复数的几何意义和三角形式

南京商南京商业业学校教案学校教案 授授课课日期日期2015 年年 月 日第 周时时 数数 课课型型新课 课题课题 17 3 复数的几何意义和三角形式 教学教学 目目标标 知识目标 知识目标 了解复平面的概念 掌握复数的几何表示和向量表 示 理解复数的模 辐角及辐角主值的概念 掌握 复数的三角形式及其特征 能力目标 能力目标 会在复平面内描出表示复数的点及向量 会求复数 的模和辐角 和辐角主值 特殊角 会进行复数的 三角形式与代数形式的互化 情感目标 情感目标 培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想 教学重点教学重点 用复平面上的点 向量和三角形式表示复数 复数的模和辐角 辐角主值的概念 教学教学难难点点 复数几何表示法的理解 复数几种表示形式的互化 复数辐 角的求法 教学教学资资源源课本 教学参考书 学习指导书 网络 教法与学法教法与学法 教师启发 引导 学生自主阅读 思考 讨论 交流学习成果 学情分析学情分析 含更新 含更新 补补 充 充 删节删节内容 内容 复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式 复数的向 量表示学生不易理解的 教学时要充分揭示复数与向量之间的 关系 并借助向量进一步加强学生对复数的理解 板板书书 设计设计 17 3 复数的几何意义和三角形式 1 复平面 例 1 例 3 2 复数的几何表示 3 复数的向量表示 例 2 4 复数的三角形式 教后教后记记 教学程序和教学内容 包括教学程序和教学内容 包括课课外作外作业业和板和板书设计书设计 师师生活生活动动 一 引入新课 根据复数的定义 复数表示为的形式 Rb abiaz 我们把这种形式叫做复数的代数形式 复数还有其他表现形式吗 这些表示形式之间有什么关系 二 讲授新课 1 复平面 在平面上建立直角坐标系 横轴 纵轴上的坐标分别表 xOy 示复数的实部和虚部 这样的平面叫做复平面 其中横轴叫做实 轴 纵轴叫做虚轴 2 复数的几何表示 有序实数对 与直角坐标系内的点一一对应的 由复数 b a 代数形式可以知道 任何一个复数 biaz Rb abiaz 都可以有一个有序的实数对 唯一确定 即复数 b a 图 1 与有序实数对 之间一一对应 由此可知 复数 biaz b a 与复平面内的点之间是一一对应的 如图 1 所 biaz b aZ 示 即任何复数都可以用复平面内的点来表 biaz b aZ 示 我们把这种表示形式叫做复数的几何表示 想一想 实数 纯虚数 虚数表示的点分别在复平面的什么位置 复平面内 表示实数的点都在实轴上 表示纯虚数的点都在虚 轴上 表示非纯虚数的点分别在四个象限内 3 复数的向量表示 直角坐标系内的点与始点在原点的向量 b aZ 是一一对应的 因此 复数也与向量 b aOZ biaz 一一对应 其中复数 0 对应零向量 任何复数 b aOZ 可以表示为复平面内以原点为起点的向量 我们 biaz OOZ 把这种表示像是叫做复数的向量表示法 r 学生思考并回答 y Z b a O x b a 教学程序和教学内容 包括教学程序和教学内容 包括课课外作外作业业和板和板书设计书设计 师师生活生活动动 把复数表示为向量 那么把向量的 biaz b aOZ OZ 模 长度 叫做复数的模 记作 biaz z 由图 2 容易得到 特别地 时 22 babia 0 b 是实数 它的模就等于 bia a 复数的模有以下性质 复数的模是一个非负实数 即 z 互为共轭复数的两个复数的模相等 即 0 z z 必须注意 两个不全是实数的复数不能比较大小 但是它们 的模可以比较大小 以轴的正半轴为始边 向量所在的射线为终边的角称 xOZ 为复数的辐角 它表示向量的方向 复数 0 的辐角是 bia OZ 任意的 一个不等于零的复数的辐角不唯一 这些值相差的 bia 2 整数倍 即若是复数的一个辐角 那么也是 z Zkk 2 复数的辐角 我们把复数在内的辐角叫做辐角的主值 z 20 记作 zarg 想一想 实数 纯虚数的三角形式分别是什么 由图 2 可知 复数的辐角主值所 0 abiazzarg 在的象限与复数相对应的点所在的象限相同 并 biaz b aZ 且 a b tan 例 1 求下列复数的模和辐角主值 1 2 i 1i 3 解 1 2111 22 i 又 1 点 1 1 在第一象限 所以 a b tan 4 1 iarg 2 2133 22 i 学生思考并回答 师生共同完成 学生讨论并回答 图 1 图 2 教学程序和教学内容 包括教学程序和教学内容 包括课课外作外作业业和板和板书设计书设计 师师生活生活动动 有 点 在第四象限 所以 3 1 tan 13 6 11 6 23 iarg 想一想 怎样求复数的辐角 iz43 4 复数的三角形式 如图 2 所示 设复数的模为 辐角为 则 bia r sinrb cosra 于是 bia sinicosrsinircosr 我们把复数的表示形式称为复数的三角 sinicosrz 形式 这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数 复数 的三角形式仍然是 0 z0 z 想一想 复数的三角形式有哪些特征 下列各式是复数的三角形 式吗 1 2 cossini 30302sinicos 3 66 5 5 sinicos 复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化 把复数的代 数形式转化为三角形式时 通常取为复数的辐角主值 例 2 把下列复数转化为代数形式 1 6 5 6 5 4 sinicos 2 00 45452 sinicos 解 1 6 5 6 5 4 sinicos ii232 2 1 2 3 4 2 00 45452 sinicos ii 1 2 2 2 2 2 例 3 把下列复数转化为三角形式 学生讨论并回答 复数的三角形式 有三个特征 模 r 括号0 内的实部是余弦 虚部是正弦 且 是同一个辐角值 的正弦和余弦 三个特征中只要 有一个不满足 则表达式就不是 复数的三角形式 师生共同完成例 2 和例 3 教学程序和教学内容 包括教学程序和教学内容 包括课课外作外作业业和板和板书设计书设计 师师生活生活动动 1 1 2 3 i2 i 3 解 1 1 辐角主值为 所 22 01 r 1arg 以 1 sinicos 2 辐角主值为 所以 220 22 r 2 2 iarg i2 22 2 sinicos 3 由和点 213 22 r3 3 3 1 tan 在第四象限 得 13 6 11 6 23 iarg 所以 i 3 6 11 6 11 2 sinicos 想一想 怎样把复数表示成三角形式 iz43 复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤 biaz 是 求复数的模 由及点所在象 22 bar a b tan b a 限求出复数的一个辐角 一般情况下 只须求出复数的辐角主值 即可 写出复数的三角形式 三 课堂练习 课本 P64 练习 1 2 四 课堂小结 1 复数与复平面内的点及向量一一对应 2 复数的模 辐角及辐角主值 3 复数三角形式的三个特征及复