角 定义法 2 矩形 一组邻边相等 3 矩形 对角线互 相垂直 4 菱形 一个角为直角 5 菱形 对角线 相等 经典考题经典考题 1 2013 成都 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 下列说法错误的 是 A AB DC B AC BD C AC BD D OA OC 2 2013 滨州 若菱形的周长为 8 cm 高为 1 cm 则菱形两邻角的度数比为 A 3 1 B 4 1 C 5 1 D 6 1 3 2013 泰州 下列四个命题 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱 形 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 其中真命题共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 2013 苏州 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O CE BD DE AC 若 AC 4 则四边形 CODE 的周长是 A 4 B 6 C 8 D 10 5 2013 贵州 以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点 引两条相互垂直的射线 分别 第 5 页 共 10 页 与正方形的边交于 A B 两点 则线段 AB 的最小值是 6 2013 山东 如图 点 A F C D 在同一直线上 点 B 和点 E 分别在直线 AD 的 两侧 且 AB DE A D AF DC 1 求证 四边形 BCEF 是平行四边形 2 若 ABC 90 AB 4 BC 3 当 AF 为何值时 四边形 BCEF 是菱形 模拟预测模拟预测 1 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A 对角线互相垂直 B 对角线相等 C 对角线互相平分 D 对角互补 2 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 互相垂直 则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是 A BA BC B AC BD 互相平分 C AC BD D AB CD 3 已知四边形 ABCD 中 A B C 90 如果添加一个条件 即可推出该四 边形是正方形 那么这个条件可以是 A D 90 B AB CD C AD BC D BC CD 4 如图 四边形 ABCD 为矩形纸片 把纸片 ABCD 折叠 使点 B 恰好落在 CD 边的 中点 E 处 折痕为 AF 若 CD 6 则 AF 等于 第 6 页 共 10 页 A 4 B 3 33 C 4 D 8 2 5 如图 两条笔直的公路 l1 l2相交于点 O 村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工 厂 A B D 已知 AB BC CD DA 5 千米 村庄 C 到公路 l1的距离为 4 千米 则村 庄 C 到公路 l2的距离是 第 5 题图 A 3 千米 B 4 千米 C 5 千米 D 6 千米 6 如图 四边形 ABCD 是正方形 延长 AB 到 E 使 AE AC 则 BCE 的度数是 第 6 题图 7 如图 EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O 且分别交 AB CD 于 E F 那么阴影 部分的面积是矩形 ABCD 面积的 第 7 题图 8 如图 点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点 点 M N 分别是 AB BC 边上的中点 MP NP 的最小值是 第 7 页 共 10 页 第 8 题图 9 如图 1 所示 在正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 MN DM 且交 CBE 的平分线于点 N 1 求证 MD MN 2 若将上述条件中 M 是 AB 的中点 改为 M 是 AB 上任意一点 其余条件不变 如图 2 所示 则结论 MD MN 还成立吗 若成立 给出证明 若不成立 请说明理由 参考答案参考答案 考点探究 触类旁通触类旁通 1 证明 1 在矩形 ABCD 中 AD BC AD BC 1 2 2 3 1 3 BF DF 2 AD BC BE BF DF AF EF AEB EAF AFE BFD 1 3 AEB 3 AE BD 触类旁通触类旁通 2 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 第 8 页 共 10 页 AD BC OB OD EDO FBO OED OFB OED OFB DE BF 又 DE BF 四边形 BEDF 是平行四边形 EF BD 四边形 BEDF 是菱形 经典考题经典考题 1 B 因为菱形的对边平行且相等 所以 A 正确 对角线互相平分且垂直 但不一定 相等 所以 C D 正确 B 错误 2 C 根据已知可得到菱形的边长为 2 cm 从而可得到高所对的角为 30 相邻的角 为 150 则该菱形两邻角度数比为 5 1 故选 C 3 B 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题 对角线互 相垂直且相等的四边形是正方形是假命题 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 是真命题 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题 故选 B 4 C CE BD DE AC 四边形 CODE 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩 形 AC BD 4 OA OC OB OD OD OC AC 2 四边形 CODE 是菱形 1 2 四边形 CODE 的周长为 4OC 4 2 8 故选 C 5 如图 2 四边形 CDEF 是正方形 OCD ODB 45 COD 90 OC OD AO OB AOB 90 COA AOD 90 AOD DOB 90 COA DOB 在 COA 和 DOB 中 有Error COA DOB OA OB AOB 90 AOB 是等腰直角三角形 由勾股定理得 AB OA 要使 AB 最小 只需 OA 取最小值即可 OA2 OB22 根据垂线段最短 OA CD 时 OA 最小 第 9 页 共 10 页 此时 OA CF 1 即 AB 1 22 6 解 解 1 证明 AF DC AF FC DC FC 即 AC DF 又 A D AB DE ABC DEF BC EF ACB DFE BC EF 四边形 BCEF 是平行四边形 2 若四边形 BCEF 是菱形 连接 BE 交 CF 于点 G BE CF FG CG ABC 90 AB 4 BC 3 AC AB2 BC2 5 42 32 BGC ABC 90 ACB BCG ABC BGC 即 CG FC 2CG BC AC CG BC 3 5 CG 3 9 5 18 5 AF AC FC 5 18 5 7 5 因此 当 AF 时 四边形 BCEF 是菱形 7 5 模拟预测模拟预测 1 A 2 B 3 D 4 A 点 E 是 CD 的中点 DE CE CD 3 1 2 四边形 ABCD 是矩形 AB CD 6 由折叠性质可知 AE AB 6 BF EF 在 Rt ADE 中 AD 3 AE2 DE23 BC 3 设 CF x BF EF 3 x 33 在 Rt CEF 中 3 x 2 x2 32 3 x BF 2 在 Rt ABF 中 AF 4 333 第 10 页 共 10 页 5 B 6 22 5 7 1 4 8 1 在 DC 上找 N 点关于 AC 的对称点 N 连接 MN 则 MN 的长即为 MP NP 的 最小值 此时 MN AD 1 9 分析 1 证 MD MN 可证它们所在的三角形全等 易知 MN 在钝角 MBN 中 而 MD 在直角 AMD 中 显然需添加辅助线构造全等三角形 由 MBN 的特征想到可在 AD 上取 AD 的中点 F 构造 MDF NMB 2 可参照第 1 题的方法 1 证明 取 AD