数学物理方程第一章答案

第一章第一章 1 方程的导出 定解条件方程的导出 定解条件 1 细杆 或弹簧 受某种外界原因而产生纵向振动 以 u x t 表 示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移 假设振 动过程发生的张力服从虎克定律 试证明满足方程 txu x u E xt u x t 其中为杆的密度 为杨氏模量 E 证 在杆上任取一段 其中两端于静止时的坐标分别为 与x 现在计算这段杆在时刻 的相对伸长 在时刻 这段杆 xx tt 两端的坐标分别为 txxuxxtxux 其相对伸长等于 txxu x xtxuxtxxuxx x 令 取极限得在点的相对伸长为 由虎克0 xx x u tx 定律 张力等于 txT txuxEtxT x 其中是在点的杨氏模量 xEx 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端 xS xxx 的力分别为 x uxSxE x uxxSxxEtx txx 于是得运动方程 tt uxxsx x ESutx xxxx xESuxx 利用微分中值定理 消去 再令得x 0 x tt uxsx x x ESu 若常量 则得 xs 2 2 t u x x u xE x 即得所证 2 在杆纵向振动时 假设 1 端点固定 2 端点自由 3 端点固定在弹性支承上 试分别导出这三种情况下所对应的边界条 件 解 1 杆的两端被固定在两点则相应的边界条lxx 0 件为 0 0 0 tlutu 2 若为自由端 则杆在的张力lx lx 等于零 因此相应的边界条件为 x u xEtlT lx x u 0 lx 同理 若为自由端 则相应的边界条件为 0 x x u 0 0 x 3 若端固定在弹性支承上 而弹性支承固定于某lx 点 且该点离开原来位置的偏移由函数给出 则在端 tvlx 支承的伸长为 由虎克定律有 tvtlu x u E tvtluk lx 其中为支承的刚度系数 由此得边界条件k 其中 u x u tf lx E k 特别地 若支承固定于一定点上 则得边界条件 0 tv u x u 0 lx 同理 若端固定在弹性支承上 则得边界条件0 x x u E 0 0 tvtuk x 即 u x u 0 tf x 3 试证 圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 2 22 1 1 t u h x x u h x x E 其中为圆锥的高 如图 1 h 证 如图 不妨设枢轴底面的半径为 1 则x 点处截面的半径 为 l h x l 1 所以截面积 利用第 1 题 得 2 1 h x xs 1 1 2 2 2 2 x u h x E xt u h x x 若为常量 则得ExE 2 2 22 1 1 t u h x x u h x x E 4 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定 在它本身重力作 用下 此线处于铅垂平衡位置 试导出此线的微小横振动方程 解 如图 2 设弦长为 弦的线密度为 则点处的张l x 力为 xT xlgxT 且的方向总是沿着弦在点处的切线方向 仍以表 xTx txu 示弦上各点在时刻 沿垂直于轴方向的位移 取弦段tx 则弦段两端张力在轴方向的投影分别为 xxx u sin sin xxxxlgxxlg 其中表示方向与轴的夹角 x xTx 又 sin x u tg 于是得运动方程 x u xxl t u x 2 2 x u xlg xx g x 利用微分中值定理 消去 再令得x 0 x 2 2 x u xl x g t u 5 验证 在锥 222 1 yxt tyxu 0 中都满足波动方程 222 yxt 证 函数 2 2 2 2 2 2 y u x u t u 在锥 0 内对变量 222 1 yxt tyxu 222 yxt 有tyx 二阶连续偏导数 且 tyxt t u 2 3 222 2 2 5 222 2 3 222 2 2 3 tyxtyxt t u 2 222 2 3 222 yxtyxt xyxt x u 2 3 222 2 2 5 222 2 3 222 2 2 3xyxtyxt x u 222 2 5 222 2yxtyxt 同理 222 2 5 222 2 2 2yxtyxt y u 所以 2 2 2 222 2 5 222 2 2 2 2 t u yxtyxt y u x u 即得所证 6 在单性杆纵振动时 若考虑摩阻的影响 并设摩阻力密度涵数 即单 位质量所受的摩阻力 与杆件在该点的速度大小成正比 比例系数设为 b 但方向相反 试 导出这时位移函数所满足的微分方程 解 利用第 1 题的推导 由题意知此时尚须考虑杆段 上所受的摩阻力 由题设 单位质量所受摩阻力为 xxx 故上所受摩阻力为 t u b xxx t u xxsxpb 运动方程为 t u xxsxbx x u ES t u ES t u xxsx xx 2 2 利用微分中值定理 消去 再令得x 0 x 2 2 t u xsxb x u ES xt u xsx 若常数 则得 xs t u xb x u E xt u x 2 2 若 则得方程令也是常量是常量 2 E aExEx 2 2 2 2 2 x u a t u b t u 3 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法 1 用分离变量法求下列问题的解 1 0 0 0 1 3 sin 0 2 2 2 2 2 tlutu lxxx t u l x u x u a t u ott 解 边界条件齐次的且是第一类的 令 tTxXtxu 得固有函数 且x l n xXn sin t l an Bt l an AtT nnn sincos 2 1 n 于是 1 sin sincos n nn x l n t l an Bt l an Atxu 今由始值确定常数及 由始值得 n A n B 1 sin 3 sin n n x l n A l x 1 sin n n x l n B l an xlx 所以 当 1 3 A 0 n A3 n l n xdx l n xlx an B 0 sin 2 x l n x n l x l n n l x l n x n l l an cossincos 2 2 22 2 1 1 4 cos 2 sin 2 44 3 0 33 3 22 2 n l an l x l n n l x l n n xl 因此所求解为 1 44 3 sinsin 1 143 sin 3 cos n n x l n t l an na