静定结构的内力分析.ppt

8静定结构的内力分析 本章主要讲述几种常见的静定平面杆系结构的内力计算方法 通过本章学习主要应掌握以下几方面内容 1 进行各种静定结构内力计算的主要方法有三种 即截面法 结点法 截面法与结点法联合应用 应掌握这三种方法的基本原理和技巧 本章提要 2 各种静定结构的内力图的绘制 尤其是弯矩图的绘制 应学会用叠加法绘制内力图 掌握常用的简支梁 悬臂梁 外伸梁等在均布荷载和集中荷载作用下的弯矩图 剪力图的形式和特征 常见的静定平面杆系结构主要有 1 静定梁包括单跨静定梁 简支梁 悬臂梁 外伸梁 和多跨静定梁 分别见图8 1 a b c 和图8 1 d 所示 2 静定平面刚架包括简支刚架 悬臂刚架 三铰刚架和组合刚架 如图8 1 e f g h 所示 3 三铰拱式结构如图8 1 i 所示 4 静定平面桁架包括简支桁架 悬臂桁架 三铰拱式桁架 如图8 1 j k l 所示 图8 1 本章内容 8 1静定梁8 2梁的内力 剪力和弯矩8 3静定平面刚架8 4三铰拱8 5静定平面桁架 第8章静定结构的内力分析 8 1工程中梁弯曲的概念 梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲 Bending 以弯曲为主要变形的杆件称为梁 beam 当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时 变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内 这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲 梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁 称为静定梁 根据约束情况的不同 单跨静定梁可分为以下三种常见形式 8 1 2单跨静定梁的类型 1 简支梁 SimpleBeam 梁的一端为固定铰支座 另一端为可动铰支座 2 悬臂梁 Cantileverbeam 梁的一端固定 另一端自由 3 外伸梁 Overhangingbeam 简支梁的一端或两端伸出支座之外 8 2梁的内力 剪力和弯矩 8 2 1梁的剪力 Resistingshear 和弯矩 Resistingmoment 梁在外力作用下 其任一横截面上的内力可用截面法来确定 现分析距A端为x处横截面m m上的内力 如果取左段为研究对象 则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替 存在两个内力分量 内力FQ与截面相切 称为剪力 内力偶矩M称为弯矩 8 2 2剪力和弯矩的正负号规定 即微段有左端向上而右端向下的相对错动时 横截面上的剪力FQ为正号 反之为负号 当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时 横截面上的弯矩为正号 反之为负号 8 2 3计算指定截面上的剪力和弯矩 例题8 1外伸梁受荷载作用 图中截面1 l和2 2都无限接近于截面A 截面3 3和4 4也都无限接近于截面D 求图示各截面的剪力和弯矩 解 1 根据平衡条件求约束反力 2 求截面1 1的内力 3 求截面2 2的内力 第8章静定结构的内力分析 4 求截面3 3的内力 5 求截面4 4的内力 比较截面1 1和2 2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变 突变值等该集中力的值 第8章静定结构的内力分析 比较截面3 3和4 4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同 而弯矩突变值就等于集中力偶矩 梁的内力计算的两个规律 1 梁横截面上的剪力FQ 在数值上等于该截面一侧 左侧或右侧 所有外力在与截面平行方向投影的代数和 即 若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时 等式右边取正号 反之 取负号 此规律可简化记为 顺转剪力为正 或 左上 右下剪力为正 相反为负 2 横截面上的弯矩M 在数值上等于截面一侧 左侧或右侧 梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和 即 若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形 即上部受压 下部受拉 时 等式右方取正号 