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信号与系统 第四章连续系统的频域分析 3 4 1信号分解为正交函数 任意矢量可以分解为相互正交的矢量之和 函数亦有类似的结论 正交函数与正交矢量具有类似的概念 4 函数正交 在区间 t1 t2 内有两个函数 1 t 和 2 t 若满足则称函数 1 t 和 2 t 在区间 t1 t2 内正交 5 正交函数集 如果有n个函数 i t i 1 2 n构成一个函数集 当这些函数在区间 t1 t2 内满足则称此函数集为在 t1 t2 内的正交函数集 6 完备正交函数集 在正交函数集 i t i 1 2 n 之外 若不存在函数 t 满足等式则称该函数集为完备正交函数集 函数 t 应满足条件 7 正交的三角函数集 1 以上这些函数在区间 t0 t0 T 内构成正交函数集 8 正交的三角函数集 2 9 复函数的正交 复函数集 ejn t i 1 2 n 在区间 t0 t0 T 内为完备的正交函数集 即 10 信号分解为正交函数 设正交函数集 i t i 1 2 n 在区间 t1 t2 内构成正交函数空间 用这n个函数的线性组合去逼近信号f t 11 4 2傅里叶级数 周期信号的定义区间 周期信号的定义 f t f t mT m为任意整数 T为周期 其倒数为频率 周期信号可在一个周期内展开成完备正交信号空间中的无穷级数 若构成完备正交信号空间的函数集为三角函数集或复指数函数集 则展开的级数为傅里叶级数 12 周期信号的分解 周期为T的周期信号f t 可分解为傅里叶级数 13 傅里叶系数 傅里叶系数为n和 的函数 称为角频率系数an为n的偶函数 即系数bn为n的奇函数 即 14 周期正方波信号的傅里叶级数 1 15 周期正方波信号的傅里叶级数 2 16 周期正方波信号的傅里叶级数 3 17 周期正方波信号的傅里叶级数 4 18 周期正方波信号的傅里叶级数 5 19 偶函数的傅里叶系数 1 20 偶函数的傅里叶系数 2 21 奇函数的傅里叶系数 1 22 奇函数的傅里叶系数 2 23 指数形式傅里叶级数的系数 24 周期正方波信号的傅里叶级数指数形式 1 25 4 3周期信号的频谱 周期信号可分解为一系列正弦信号之和周期信号也可一系列虚指数信号之和幅度频谱 以频率或角频率为横坐标 以各谐波幅度为纵坐标过程的图 称为幅度频谱 相位频谱 以频率或角频率为横坐标 以各谐波相角为纵坐标过程的图 称为相位频谱 26 频谱图 27 周期矩形脉冲 28 周期矩形脉冲的傅里叶级数系数 29 周期矩形脉冲的傅里叶级数及频谱图 30 脉冲宽度与频谱的关系 31 周期与频谱的关系 32 周期信号的频谱小结 周期信号的频谱是离散的 间隔为 频谱过零点 在处 频谱过零点 频带宽度零频率到第一个零点处的频率宽度 称为频带宽度 频谱与 的关系 T保持不变 变小 则频带宽度变大 变小 间隔不变 频谱与周期T的关系 保持不变 T变大 则频宽不变 变小 间隔变小 33 4 4非周期信号的频谱 当T 时 离散谱变为连续谱 各频率分量趋于无穷小 但相互之间的比例关系不变 34 频谱密度 频谱密度由傅里叶级数系数到频谱密度由傅里叶级数到傅里叶积分 35 傅里叶变换的定义 傅里叶变换 傅里叶逆变换 傅里叶变换对 36 频谱密度函数的其他表示形式 极坐标表示实部虚部表示 37 傅里叶变换存在的充分条件 38 门函数 39 门函数的傅里叶变换 40 门函数的频谱 41 单边指数函数 42 单边指数函数的傅里叶变换 43 单边指数函数的频谱 44 双边指数函数 1 45 双边指数函数 1 的傅里叶变换 46 双边指数函数 1 的频谱图 47 双边指数函数 2 48 双边指数函数 2 的傅里叶变换 49 双边指数函数 2 的频谱图 50 冲激函数的频谱 51 冲激函数为矩形脉冲的极限 冲激函数 t 可以看成幅度为1 的门函数g t 在 时的极限 即于是 52 冲激偶的频谱 由于故 53 单位直流信号的频谱 1 单位直流信号不满足绝对可积条件 但其傅里叶变换存在 考察双边指数函数当a 