高中数学好题速递400题（01—50）

好题速递 1 1 已知是内任一点 且满足 则的取值范围是 PABC APxAByAC xyR 2yx 解法一 令 由系数和 知点在线段上 从而 1xy AQAPABAC xyxyxy 1 xy xyxy QBC 由 满足条件易知 1 AP xy AQ xy 0 0 1 xy xy 2 0 2 yx 解法二 因为题目没有特别说明是什么三角形 所以不妨设为等腰直角三角形 则立刻变为线性规划问ABC 题了 2 在平面直角坐标系中 x轴正半轴上有5个点 y轴正半轴有3个点 将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条 线段 这15条线段在第一象限内的交点最多有 个 答案 30 个 好题速递 2 1 定义函数 其中表示不超过的最大整数 如 当时 f xx x xx 1 5 1 1 3 2 0 xnnN 设函数的值域为 记集合中的元素个数为 则式子的最小值为 f xAA n a 90 n a n 答案 13 解析 当时 其间有 个整数 0 1n 0 x x 1 当 时 其间有 个正整数 故 1ni i 1 2 1in 2 1 ix xi i i 1 1 12 1 1 2 n n n an 90911 22 n an nn 由得 当或时 取得最小值 91 2 n n 13n 1413 2 有七名同学站成一排照毕业纪念照 其中甲必须站在正中间 并且乙 丙两倍同学要站在一起 则不同的 站法有 种 答案 192 种 好题速递 3 1 已知直线平面 垂足为 在矩形中 若点在 上移动 点在平面上l OABCD1AD 2AB AlB 移动 则 两点间的最大距离为 OD 解 设的中点为 则点的轨迹是球面的一部分 ABEE1OE 2DE 所以21ODOEED 当且仅当三点共线时等号成立 O E D 2 将 四个球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 每个盒子中至少放一个球且 两个球不 能放在同一盒子中 则不同的放法有 种 答案 30 种 好题速递 4 1 在平面直角坐标系中 设定点 是函数图象上一动点 若点之间的最短距xOy A a aP 1 0yx x P A 离为 则满足条件的实数的所有值为 2 2a 解 解 函数解析式 含参数 求最值问题 2 22 22 22 1111 2222APxaaxa xaxaa xxxx 因为 则 分两种情况 0 x 1 2x x 1 当时 则2a 2 min 22 2APa 10a 2 当时 则2a 2 min 2422 2APaa 1a 2 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习 每班至少 1 名 最多 2 名 则不同的分配方案有 种 答案 90 种 好题速递 5 1 已知 则的最小值为 x y R 2 22 xyx y 解 构造函数 则与两点分别在两个函数图象上 故所 1 yx 2 2 y x x x 2 y y 求看成两点与之间的距离平方 x x 2 y y 令 22 20802 2 2 yxm xmxmm y x 所以是与平行的的切线 故最小距离为2 2yx 1 yx 2 2 y x 2d 所以的最小值为 4 2 22 xyx y 2 某单位要邀请 10 位教师中的 6 人参加一个研讨会 其中甲 乙两位教师不能同时参加 则邀请的不同方法 有 种 答案 140 种 好题速递 6 1 已知定圆的半径分别为 圆心距 动圆 C 与圆都相切 圆 12 O O 12 r r 12 2O O 12 O O 心的轨迹为如图所示的两条双曲线 两条双曲线的离心率分别为 则的值C 12 e e 12 1 2 ee e e 为 A 和中的较大者 B 和中的较小者 C D 1 r 2 r 1 r 2 r 12 rr 12 rr 解 取为两个焦点 即 12 O O1c 若与同时相外切 内切 则CA 12 OOAA 121221 COCORrRrrr 若与同时一个外切一个内切 则CA 12 OOAA 121221 COCORrRrrr 因此形成了两条双曲线 此时 不妨设 则 2121 12 1 2 2121 11 22 11 22 rrrr ee e e rrrr 21 rr 12 2 1 2 ee r e e 2 某班学生参加植树节活动 苗圃中有甲 乙 丙 3 种不同的树苗 从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个 