反之 取负号 此规律可简化记为 下凸弯矩正 或 左顺 右逆弯矩正 相反为负 例题8 2一外伸梁 所受荷载如图示 试求截面C 截面B左和截面B右上的剪力和弯矩 解 1 根据平衡条件求出约束力反力 2 求指定截面上的剪力和弯矩 截面C 根据截面左侧梁上的外力得 截面B左 B右 取右侧梁计算 得 在集中力作用截面处 应分左 右截面计算剪力 在集中力偶作用截面处也应分左 右截面计算弯矩 第8章静定结构的内力分析 8 3梁的内力图 剪力图和弯矩图 8 3 1剪力方程和弯矩方程 在一般情况下 则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数 FQ FQ x M M x 梁的剪力方程 梁的弯矩方程 8 3 2剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标 以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标 分别绘制表示FQ x 和M x 的图线 这种图线分别称为剪力图和弯矩图 简称FQ图和M图 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧 负号的剪力画在x轴的下侧 正弯矩画在x轴下侧 负弯矩画在x轴上侧 即把弯矩画在梁受拉的一侧 例题8 3图所示 悬臂梁受集中力F作用 试作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 列剪力方程和弯矩方程 0 x l 0 x l 2 作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知 例题8 4简支梁受均布荷载作用 如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力由对称关系 可得 BACK 最大剪力发生在梁端 其值为FQ max 2 列剪力方程和弯矩方程 3 作剪应力图和弯矩图 最大弯矩发生在跨中 它的数值为Mmax 例题8 5简支梁受集中作用如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 2 列剪力方程和弯矩方程 0 x a 0 x a AC段 CB段 a x l 0 x l 3 作剪力图和弯矩图 第8章静定结构的内力分析 例题8 6简支梁受集中力偶作用 如图示 试画梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 2 列剪应力方程和弯矩方程 AB段 0 x l BACK CB段 a x l AC段 0 x a 3 绘出剪力图和弯矩图 第8章静定结构的内力分析 8 4 1分布荷载集度与剪力 弯矩 q与FQ M 之间的微分关系 8 4弯矩 剪力与分布荷载集度间的关系 微段的平衡 得 剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度 弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向 若q x 0 弯矩为上凸曲线 弯矩图的凹凸方向与q x 指向一致 8 4 2常见梁剪力图 弯矩图与荷载三者间关系 1 剪力图与荷载的关系 1 在均布荷载作用的区段 当x坐标自左向右取时 若q x 方向向下 则FQ图为下斜直线 若q x 方向向上 FQ图为上斜直线 2 无荷载作用区段 即q x 0 FQ图为平行x轴的直线 3 在集中力作用处 FQ图有突变 突变方向与外力一致 且突变的数值等于该集中力的大小 4 在集中力偶作用处 其左右截面的剪力FQ图是连续无变化 2 弯矩图与荷载的关系 在均布荷载作用的区段 M图为抛物线 3 在集中力作用处 M图发生转折 如果集中力向下 则M图向下转折 反之 则向上转折 4 在集中力偶作用处 M图产生突变 顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下 反之 由下向上 突变的数值等于该集中力偶矩的大小 1 任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力 2 当FQ图为斜直线时 对应梁段的M图为二次抛物线 当FQ图为平行于x轴的直线时 M图为斜直线 3 弯矩图与剪力图的关系 3 剪力等于零的截面上弯矩具有极值 反之 弯矩具有极值的截面上 剪力不一定等于零 左右剪力有不同正 负号的截面 弯矩也具有极值 解 1 