时 该信号趋于单位直流信号 f1 t 频谱为 54 单位直流信号的频谱 2 F1 j 的极限F1 j 的强度 55 单位直流信号的频谱 3 F j 是冲激函数单位直流信号的频谱 56 单位符号函数的频谱 1 57 单位符号函数的频谱 2 f2 t 频谱为当a 时 F1 j 趋于符号函数的频谱sgn t 的频谱为 58 单位符号函数的频谱 3 59 阶跃函数的频谱 1 阶跃函数可表示成直流信号与符号函数之和阶跃函数的傅里叶变换 60 阶跃函数的频谱 2 61 4 5傅里叶变换的性质 线性若则有 62 傅里叶变换的性质 奇偶性 1 傅里叶变换的三种表示方法上式中 63 傅里叶变换的性质 奇偶性 2 当f t 为实函数时即 当信号为实函数时 其傅里叶变换的实部和模是偶函数 而其虚部和相位是奇函数 64 傅里叶变换的性质 奇偶性 3 当f t 为实偶函数时当f t 为实偶奇数时 65 傅里叶变换的性质 奇偶性 4 实函数f t 的傅里叶变换 66 傅里叶变换的性质 奇偶性 5 任意一个实信号都可以分解成偶函数与奇函数之和 67 傅里叶变换的性质 奇偶性 6 一实信号的偶分量与其频谱的实部构成傅里叶变换对一实信号的奇分量与其频谱的虚部构成傅里叶变换对 68 傅里叶变换的性质 对称性 若则证明 69 例1 对称性 70 例2 对称性 71 例3 4 对称性 例3 72 傅里叶变换的性质 尺度变换 证明 当a 0 当a 0 73 傅里叶变换的性质 时移特性 证明 另 74 傅里叶变换的性质 频移特性 例 75 傅里叶变换的性质 时域卷积定理 证明 76 傅里叶变换的性质 频域卷积定理 77 例5 时域卷积定理 78 例6 求的傅里叶变换 79 傅里叶变换的性质 时域微分定理 若则证明 80 傅里叶变换的性质 时域积分定理 若则证明当 81 例7 时域微分 82 傅里叶变换的性质 频域微分和积分 频域微分若则频域积分若则当 83 例8 求的傅里叶变换 84 例9 求Sa t 的傅里叶变换 1 85 例9 求Sa t 的傅里叶变换 2 86 信号的能量谱 1 信号的能量实信号的能量信号能量与频谱的关系 87 信号的能量谱 2 帕塞瓦尔方程能量密度谱 88 信号的功率谱 信号的平均功率实信号的平均功率功率密度函数 89 小结 教材P410卷积积分表P412周期信号的傅里叶级数表P414 416常用信号的傅里叶变换表 表1 表2 P161傅立叶变换的性质 表4 2 90 4 6周期信号的傅里叶变换 91 周期信号的傅里叶变换 将周期为T的周期信号f t 展开成傅里叶级数信号f t 的傅里叶变换为 92 例1 周期矩形脉冲的傅里叶变换 93 例1 周期矩形脉冲的傅里叶变换 续 94 傅里叶级数系数与傅里叶变换的关系 95 4 7LTI系统的频域分析 LTI系统的频域分析的基本内容频率响应是系统的最基本特性频率特性包括幅度响应和相位响应LTI系统的时域分析方法和频域分析方法LTI系统微分方程的频域求解方法系统无失真传输理想低通滤波器 96 4 7 1频率响应 系统对任意信号的响应H j 为系统的频率响应 97 4 7 1频率响应 LTI系统频域分析方法的本质信号的频域分解各频率分量通过系统将各分量引起的响应积分 98 4 7 1频率响应 系统的频率响应 99 4 7 1频率响应 频域分析与时域分析的关系 100 4 7 1频率响应 频率响应实例一系统的输入信号为f t 2 4cos 10 t 4cos 20 t 系统的频率响应如图所示 求系统的输出信号 101 4 7 1频率响应 频率响应实例一 续 102 4 7 1频率响应 频率响应实例一 再续 103 4 7 1频率响应 频率响应实例二描述系统的微分方程为求输入为时的系统响应 解 104 4 7 2无失真传输 无失真传输的概念信号经系统传输后 只有幅度大小的变化和时间上的延迟 没有波形上的变化 无失真传输的时域描述设输入信号为f t 则经系统无失真传输后的输出信号为y t Kf t td 无失真传输的输出信号频谱 105 4 7 2无失真传输 无失真传输系统的频率响应无失真传