连续系统的时域分析法.ppt

第二章连续系统的时域分析法 时域分析法不通过任何变换 直接求解系统的微分方程 系统的分析计算全部在时间变量领域内进行 这种方法直观 物理概念清楚 是学习各种变换域分析方法的基础 本章将在用经典法求解微分方程的基础上 讨论零输入响应 特别是零状态响应的求解 在引入系统的冲激响应之后 零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分 最后介绍卷积积分的性质 2 1LTI连续系统的响应 2 2冲激响应和阶跃响应 2 3卷积积分 2 4卷积积分的性质 主要内容 2 1LTI连续系统的响应 一 微分方程的经典解 二 关于0 和0 初始值 三 零输入响应 四 零状态响应 五 全响应 一 微分方程的经典解 一般而言 如果单输入 单输出系统的激励为f t 响应为y t 则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程 它可写为 其中 均为常数 且 即 该方程的全解由齐次解和特解组成 即 齐次解的函数形式由特征根决定 其中 41页表2 1列出了不同特征根所对应的齐次解 其中等为待定系数 例 若均为单根 则 不等于特征根 所有的特征根均不等于零 有r重等于零的特征根 等于特征根 等于r重特征根 或 所有的特征根均不等于 其中 41页表2 2列出了不同激励所对应的特解 或 全解 线性常系数微分方程的全解是齐次解和特解之和 如果微分方程的特征根均为单实根 则全解为 待定系数的求法 一般n阶微分方程 利用已知的n个初始条件y 0 y 1 0 y 2 0 y n 1 0 就可求出全部的待定系数 设f t 在t 0时接入 则全解适合于区间 0 求输入时的全解 例2 1 1描述某LTI系统的微分方程为 书上40页 解 1 齐次解 齐次解是齐次微分方程的解 特征方程为 均为单实根 查表设 代入原方程 得 解得 确定待定系数 全解为 将代入 2 特解 全解 得 可见 齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性 而与激励的函数形式无关 称为系统的自由响应或固有响应 特征方程的根称为系统的 固有频率 它决定了系统自由响应的形式 特解的形式由激励信号确定 称为强迫响应 例2 1 2 描述某系统的微分方程为 书上42页 求输入时的全响应 解 齐次解同上 设特解为 将代入微分方程 得 确定待定系数 全解为 一般输入为有始周期信号或阶跃信号且特征根有负实部时 稳定系统的全响应可分为瞬态响应和稳态响应两部分 值随t的增大而逐渐消失 值随t的增大呈现等幅震荡 一般为阶跃函数或周期函数 二 关于0 和0 初始值 在系统分析中 我们从系统中直接获得的初始条件往往是 它们提供了以往历史的全部信息而与激励无关 因此 有这样一个问题 如何从 例题中为确定待定系数所用的初值 如何从求出呢 若有跳变 时刻的值与时刻的值不同 应想办法求出跳变量 若无跳变 时刻的值与时刻的值相同 当系统用微分方程表示时 系统的响应及其各阶导数在t 0是否有跳变决定于微分方程右端是否包含单位冲激函数及其各阶导数 如果微分方程右端不含冲激函数及其各阶导数 响应及其各阶导数在t 0是连续的 其值等于值 如果微分方程右端含有冲激函数及其各阶导数 响应或其各阶导数在t 0将有跳变 其跳变量可用冲激函数匹配法求得 例2 1 3 描述某LTI系统的微分方程为 书44页 设 用冲激函数匹配法 右端含有冲激函数 0处有跳变 积分得 积分得 整理得 见书45页 冲激函数匹配法的一般步骤 以二阶系统为例 1 将输入代入微分方程 2 令 对其逐次积分 求得 3 将代入微分方程 根据方程等号两端奇异函数的系数相等 从而求得各个系数a b c 4 其中表达式中前面的系数大小即为在t 0的跳变量 而表达式中前面的系数大小即为在t 0的跳变量 三 零输入响应 LTI系统的完全响应可分为零输入响应和零状态响应 零输入响应是指激励为零 仅由系统的初始状态所引起的响应 用表示 在零输入条件下 微分方程式右端为零 化为齐次方程 若其特征根均为单根 则其零输入响应为 由于输入为零 故初始值 由给定的初始值 就可确定各待定系数 微分方程式右端为零 化为齐次方程 故右端不含有冲激函数 0处连续 解 零输入响应满足 1 右端为零 为齐次方程 2 y t 各阶导数在0处连续 四 零状态响应 零状态响应是指初始状态为零 仅由激励所引起的响应 用表示 若方程的特征根均为单根 则其零状态响应为 