求约束反力 例题8 8简支梁如图所示 试用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图 2 画FQ图 各控制点处的FQ值如下 FQA右 FQC左 15kNFQC右 FQD 15kN 10kN 5kNFQD 5kNFQB左 15kN 3 画M图 MA 0 MC 15kN 2m 30kN mMD 15kN 4m 10kN 2m 40kN mM D右 15kN 4m 5kN 4m 2m 20kN mMB 0 第8章静定结构的内力分析 例题8 8一外伸梁如图示 试用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ M图 解 1 求约束力 2 画内力图 1 剪力图 ACB段 FQA右 FQC FQB左 5kN FQ图为一水平直线 BD段 FQ图为右下斜直线 FQB右 4kN m 2m 8kN FQD 0 作梁的剪力图 2 弯矩图 AC段 FQ 0 故M图为一右上斜直线 MA 0 MC左 5kN 2m 10kN m CB段 FQ 0 故M图为一右上斜直线 在C处弯矩有突变 MC右 5kN 2m 12kN mMB 4kN m 2m 1m 8kN m BD段 段内有向下均布荷载 M图为下凸抛物线 MB 8KN m ME 4 1 0 5 2KN m MD 0 8 5用叠加法作梁的弯矩图 叠加法是先求出单个荷载作用下的内力 剪力和弯矩 然后将对应位置的内力相加 即得到几个荷载共同作用下的内力的方法 例题8 9简支梁所受荷载如图 试用叠加法作M图 解 1 荷载分解 2 作分解荷载的弯矩图 3 叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图 注意 弯矩图的叠加 不是两个图形的简单叠加 而是对应点处纵坐标的相加 1 几何组成 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结而成 并用来跨越几个相连跨度的静定梁 这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中 如图8 10所示 其简图如图8 11 a 所示 多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式 第一种基本形式如图8 11 b 所示 第二种基本形式如图8 12 a 所示 其层次图如图8 12 b 所示 8 1 2多跨静定梁 2 多跨静定梁的内力计算 由层次图可见 作用于基本部分上的荷载 并不影响附属部分 而作用于附属部分上的荷载 会以支座反力的形式影响基本部分 因此在多跨静定梁的内力计算时 应先计算高层次的附属部分 后计算低层次的附属部分 然后将附属部分的支座反力反向作用于基本部分 计算其内力 最后将各单跨梁的内力图联成一体 即为多跨静定梁的内力图 四 荷载传递原则 五 计算原则 从属结构上的荷载要传递到基本结构上即从属结构上的荷载对基本结构有影响 先计算从属结构 后计算基本结构 基本结构上的荷载不传递到从属结构上即基本结构上的荷载对从属结构无影响 例8 5 试作出如图8 13 a 所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图 解 1 根据传力途径绘制层次图 如图8 13 b 所示 2 计算支座反力 先从高层次的附属部分开始 逐层向下计算 EF段 由静力平衡条件得 ME 0 FF 4 10 2 0 FF 5kN Y 0 FE 20 10 FF 25kN CE段 将FE反向作用于E点 并与q共同作用可得 MD 0 FC 4 4 4 2 25 1 0 FC 1 75kN Y 0 FC FD 4 4 25 0 FD 39 25kN FH段 将FF反向作用于F点 并与q 3kN m 共同作用可得 MG 0 FH 4 FF 1 3 4 2 0 FH 4 75kN Y 0 FG FH FF 3 4 0 FG 12 25 kN AC段 将FC反向作用于C点 并与q 4kN m 共同作用可得 MB 0 FA 4 FC 1 4 1 0 5 4 4 2 0 FA 7kN Y 0 FB FA 4 5 FC 0 FB 14 7kN 3 计算内力并绘制内力图 各段支座反力求出后不难由静力平衡条件求出各截面内力 然后绘制各段内力图 最后将它们联成一体 得到多跨静定梁的M Q图 如图8 14所示 例8 6 作图8 15所示的多跨静定梁的弯矩图 解 1 根据传力途径 绘制层次图 如图8 16所示 2 