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高等代数概念引入 矩阵运算 1 线性函数 在平面上建立直角坐标系 将平面上每个点P绕原点向逆时针方向旋转角 到点P 写出点P的坐标 x y 与点P 的坐标 x y 之间的函数关系式 矩阵乘法 例1 2 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角 得到直线l 平面上任一点P关于直线l 的对称点为P 写出点P的坐标 x y 与点P 的坐标 x y 之间的函数关系式 解设原点O到P的距离 OP r 由射线OX 即x轴正方向 到OP所成的角 则 OP OP r x rcos y rsin 1 x rcos rcos cos rsin sin xcos ysin y rsin rcos sin rsin cos xsin ycos 2 在旋转变换的表达式中 x 是x y的线性函数 一次齐次函数 可以表示成可以直接写f1 cos sin 类似地有 一般地 任意一个n元线性函数可以由它的一次项系数组成的行向量 a1 an 来表示 称为这个线性函数f的坐标 可直接写f a1 an n个自变量看成一个整体X 写成列向量函数f在自变量X上的作用可以看作行f与列X相乘 2 线性映射的矩阵f 自变量 因变量旋转轴对称 一般地 考虑映射f X Y 如果每个yi都是x1 xn的一个线性函数决定 则映射f X Y由m个行向量fi决定 f称为线性映射 写成看作矩阵A 与列X相乘的结果 3 线性映射的合成 Y Z 是X的m个线性函数f1 fn的线 Z CX BAX C BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到 性组合 仍是X的线性函数 其坐标 的坐标 即A的各行 的相应的线性组合 4 利用分块运算理解矩阵乘法1 AB A B1 B2 Bk A依次乘B的各列 例 对可逆方阵A 解矩阵方程AX B 将X B按列分块 A X1 Xk B1 Bk 即 AX1 AXk B1 Bk AXj Bj j 1 2 k 相当于同时解k个有公共系数矩阵A的线性方程 同时对k个增广矩阵 ABj 做同样的初等行变换 可以合并到一起作初等行变换 AB IX X A 1B 2 A A1 An x1A1 xnAn 3 行变换 B AB列变换 B BAA 施工
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