解 零状态响应满足 先求时的初值 设 1 仅由激励所引起的响应 右端应将激励代入 2 初始状态为零 因此零状态响应满足 通过前面的例题可见 当方程的右端含有激励的各阶导数时 零状态响应或其导数在t 0处可能跃变 在求零状态响应的时候比较麻烦 实际上 利用LTI系统的线性性质和微分特性可避免这一过程 例2 1 6 自学 系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应 也可分为零输入响应和零状态响应 它们的关系是 式中 由确定 由确定 由确定 五 全响应 齐次解yh t 特解yp t yzi t yzs t 可见 两种分解方式有明显区别 虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解 但二者系数各不相同 仅由初始状态所决定 而要由系统的初始状态和激励信号共同来确定 在初始状态为零时 零输入响应为零 但在激励信号的作用下 自由响应并不为零 也就是说系统的自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分 例2 1 7描述某LTI系统的微分方程为 书上50页 解 1 零输入响应 零输入响应 将初始值代入 特征方程为 由冲激函数匹配法 设 所以 零状态响应在时满足 齐次解为 特解为常数3 将代入得 零状态响应为 全响应 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 本题零状态响应也可以这样求 设 单独作用于系统产生的零状态响应为 满足 满足 设 而 解题思路 先求出零状态响应 与上例相同 再根据 即可求出零输入响应 解 零状态响应为 零输入响应为 2 2冲激响应和阶跃响应 主要内容 一 冲激响应二 阶跃响应 实际上是求两种不同激励情况下的零状态响应 一 冲激响应 一个LTI系统 当其初始状态为零 输入为单位冲激函数时所引起的响应 简称为冲激响应 用表示 即冲激响应是激励为时的零状态响应 图2 2 1冲激响应示意图 t h t x 0 0 零状态响应是指初始状态为零 仅由激励所引起的响应 例2 2 1 设描述二阶LTI系统的微分方程为求其冲激响应 可见 而在有跃变 跳变量为1 解 当时 满足 右端含有冲激函数 0处有跳变 确定系数 微分方程的特征根为故 而冲激响应的形式与齐次解相同 则有 如果特征根均为单根 则其冲激响应为 一般而言 1 若n阶微分方程的等号右端只含激励 即若 求冲激响应可分两步 1 选新变量 使它满足的微分方程为左端与上式相同 而右端只含 即满足方程 2 若微分方程为的等号右端含激励及激励的导数 2 设其冲激响应为根据系统零状态响应的线性性质和微分性质 可得冲激响应 解 设新变量它满足方程 设其冲激响应为则 求 由上例得 二 阶跃响应一个LTI系统 当其初始状态为零 输入为单位阶跃函数时所引起的响应 称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 用g t 表示 阶跃响应是时 系统的零状态响应 图2 2 2阶跃响应示意图 t g t x 0 0 1 若n阶微分方程等号右端只含激励f t 当时 系统的零状态响应g t 满足方程 由于等号右端只含有 故及其直到n 1阶导数均连续 即有 右端不含有冲激函数 0处连续 2 若n阶微分方程的等号右端含有激励f t 及其各阶导数 根据系统零状态响应的线性性质和微分性质 可求得阶跃响应 冲激响应与阶跃响应的关系 所以 同一系统冲激响应及阶跃响应的关系为 解 1 先设中间变量x t 再对两个加法器列方程 再用例1 5 2的方法 消去中间变量 列出系统的微分方程 2 求阶跃响应 设新变量它满足方程 设其阶跃响应为则 1 2为特解 2 3卷积积分 主要内容 一 卷积积分二 卷积的图示 一 卷积积分 在前面介绍时 我们定义了这样一个强度 即脉冲下的面积 为1的窄脉冲 其作用于系统的零状态响应为 回顾见下两页ppt 图2 3 1pn t 的零状态响应示意图 pn t h t x 0 0 一 阶跃函数和冲激函数 回顾 我们来讨论这样的一个函数 虚线代表n增大时的变化趋势 脉冲波形下的面积为1 宽度趋于0 幅度趋于无穷大 但强度 1 回顾 返回 图2 3 1pn t 的零状态响应示意图 pn t h t x 0 0 把f t 分解为一系列宽度为的窄脉冲 其中第个窄脉冲发生在时刻 强度 即脉冲下的面积 为 下面考虑任意激励信号f