计算支座反力 先从高层次的附属部分开始 逐层向下计算 IJ段 由静力平衡条件得 Y 0 FI FJ 3 4 MI 0 3 4 2 FJ 4 0 可解得 FJ 6kN FI 6kN GI段 将FI反向作用于I点 Y 0 FG FH 3 6 3 1 12kN MG 0 6 5 3 1 4 5 6 FH 4 0 可解得 FH 2 6kN FG 9 4kN CD段 同理可求得FC 3kN FD 3kN DG段 将FD和FG分别反向作用于D点和G点 可求得FE 1 4kN FF 14kN AC段 将FC反作用于C点 可求得FA 1 25kN FB 5 75kN 3 计算内力并绘制弯矩图 根据静力平衡条件 计算各段上控制截面的弯矩 绘制各段的弯矩图 并将它们联成一体 得到该多跨静定梁的弯矩图 如图8 8所示 图8 10 图8 11 图8 12 图8 13 图8 14 图8 15 图8 16 图8 8 8 3静定平面刚架 第一 刚架整体刚度大 在荷载作用下 变形较小 第二 刚架在受力后 刚结点所连的各杆件间的角度保持不变 即结点对各杆端的转动有约束作用 因此刚结点可以承受和传递弯矩 这样刚架中各杆内力分布较均匀 且比一般铰结点的梁柱体系小 故可以节省材料 第三 由于刚架中杆件数量较少 内部空间较大 所以刚架结构便于利用 8 3 1刚架的特点 当刚架的杆轴和外力都在同一平面内时 称为平面刚架 根据支座的情况 刚架可分为静定刚架和超静定刚架 静定平面刚架通常可分为悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架和组合刚架等型式 如图8 18所示 图8 18 静定平面刚架的内力一般有弯矩 剪力和轴力 静定平面刚架内力分析的步骤是 先计算支座反力和铰结点处的约束力 然后以外力变化点和刚架杆件的弯折点为分段点 截取各段为隔离体 根据静力平衡方程计算各分段点处的内力 最后根据前述梁中内力图的绘制规律逐杆绘出该刚架的内力图 并进行校核 8 3 2静定平面刚架的内力分析 例8 7 试绘制图8 19 a 所示刚架的内力图 解 本题为悬臂刚架 可不计算支座反力而直接计算内力 并绘制内力图 1 计算内力 CB段 MCB 0 NCB 0 QCB 0 MBC 4 4 2kN m 32kN m 上侧受拉 NBC 4 4 sin kN 8kN QBC 4 4 cos kN 8 3kNBD段 MDB 0 NDB 0 VDB 0 MBD 4 4 2kN m 32kN m 上侧受拉 NBD NBC 8kN QBD QBC 8 3kN BE段 取结点B为隔离体 如图8 19 b 所示 MB 0 MBE MBC MBD 0 MBE 0 以竖向为y坐标轴 向上为正 以水平向为x坐标轴 向右为正 以B为原点 则 X 0 QBE NBDcos NBCcos QBDsin QBCsin 0 QBE 0 Y 0 NBE NBCsin NBDsin QBDcos QBCcos 0 NBE 32kN 2 绘制内力图 内力图如图8 19 c d e 所示 3 校核 求支座反力 支座竖向反力 YA 4 8kN 32kN 向上 支座水平反力 XA P 4kN 向左 支座弯矩 MA P 3 12kN m 逆时针方向 以A结点为隔离体进行校核 X HA QAE 4 4 0 Y VA NAE 32 32 0 MA MA MAE 12 12 0 图8 19 例8 8 绘制图8 20 a 所示刚架的内力图 解 1 求支座反力 以整个刚架为隔离体 则 FX 0 HA 4 4 4 0 HA 20kN MA 0 VD 4 2 4 2 4 4 4 4 2 0 VD 16kN FY 0 VA VD 2 4 VA 8 16 kN 8kN 2 计算内力 CD杆 NCD NDC VD 16kN QCD QDC 0 MCD MDC 0 AB杆 NAB NBA VA 8kN QAB HA 20kN QBA QAB 4 4 4kN MAB 0 MBA 4 4 2 VAB 4 48kN m 内侧受拉BC杆 取B结点为隔离体 如图8 20 b 所示 X 0 NBC 4 QBA 0 NBC 0 Y 0 QBC NBA 0 QBC 8kN MB 0 MBC MBA 0 MBC MBA 48kN m 内侧受拉 取BC杆为隔离体 如图8 20 c 所示 X 0 NCB NBC 0 Y 0 QCB 2 4 QBC 0 QCB 16 kN MC 0 MCB MBC 2 4 2 QBC 4 0 MCB 0 3 绘制内力图 该刚架内力图如图8 20 f g h 所示 4 校核 取C为隔离体校核 