树坑内 同种树苗不能相邻 且第一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种 答案 6 种 好题速递 7 1 已知是双曲线的左右焦点 以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 12 F F 22 22 10 0 xy ab ab 12 F FM 与双曲线交于点 且 均在第一象限 当直线时 双曲线的离心率为 若函数NMN 1 MFONe 则 2 2 2f xxx x f e 解 所以 所以的方程为 222 xyc M a b b yx a 1 F M b k ac ON b k ac ON b yx ac 所以 22 22 22 1 22 xy a acab ab N b caccac yx ac 又在圆上 所以N 222 xyc 22 2 22 22 a acab c caccac 所以 所以 32 2220eee 2 2 22f eee e 2 用 0 1 2 3 4 这五个数字组成无重复数字的五位数 其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间 这样的五位数的个数有 个 答案 28 个 好题速递 8 1 已知的三边长分别为 其中边 为最长边 且 则 的取值范围是 ABC a b cc 19 1 ab c 解 由题意知 故 所以 ac bc 191910 1 abccc 10c 又因为 而abc 199 1016 ba abab abab 所以故综上可得16c 1016c 2 从 5 名志愿者中选出 3 名 分别从事翻译 导游 保洁三项不同的工作 每人承担一项 其中甲不能从事 翻译工作 则不同的选派方案共有 种 解 48 种 好题速递 9 1 在平面直角坐标系中 已知点是半圆上的一个动点 点在线段的延长xoyA 22 40 24xyxx COA 线上 当时 则点的纵坐标的取值范围是 20OA OC AC 解 设 22cos 2sinA 22 cos 2 sinC 1 2 2 由得 所以20OA OC A 5 22cos 5 sin055sin 2sin5 5 22cos1coscos1 C y 2 编号为 1 2 3 4 5 的五个人分别去坐编号为 1 2 3 4 5 的五个座位 其中有且只有两个的编号与 座位号一致的坐法是 种 答案 20 种 好题速递 10 1 点是直角斜边上一动点 将直角沿着翻折 使与构成DABC AB3 2ACBC ABC CD B DC ADC 直二面角 则翻折后的最小值是 AB 解 过点作于 连结 B B ECD E BE AE 设 则有 BCDB CD 2sin 2cos 2 B ECEACE 在中由余弦定理得AEC 在中由勾股定理得 222 94cos12coscos94cos12sincos 2 AE RT AEB 所以当时 取得最小值为 22222 94cos12sincos4sin136sin2ABAEB E 4 AB7 2 从 1 到 10 这是个数中 任意选取 4 个数 其中第二大的数是 7 的情况共有 种 答案 45 种 好题速递 11 1 已知函数 若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形 421 421 xx xx k f x 123 x xx 123 f xf xf x 则实数的取值范围是 k 解 令 4211 1 1 421 21 2 xx xx x x kk f x 11 0 1 3 21 2 x x g x 当时 其中当且仅当时取得等号1k 2 1 3 k f x 0 x 所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形 只需 所以 123 x xx 123 f xf xf x 2 2 3 k 14k 当时 其中当且仅当时取得等号1k 2 1 3 k f x 0 x 所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形 只需 所以 123 x xx 123 f xf xf x 2 21 3 k 综上可得 1 1 2 k 1 4 2 k 2 在一条南北方向的步行街同侧有 8 块广告牌 牌的底色可选用红 蓝两种颜色 若只要求相邻两块牌的底色 不都为红色 则不同的配色方案共有 种 答案 55 种 好题速递 12 1 已知函数 若关于的不等式的解集为空集 则实数的取值范围是 22 