第3课一元二次不等式及其解法（2）（含答案）

高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 1 页 共 6 页 细节决定成败 第第 3 课课 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法 2 编者 彭小平 审订 高三理科数学组 班级 姓名 考纲导读 会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型 通过函数图象了解一元二次不 等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 会解一元二次不等式 对给定的一元二次 不等式 会设计求解的程序框图 典例分析典例分析 例例 1 2013 高考重庆卷 设 0 不等式 8x2 8sin x cos 2 0 对 x R 恒成立 则 的取值范围为 审题视点 根据开口向上的二次函数定义域为 R 时函数值非负 的条件 0 列式直接运算求解 由题意 要使 8x2 8sin x cos 2 0 对 x R 恒成立 需 64sin2 32cos 2 0 化简得 cos 2 又 0 0 2 1 2 或 2 2 解得 0 或 3 5 3 6 5 6 答案 0 6 5 6 类题通法 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参 数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是 参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于 0 就是相应的二次函数的图 象在给定的区间上全部在 x 轴上方 恒小于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 2 页 共 6 页 细节决定成败 a 0 且 b2 4ac 0 x R ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0 且 b2 4ac 0 x R 变式训练 1 在 R 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1 对任意实数x成立 则 A 1 a 1 B 0 a 2 C a D a 1 2 3 2 3 2 1 2 解析 选 C x a x a 1 对任意实数x成立 即 x a 1 x a 1 对任意实数x成立 x2 x a2 a 1 0 恒成立 1 4 a2 a 1 0 a 1 2 3 2 例例 2 2 已知不等式ax2 bx c 0 的解集为 且 0 求不等式cx2 bx a 0 的解集 解 由已知不等式的解集为 可得a 0 为方程ax2 bx c 0 的两根 由根与系数的关系可得Error a 0 由 得c 0 则cx2 bx a0 b c a c 得 0 a c 1 1 1 为方程x2 x 0 的两根 1 1 b c a c 0 不等式cx2 bx a 0 的解集为 x x 1 突破思维障碍 由ax2 bx c 0 的解集是一个开区间 结合不等式对应的函数 图象知a 0 要求cx2 bx a0 因a 0 c 0 从 c a 而知道cx2 bx a 0 的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集 合 要想求出解集 需用已知量 代替参数c b a 需对不 等式cx2 bx a 0 两边同除c或a 用 代替后 就不难找到 要求不等式对应方程的两根 从而求出不等式的解集 本题较好地 体现了三个 二次 之间的相互转化 变式训练 2 若不等式ax2 bx c 0 的解集是 求不等式cx2 bx a 0 的解集 x 1 3 x 2 解 由ax2 bx c 0 的解集为 知a 0 3 分 x 1 3 x 2 又 2 0 1 3 c a 又 2 为方程ax2 bx c 0 的两个根 6 分 1 3 即 b a 5 3 b a 5 3 又 b a c a 8 分 c a 2 3 5 3 2 3 不等式cx2 bx a 0 变为x2 x a0 又 a 0 2x2 5x 3 0 所求不等式的解集为 12 分 x 3 x0 的解集是 A 0 1 B 1 222 C D 222 解析 原不等式等价于Error 或Error x 或 0 x1 的 解集为 A 1 0 B 0 1 C 1 0 D 0 1 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 5 页 共 6 页 细节决定成败 解析 f x ax2 a 2 x 1 a 2 2 4a a2 4 0 函数f x ax2 a 2 x 1 必有两个不同的零点 又f x 在 2 1 上有一个零点 则f 2 f 1 0 6a 5 2a 3 0 a1 即为 x2 x 0 解得 1 x0 恒成立 则b的取值范围是 解析 依题意 f x 的对称轴为x 1 且开口向下 当x 1 1 时 f x 是增函数 若f x 0 恒成立 则f x min f 1 1 2 b2 b 1 0 即 b2 b 2 0 b 2 b 1 0 b 2 或b0 时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 则 a 解析 显然a 1 不能使原不等式对x 0 恒成立 故a 1 且当 x1 a 1 时原不等式成立 对于x2 ax 1 0 设其两根 1 a 1 为x2 x3 且x2 x3 易知x20 当x 0 时 原不等式恒成 立 故x1 满足方程x2 ax 1 0 代入解得a 或 1 a 1 3 2 a 0 舍去 答案 3 2 6 已知抛物线y m 1 x2 m 2 x 1 x R R 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 习惯成就未来 第 6 页 共 6 页 细节决定成败 1 当m为何值时 抛物线与x轴有两个交点 2 若关于x的方程 m 1 x2 m 2 x 1 0 的两个不等实根的 倒数平方和不大于 2 求m的取值范围 解 1 根据题意 m 1 且 0 即 m 2 2 4 m 1 1 0 得m2 0 所以m 1 且m 0 2 在m 0 且m 1 的条件下 Err