Y QCB NCD 16 16 0 取BCD为隔离体进行校核 Y QBC 2 4 NCD 8 8 16 0 MB MBC 2 4 2 NCD 4 48 16 16 4 0 上述计算结果无误 图8 20 例8 9 绘制图8 21 a 所示刚架的内力图 解 对于这种组合刚架 计算时应先计算附属部分的反力 再计算基本部分的反力 然后按前述方法计算内力并绘制内力图 本题中ABCD部分为基本部分 EFG部分为附属部分 1 求支座反力 取EFG为隔离体 X 0 NEF 2 3 0 NEF 6kN ME 0 VG 2 2 3 1 5 0 VG 4 5kN Y 0 QEF VG 0 QEF 4 5kN 取ABCD为隔离体 X 0 HA 4 NEF 0 HA 2kN MA 0 VD 4 QEF 4 NEF 3 4 4 2 4 2 0VD 1kN Y 0 VA VD QEF 4 4 0 VA 10 5 kN 2 求内力 AH杆 如图8 21 d 所示 Y 0 NHA VA 0 NHA VA 10 5 kN X 0 QHA HA 0 QHA HA 2kN MH 0 MHA HA 2 0 MHA 2 HA 4kN m 外侧受拉 HB杆 取结点H为隔离体 如图8 21 e 所示 Y 0 NHB NHA 0 NHB NHA 10 5 kN X 0 QHB 4 QHA 0 QHB QHA 4 6 kN MH 0 MHB MHA 0 MHB MHA 4kN m 外侧受拉 取HB为隔离体 同理可求得 NBH NHB 10 5 kN QBH QHB 6 kN MBH MHB QHB 2 4 2 6 kN m 16kN m 外侧受拉 BC杆 取结点B为隔离体 如图8 21 f 所示 X 0 NBC QBH 0 NBC QBH 6 kN Y 0 QBC NBH 0 QBC NBH 10 5 kN MB 0 MBC MBH 0 MBC MBH 16kN m 上侧受拉 取BC杆为隔离体 如图8 21 g 所示 X 0 NCB NBC 0 NCB NBC 6 kN Y 0 QBC QCB 4 4 0 QCB QBC 4 4 10 5 16 kN 5 5kN MC 0 MCB MBC 4 4 2 QBC 4 0 MCB MBC 4 4 2 QBC 4 16 32 10 5 4 kN m 6kN m 上侧受拉 用同样的方法可分别求出CD EF FG杆的内力 见图8 22 3 绘制内力图 内力图如图8 22所示 4 校核 分别以结点D 结点G和整个结构为隔离体进行校核 可见均满足平衡条件 图8 21 图8 22 8 4三铰拱 拱式结构是指杆轴为曲线 在竖向荷载作用下 支座处产生水平推力的结构 如图8 23所示的结构 拱的形式一般有无铰拱 两铰拱 三铰拱等几种 如图8 24所示 拱式结构的顶点称为拱顶 三铰拱的中间铰往往布置于拱顶 拱与基础的联结处称为拱脚 拱脚的水平距离l称为拱的跨度 拱顶到拱脚连线的竖直距离f叫拱高 拱高f与跨度l之比f l叫高跨比 8 4 1概述 图8 23 图8 24 为了计算简单明了 下面以拱脚在同一水平线上的三铰拱和同荷载同跨度的水平简支梁做比较 导出三铰拱内力的计算方法 如图8 25所示 1 计算支座反力 取整个结构为隔离体 根据平衡条件可得 MA 0 VBl P1a1 P2a2 P3a3 0 VB P1a1 P2a2 P3a3 l 1 l Piai MB 0 VAl P1b1 P2b2 P3b3 0 VA P1b1 P2b2 P3b3 l 1 l Pibi X 0 HA HB 8 4 2三铰拱内力的计算 由于C点为铰连接 C点处的弯矩为零 故以左半跨为隔离体对C点取矩 建立补充方程 MC 0 Val 2 HAf P1 l 2 a1 0 HA 1 2 Pibi 1 2P1 l 2a1 f对于简支梁 如图8 25 b 所示 可以按同样的方法求出 V0A 1 l PibiV0B 1 l Piai C点的弯矩为 M0C V0Al 2 P1 l 2 a1 1 2 Pibi 1 2P1 l 2a1 由上述各式可以得出 VA V0AVB V0BHA HB M0C f支座水平推力与拱轴曲线形状无关 而只与荷载及三个铰的位置有关 当荷载与跨度确定时 M0C为定值 水平推力与矢高成反比关系 f愈大 拱愈高 则推力愈小 f愈小 拱愈扁平 则推力愈大 图8 25 2 内力的计算 拱的内力计算时 仍按截面法计算 且截面应与拱轴垂直 该截面的位置由截面形心的坐标x y及该截面处拱轴切线的倾角 来确定 如图8 26 a 所示 设计算截面K的三个参数分别为xK yK K 