21f xxaxa x 0ff x a 解 所以的解集为 22 2111f xxaxaxaxa 0f x 1 1aa 所以若使的解集为空集就是的解集为空 即 0ff x 1 1af xa min 1fxa 所以 即11a 2a 2 某校举行奥运知识竞赛 有 6 支代表队参赛 每队 2 名同学 12 名参赛同学中有 4 人获奖 且这 4 人来自 3 人不同的代表队 则不同获奖情况种数共有 种 答案 种 3111 6322 C C C C 好题速递 13 1 已知定义在上的函数满足 在上的表达式为R f x 20f xfx 20f xfx 1 1 则函数与函数的图象在区间上的交点个数为 2 1 1 0 1 0 1 xx f x x x f x 1 2 2 0 log 0 x x g x x x 3 3 2 若的展开式中的系数是 80 则实数的值是 5 1 ax 3 xa 答案 2 好题速递 14 1 是定义在正整数集上的函数 且满足 则 f x 12015f 2 12fff nn f n 2015f 解 2 12fff nn f n 2 12111fff nnf n 两式相减得所以 2 2 11f nn f nnf n 1 11 f nn f nn 所以 2015201422014 2013 2012121 201512015 2014201312016 2015 2014320161008 fff ff fff 2 某次文艺汇演 要将 A B C D E F 这六个不同节目编排成节目单 如下表 序号123456 节目 如果 A B 两个节目要相邻 且都不排在第 3 号位置 那么节目单上不同的排序方式 有 种 答案 144 种 好题速递 15 1 若是两个非零向量 且 则与的夹角的取值范围是 a b abab 3 1 3 b ab 解 令 则1ab 1 ab 设 则由余弦定理得 a b 22 2 2 1 11 1 cos1cos 22 又 所以 3 1 3 1 1 cos 2 2 所以 所以由菱形性质得 2 33 25 36 b ab 2 若的展开式中第三项系数等于 6 则 n 1 11 n x 答案 12 好题速递 16 1 函数 集合 2 2f xxx 2Ax yf xfy Bx yf xfy 则由的元素构成的图形的面积是 AB 解 22 2 114Ax yf xfyx yxy 画出可行域 正好拼成一个 22Bx yf xfyx yxyxy 半圆 2S 2 甲 乙 丙 丁四个公司承包 8 项工程 甲公司承包 3 项 乙公司承包 1 项 丙 丁两公司各承包 2 项 共有承包方式 种 答案 1680种 好题速递 17 1 在棱长为 1 的正方体中 在面中取一个点 1 111 ABCDA B C D 1 1 2 AEAB ABCD 使最小 则这个最小值为 F 1 EFFC 解 将正方体补全成长方体 点关于面的对称点为 连接交平面于一 1 111 ABCDA B C D 1 CABCD 2 C 2 ECABCD 点 即为所求点 使最小 其最小值就是 F 1 EFFC 2 EC 连接 计算可得 所以为直角三角形 所以 212 ACB C 2121 3 5 2ACB CAB 12 AB C 2 14 2 EC 2 若 且 则实数 m 的值为 6 26 0126 1mxaa xa xa x 1236 63aaaa 答案 1 或 3 好题速递 18 1 已知双曲线的左 右焦点分别为 过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点 22 22 10 0 xy ab ab 12 F F 1 F 若点是线段的中点 且 则此双曲线的离心率等于 P QP 1 FQ 12 QFQF 解法一 由题意 从而有 1 F Pb 2 aab P cc 又点为的中点 所以P 1 FQ 1 0Fc 2 22 aab Qc cc 所以 整理得 所以 2 22abba c cac 22 4ac 2e 解法二 由图可知 是线段的垂直平分线 又OP 1 F P 是OQ 斜边中线 12 Rt FQF 所以 所以 12 60FOPPOQQOF 2e 解法三 设 则 0Q am bmm 1 QFcambm 2 QFcambm 由 解得 12 0QFQFcambmcambm 1m 所以 Q a b 22 ac b P 所以 即 所以 22 bb ac a 2ca 2e 2 现有甲 已 丙三个盒子 其中每个盒子中都装有标号分别为 1 2 3 4 5 6 的六张卡片 现从甲 已 丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 答案 18 好题速递 19 1 已知为坐标原点 平面向量满足 O OA OB OC 24OAOB 0OA OB A 20OCOAOCOB A 则对任意和任意满足条件的向量 的最大值为 0 2 OC cos2sinOCOAOB 解 建立直角坐标系 设则由 得 4 0 0 2C x yAB 20OCOAOCOB A 22 220 xyxy 22 cos2sin4cos4sinOCOAOBxy 等价于圆上一点与圆上一点连线段的最大值即为 22 112xy 22 16xy 2 24 2 已知数列 的通项公式为 则 n a 1 21 n n a 0 1n a C 1 2n a C 3 3n a C 1 n nn aC 答案 23 nn 好题速递 20 1 已知实数成等差数列 点在动直线 不同时为零 上的射影点为 若点 a b c 3 0P 0axbyc a bM 的坐标为 则的取值范围是 N 2 3MN 解 因为实数成等差数列 所以 方程变形为 整理为 a b c2bac 0axbyc 2 20axac yc 2 2 0axyc y 所以 即 因此直线过定点 20 20 xy y 1 2 x y 0axbyc 1 2Q 画出图象可得 90PMQ 2 5PQ 点在以为直径的圆上运动 线段的长度满足MPQMN 即55FNMNFN 5555MN 2 如果一条直线与一个平面平行 那么称此直线与平面构成一个 平行 线面组 在一个长方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平 面构成的 平行线面组 的个数是 个 答案 48 好题速递 21 1 已知函数是定义在上的偶函数 当时 若关于的方程R0 x 2 5 02 16 1 12 2 x xx f x x x 有且仅有 6 个不同实数根 则实数的取值范围是 2 0 f xaf xba b Ra 解 设 问题等价于有两个实根 或 tf x 2 0g ttatb 12 t t 12 5 01 1 4 tt 12 55 1 44 tt 所以或 00 9 101 4 5 0 4 g gha g 5 1 24 59 10 24 5 0 4 a gha g 综上 或 59 24 a 9 1 4 a 2 在的展开式中 的幂的指数是整数的项共有 项 24 3 1 x x x 答案 5 好题速递 22 1 已知椭圆的左 右焦点为 直线 过点且垂直于椭圆的长轴 动直线垂直于 于点 22 1 1 32 xy C 12 F F 1 l 1 F 2 l 1 l 线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线 若是上不同的点 且P 2 PF 2 l 2 C 1122 1 2 AB x yC xy 2 C 则的取值范围是 ABBC 2 y 解 由题意 2 2 4Cyx 设代入 得 2 1 AB lxm y 2 2 4Cyx 2 4840ymym 所以 1 42ym 2 1 44121xmmm 设代入 得 21 42 21 BC lxymm m 2 2 4Cyx 2 2 48 164 210yym mm 所以所以 122 4 42yymy m 2 4 42 610 ym m 2 人排成一排照相 要求甲不排在两端 不同的排法共有 种 用数字作答 5 答案 72 好题速递 23 1 数列是公比为的等比数列 是首项为 12 的等差数列 现已知且 则以下结论中 n a 2 3 n b 99 ab 1010 ab 一定成立的是 请填上所有正确选项的序号 910 0a a 10 0b 910 bb 910 aa 解 因为数列是公比为的等比数列 所以该数列的奇数项与偶数项异号 即 n a 2 3 当时 当时 所以是正确的 1 0a 212 0 0 kk aa 1 0a 212 0 0 kk aa 910 0a a 当时 又 所以 1 0a 10 0a 1010 ab 10 0b 结合数列是首项为 12 的等差数列 此时数列的公差 数列是递减的 n b0d n b 故知 910 bb 当时 又 所以 1 0a 9 0a 99 ab 9 0b 结合数列是首项为 12 的等差数列 此时数列的公差 数列是递减的 n b0d n b 故知 综上可知 一定是成立的 910 bb 2 设的展开式的各项系数之和为 M 二项式系数之和为 N 若 M N 240 则展开式中 x3的系数为 5 n xx 答案 150 好题速递 24 1 已知集合 