t 信号的平移 零状态响应 当时 即时 将写作 写作 此时为时间变量 求和符号应改为积分符号 一般而言 若两个函数 积分称为的卷积积分 用表示 即 系统的零状态响应等于激励与系统的冲激响应的卷积积分 二 卷积的图示 第一步 先将的自变量用代换 然后将反转得如图 第二步 将沿轴平移得 可见 的位置随而变 无论如何 点所对应的函数值移至点 第三步 讨论的范围并计算积分 卷积结果将随着t的变化而变化 例2 3 1求下图所示函数和的卷积积分 解 1 画出和的波形 2 当时 当时 当时 当时 当时 图2 3 6 练习 画出下列图形的卷积积分 解 1 画出和的波形 2 2 3 讨论t的范围并计算卷积积分 2 3 讨论t的范围并计算卷积积分 思考 两个时限信号的卷积积分结果有何特点 从非零区间长度及形状考虑 1 两个时限信号的卷积积分结果仍是时限信号 其非零区间宽度为两个时限信号宽度之和 其非零区间起点为两个时限信号非零区间起点之和 非零区间终点为两个时限信号非零区间终点之和 结论 2 当两个时限信号均为矩形脉冲时 若二者宽度相同 则卷积波形为三角形 若二者宽度不相同 则卷积波形为梯形 解法一 图示法 1 解法一 图示法 2 显然上式适用于的区间 显然上式适用于的区间 一般而言 两个函数的卷积是否存在与该函数的性状有关 若二者均为有始的可积函数 那么二者的卷积存在 否则视具体情况而定 例如 而不存在 几种常用函数的卷积积分列于附录二中 2 4卷积积分的性质 一 卷积的代数运算 卷积是一种数学运算 它有许多重要的性质 灵活地运用它们能简化系统分析 以下的分析均假设卷积积分是收敛的 二 函数与冲激函数的卷积 三 卷积的微分与积分 四 相关函数 证明 令 则 分配律 证明 结论 并联系统的冲激响应 等于组成并联系统的各个子系统冲激响应之和 分配律的应用 结合律及其应用 证明见书上第67页 结论 串联系统的冲激响应 等于组成串联系统的各个子系统的冲激响应的卷积 二 函数与冲激函数的卷积 证明 推广1 证明 推广3 推广4 推广1 推广2 若得 0t 0t 0t 图2 4 4函数与冲积函数的卷积 图2 4 5 图2 4 6 例2 4 2计算下列卷积积分 解 上式适用于 实际上利用 推广4 上式适用于 例2 4 3下页图 a 画出了周期为T的周期性单位冲激函数序列 可称为梳状函数 它可用符号表示 有些文献用combT t 表示 它可写为 式中m为整数 函数如图 b 所示 试求 解 图2 4 15 T t 与fo t 的卷积 三 卷积的微分与积分 对于任一函数 用符号表示其一阶导数 用符号表示一次积分 即 积分 则其导数 若 推论 前提条件 LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积积分 利用上面的结论可得 上式称为杜阿密尔积分 其物理含义为 LTI系统的零状态响应等于激励的导数与系统的阶跃响应的卷积积分 例2 4 4求图示函数与的卷积 解 解法一 利用卷积的性质 解法二 图示法 解法二 图示法 解法二 图示法 解法二 图示法 解法二 图示法 解法二 图示法 解法三 表达式法 有时 已知所要构成的系统的冲激响应 要求用框图来构成系统 那么我们就要知道一些基本单元的冲激响应h t 系统综合初步 冲激响应 例2 4 5下图 a 所示的复合系统由三个子系统构成 已知各子系统的冲激响应 如图 b 所示 1 求复合系统的冲激响应 画出它的波形 2 用积分器 加法器和延时器构成子系统和的框图 1 求复合系统的冲激响应 画出它的波形 另外 我们也可由图示法或利用性质直接做出卷积的图形 012t 1 2 子系统的模拟框图 四 相关函数 在信号分析问题中 有时要比较某信号与另一延时的信号之间的相似程度 需引入相关函数的概念 相关函数是鉴别信号的有力工具 被广泛用于雷达回波的识别 通信同步信号的识别等领域 这里以确定信号为例介绍它的初步概念 为学习后续课程做准备 相关函数也称相关积分 它与卷积的运算方法类似 设实函数和为能量有限信号 它们之间的互相关函数定义为 可见 互相关函数是两信号之间时间差的函数 一般情况下 可以证明 如果和是同一信号 此时相关函数无需加注下标 以表示 称为自相关函数 可见实函数的自相关函数是时移的偶函数 设实函数和为功率有限信号 它们之间的相关函数定义为 对于复函数且为能量信号 相关函数的定义如下 对于复函数且为功率信号 相关函数的定义如下 这里我们仅讨论实信号且为能量信号的情况 并与卷积积分做一对比 相关与卷积的比较 为了便于