该截面上的内力有MK 内侧受拉为正 QK 绕隔离体顺时针转动者为正 和NK 以压力为正 下面分别讨论三种内力的计算方法 弯矩的计算 取K截面以左为隔离体 如图8 26 c 所示 对K截面取矩 MK 0 HAyK VAxK P1 xK a1 MK 0 MK VAxK P1 xK a1 HAyK相应简支梁在相应位置处的弯矩也可由静力平衡条件求出 如图8 26 b d 所示 M0K V0AxK P1 xK a1 由于VA V0A 所以三铰拱K截面上的弯矩为 MK M0K HAyK 剪力的计算 如图8 26 c 所示 以QK方向为y轴 NK方向为x轴 建立坐标系 则由于 Y 0 QK VAcos K P1cos K HAsin K 0QK VA P1 cos K HAsin K相应简支梁在K截面处的剪力计算如下 如图8 26 d 所示 Y 0 Q0K P1 V0A 0 Q0K V0A P1 由于VA V0A 所以 QK Q0Kcos K HAsin K 轴力的计算 坐标系与求剪力时坐标系相同 则 X 0 NK P1sin K VAsin K HAcos K 0 NK VA P1 sin K HAcos K Q0Ksin K HAcos K对于承受外荷载的三铰拱 只要已知拱轴方程y f x 即不难根据已知的x值求出y值 并根据dy dx tan 求出 的值 进一步可按上述三个基本公式求出截面上的内力 图8 26 例8 10 某三铰拱及其荷载如图8 27 a 所示 当坐标原点选在左支座时 拱轴方程为y 4f l x x l2 试作该三铰拱的内力图 解 1 求支座反力 由式 8 7 和式 8 8 可求得 VA V0A 90kN VB V0B 70kN HA HB M0C f 1 2 90 4 50 3 20 2 1 kN 85kN 2 确定控制截面并计算控制截面的内力 将拱沿跨度分成8等份 各等分点所对应的截面作为控制截面 按照下列各计算公式计算各截面内力 MK M0K HAyK NK Q0Ksin K HAcos K QK Q0Kcos K HAsin K 计算结果见表8 1 3 绘制内力图 根据表8 1可以绘出内力图如图8 27 b 所示 图8 27 表8 1三铰拱的内力计算 为了充分发挥材料抗压强度高 抗拉强度较低的性能 我们可以通过调整拱的轴线 使拱在任何确定的荷载作用下各截面上的弯矩值为零 这时拱截面上只有通过截面形心的轴向压力作用 其压应力沿截面均匀分布 此时的材料使用最为经济 这种在固定荷载作用下 使拱处于无弯矩状态的相应拱轴线称为该荷载作用下的合理拱轴 合理拱轴的轴线方程可以根据在荷载作用下 任何截面的弯矩为零的原则确定 8 4 3三铰拱的合理拱轴 在某种荷载作用下 拱任何截面的弯矩为 M M0 HAy 令其等于零得 M0 HAy 0则 y M0 HA 由此可见 当拱上荷载为已知时 只要求出相应简支梁的弯矩方程 然后除以支座水平推力HA 即可求得合理拱轴的轴线方程 例8 11 求出如图8 28 a 所示三铰拱承受竖向均布荷载时的合理拱轴 解 作相应简支梁 其弯矩方程为 M0 1 2qlx 1 2qx2 1 2qx l x 支座水平推力为 HA M0C f ql2 8f合理拱轴方程应为 y M0 HA 1 2qx l x ql2 8f 4f l2 l x x 由此可见 三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴是一条二次抛物线 图8 28 8 5静定平面桁架 桁架结构是由很多杆件通过铰结点连接而成的结构 各个杆件内主要受到轴力的作用 截面上应力分布较为均匀 因此其受力较合理 工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架 托架 檩条等常常采用桁架结构 8 5 1桁架的特点及其分类 8 5 1 1桁架的特点 桁架的计算简图常常采用下列假定 1 联结杆件的各结点 是无任何摩擦的理想铰 2 各杆件的轴线都是直线 都在同一平面内 并且都通过铰的中心 3 荷载和支座反力都作用在结点上 并位于桁架平面内 满足上述假定的桁架称为理想桁架 在绘制理想桁架的计算简图时 应以轴线代替各杆件 以小圆圈代替铰结点 如图8 29所示为一理想桁架的计算简图 图8 29 1 按照桁架的外形分类 平行弦桁架 如图8 30 a 所示 折线形桁架 如图8 30 b 所示 三角形桁架 如图8 30 c 所示 梯形桁架 如图8 30 d 所示 抛物线形桁架 如图8 30 e 所示 2 按照竖向荷载引起的支座反力的特点分类 梁式桁架 