l x l t l a txu 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 x t u x l h xu tl t u tu x u a t u 解 边界条件齐次的 令 tTxXtxu 得 0 0 0 0 lXX XX 1 及 2 0 2 XaT 求问题 1 的非平凡解 分以下三种情形讨论 时 方程的通解为 10 xx eCeCxX 21 由得0 0 X0 21 cc 由得0 l X0 21 ll eCeC 解以上方程组 得 故时得不到非0 1 C0 2 C0 零解 时 方程的通解为 20 xccxX 21 由边值得 再由得 仍0 0 X0 1 c0 l X0 2 c 得不到非零解 时 方程的通解为 30 xcxcxX sincos 21 由得 再由得 0 0 X0 1 c0 l X 0cos 2 lc 为了使 必须 于是0 2 c0cos l 2 2 12 l n n 2 1 0 n 且相应地得到 x l n xXn 2 12 sin 2 1 0 n 将代入方程 2 解得 ta l n Bta l n AtT nnn 2 12 sin 2 12 cos 2 1 0 n 于是 0 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos n nn x l n ta l n Bta l n Atxu 再由始值得 0 0 2 12 sin 2 12 0 2 12 sin n n n n x l n Ba l n x l n Ax l h 容易验证构成区间上的正 x l n 2 12 sin 2 1 0 n 0 l 交函数系 nm l nm xdx l n x l m l 当 当 2 0 2 12 sin 2 12 sin 0 利用正交性 得 x l n 2 12 sin xdx l n x l h l A l n 2 12 sin 2 0 l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2 2 12 sin 12 2 2 12 cos 12 22 n n h 1 12 8 22 0 n B 所以 0 22 2 12 sin 2 12 cos 12 1 8 n n x l n ta l n n h txu 2 设弹簧一端固定 一端在外力作用下作周期振动 此时定解问 题归结为 0 0 0 sin 0 0 2 2 2 2 2 x t u xu tAtlutu x u a t u 求解此问题 解 边值条件是非齐次的 首先将边值条件齐次化 取 则满足tx l A txU sin txU 0 0 tUtAtlU sin 令代入原定解问题 则满足 txvtxUtxu txv 1 0 0 0 0 0 0 sin 2 2 2 2 2 2 x l A x t v xv tlvtv tx l A x v a t v 满足第一类齐次边界条件 其相应固有函数为 txv x l n xXn sin 2 1 0 n 故设 2 sin 1 n n x l n tTtxv 将方程中非齐次项及初始条件中按tx l A sin 2 x l A 展成级数 得 x l n sin 1 2 sin sin n n x l n tftx l A 其中 l n xdx l n tx l A l tf 0 2 sinsin 2 l x l n n l x l n x n l t l A 0 22 2 2 2 sincossin 2 x l A t n A n sin 1 2 1 2 x l n n n sin 1 其中 n l n n A xdx l n x l A l 1 2 sin 2 0 2 将 2 代入问题 1 得满足 tTn n nn n nn n A TT t n A tT l an tT 1 2 0 0 0 sin 1 2 1 2 2 解方程 得通解 22 1 2 sin 1 2 sincos l an t n A t l an Bt l an AtT n nnn 由始值 得0 n A 222222 231 2 1 2 1 2 1 1 lan alA lann lA n A an B nn n n 所以 1 22 sin 2 1 n n t l an lan alA txv x l n t nlan lA n sin sin 1 2 1 22 221 x l n t n l t l an a lan lA n sin sinsin 1 2 1 22 2 因此所求解为 1 22 2 1 2sin n lan lAtx l A txu x l n t nt l t l an a sin sinsin 3 用分离变量法求下面问题的解 0 0 0 00 2 2 2 2 2 lxx tt uu t u u bshx x u a t u 解 边界条件是齐次的 相应的固有函数为 2 1 sin nx l n xXn 设 1 sin n n x l n tTtxu 将非次项按展开级数 得bshx sinx l n 1 sin n n x l n tfbshx 其中 shlbn ln xdx l n shx l b tf n l n 2 1 sin 2 222 1 0 将 代入原定解问题 得满 1 sin n n x l n tTtxu tTn 足 0 0 0 0 2 1 222 12 nn n nn TT shl ln bn tT l an tT 方程的通解为 shl ln bn an l t l an Bt l an AtT n nnn 1 222 2 1 2 sincos 由 得 0 0 n Tshl ln bn an l A n n 1 222 2 1 2 由 得0 0 n T0 n B 所以 cos1 1 2 1 1 222 2 t l an shl ln bn an tT n n 所求解为 1 222 1 2 2 sin cos1 1 2 n n x l n t l an lnn shl a bl txu 4 用分离变量法求下面问题的解 0 0 0 2 00 0 2 2 2 2 2 tt lxx t u x l h u uu b x u a t u b t u 解 方程和边界条件都是齐次的 令 tTxXtxu 代入方程及边界条件 得 X X Ta bTT 2 2 0 0 lXX 由此得边值问题 0 0 0 lXX XX 因此得固有值 相应的固有函数为 2 l n n 2 1 sin nx l n xXn 又满足方程 tT 02 2 TabTT 将代入 相应的记作 得满足 n tT tTn tTn 02 2 T l an bTT n n 一般言之 很小 即阻尼很小 故通常有b 2 1 2