只产生竖向支座反力 如图8 30 a b c d e 所示 拱式桁架 除产生竖向支座反力外还产生水平推力 如图8 30 f 所示 8 5 1 2桁架的分类 3 按照桁架的几何组成分类 简单桁架 以一个基本铰结三角形为基础 依次增加二元体而组成的几何不变且无多余联系的桁架 如图8 30 a d e 所示 联合桁架 由几个简单桁架组成的几何不变的静定桁架 如图8 30 c f 所示 复杂桁架 不属于简单桁架和联合桁架的桁架即为复杂桁架 如图8 30 b 所示 图8 30 在实际计算时 可以先从未知力不超过两个的结点计算 求出未知杆的内力后 再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算 在桁架中 有时会出现轴力为零的杆件 它们被称为零杆 在计算之前先断定出哪些杆件为零杆 哪些杆件内力相等 可以使后续的计算大大简化 在判别时 可以依照下列规律进行 8 5 2用结点法与截面法计算桁架的内力 8 4 2 1用结点法计算桁架的内力 1 对于两杆结点 当没有外力作用于该结点上时 则两杆均为零杆 如图8 31 a 所示 当外力沿其中一杆的方向作用时 该杆内力与外力相等 另一杆为零杆 如图8 31 b 所示 2 对于三杆结点 若其中两杆共线 当无外力作用时 则第三杆为零杆 其余两杆内力相等 且内力性质相同 均为拉力或压力 如图8 31 c 所示 3 对于四杆结点 当杆件两两共线 且无外力作用时 则共线的各杆内力相等 且性质相同 如图8 31 d 所示 图8 31 例8 12 用结点法计算如图8 32 a 所示桁架中各杆的内力 解 1 计算支座反力 VA VB 1 2 3 40 2 20 kN 80kN 2 计算各杆内力 由于A结点只有两个未知力 故先从A结点开始计算 A结点 如图8 32 b 所示 Y 0 VA 20 VA4 0 VA4 60kN NA4 60 5kN 134 16kN 压力 X 0 NA1 HA4 0 HA1 HA4 6 3 5NA4 120kN 拉力 以1结点为隔离体 可以断定14杆为零杆 A1杆与12杆内力相等 性质相同 即 N12 NA1 120 kN 拉力 以4结点为隔离体 如图8 32 c 所示 Y 0 V45 P V42 V41 V4A 0 X 0 H45 H42 H4A 0 将H45 V45 H42 N42 V42 N42 HA4 NA4 VA4 N41代入上两式得 N45 N42 134 16 联立求解得 N42 44 7 kN 压力 N45 89 5 kN 压力 以结点5为隔离体 如图8 32 d 所示 由于对称性 所以N56 N54 Y 0 V54 V56 N52 40 0 2V54 N52 40 0 N52 40kN 拉力 3 校核 以结点6为隔离体进行校核 可见满足平衡方程 图8 32 用一截面将桁架分为两部分 其中任一部分桁架上的各力 包括外荷载 支座反力 各截断杆件的内力 组成一个平衡的平面一般力系 根据平衡条件 对该力系列出平衡方程 即可求解被截断杆件的内力 利用截面法计算桁架中各杆件内力时 最多可以列出两个投影方程和一个力矩方程 即 FX 0 FY 0 M 0 8 5 2 2用截面法计算桁架各杆件的内力 例8 13 如图8 33 a 所示的平行弦桁架 试求a b杆的内力 解 1 求支座反力 FY 0 VA VB 1 2 2 5 5 10 kN 30kN 2 求a杆内力 作 截面将12杆 a杆 45杆截断 如图8 33 a 所示 并取左半跨为隔离体 如图8 33 b 所示 由于上 下弦平行 故用投影方程 式 8 14 计算较方便 FY 0 Na VA 5 10 0 Na 5 10 30 kN 15kN 压力 3 求b杆内力 作 截面将23杆 b杆 45杆截断 如图8 33 a 所示 取左半跨为隔离体 如图8 33 c 所示 利用投影方程 Y 0计算 Y 0 VA Vb 5 10 10 0 Vb 30 5 10 10 kN 5kN 根据Nb与其竖向分量Vb的比例关系 可以求得 Nb 2Vb 7 07kN 拉力 图8 33 例8 14 求图8 34 a 所示桁架中CD杆 HC杆的内力 解 1 求支座反力 Y 0 VA VB 4P 2 求CD杆的内力 作 截面 如图8 34 a 所示 取左半跨为隔离体 如图8 34 b 所示 由于三个未知力中NFE NGE交于一点E 故利用力矩方程计算 ME 0 Val 2 NCDh P 2 l 2 P 3a P 2a P a 0 NCD 8Pa h 3 求HC杆的内力 作 截面 如图8 34 a 所示 取左半跨为隔