其中 且是单元素集合 2 21Ax yyxbx 2Bx yya xb 0 0ab AB 则集合对应的图形的面积为 22 1x yxayb 解 2 2 21 22120 2 yxbx xba xab ya xb 2 22 224 1201baabab 所以由得知 圆心对应的是四分之一单位圆弧 红色 22 1 0 0 ab ab a b A MPN 此时所对应的图形是以这四分之一圆弧上的点为圆心 以 1 为半径的圆面 从 22 1x yxayb A MPN 上到下运动的结果如图所示 是两个半圆 与 加上一个四分之一圆 即图中被绿实线包 A ABO A ODEAOEF 裹的部分 所以 2 2 22 24 S 2 2010 年浙江高考 17 有 4 位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台 阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测试一人 则不同的安排方式共有 种 用数字作答 解 解 设有四个同学参加测试 a b c d 上午 身高 立定跳远 肺活量 台阶 下午 身高 立定跳远 肺活量 握力 上午测试的种类有种 4 4 A 下午分两类 一类为早上测台阶的同学下午测了握力 那么另三个同学就相当于三个人不坐自己位置的问题 有 2 类选择 另一类为早上测台阶的同学下午不测握力 那么四个同学相当于四个人不坐自己位置的问题 有 9 类选择 所以共有种 4 4 29264A 好题速递 25 1 若在给定直线上任取一点 从点向圆引一条切线 切点为 若存在定点 yxt PP 2 2 28xy QM 恒有 则 的取值范围是 PMPQ t 解 直线上任意一点 过点作圆的切线长yxt 00 P xxt P 2 2 00 28PQxxt 设 则 M m n 22 00 PMxmxtn 由题知 222 2 0000 28xxtxmxtn 整理得 22 0 244224ntmn xmn 又为定点 的任意性 所以 M m n 00 P xxt 20mn 所以所以 22 244ntmn 2 244 22 22 nn tn nn 所以 26 t 2 在展开式中 含的负整数指数幂的项共有 项 10 1 2 x x x 答案 4 好题速递 26 1 设 则当 时 取得最小值 2 0abb a 1 2 a ab 解 1 21 2444444 aaaa abababa ababaabaaba 当时 0a 15 24 a ab 当时 当且仅当时取等号0a 113 24444 aa abba ababab 2ba 所以时取得最小值 2 4ab 2 2008 年浙江高考 16 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同 且 1 和 2 相邻 这样的六位数的个数是 用数字作答 解 解 依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有种方案 再向这排好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体 22 22 28AA 有种插法 1 5 A 不同的安排方案共有种 221 225 240AAA 好题速递 27 1 设 则函数在上的最小值为 x R 22 max 22min1 33f xxxxxx f xR 解 2 222 2 1 1 1 max 22min1 3333 1 2 1 5 2 xxx f xxxxxxxxx xxx 画出图象可得当且仅当时函数取到最小值 1 1x f x 2 若展开式的二项式系数之和为 64 则展开式的常数项为 1 nx x 答案 20 好题速递 28 1 已知函数满足 则 f x 1 1 4 f 4 22 xyxy f xfyffx y R 2011f 解 令 则令 则1xy 1 0 2 f yx fxf x 令 则 进而有2yx 24111f xf xf xff x 6f xf x 所以的周期为 6 所以 f x 1 201120111 4 fff 2 四川高考 方程中的 且互不相同 在所有这些方程所表示的曲 22 ayb xc 3 2 0 1 2 3 a b c a b c 线中 不同的抛物线共有 条 解法一 将方程变形为 若表示抛物线 则 所以分五种情况 利用列 2 2 bc yx aa 0 0ab 3 2 1 2 3b 举法解决 1 当时 或或或3b 2 0 1 2 3ac 1 2 0 2 3ac 2 2 0 1 3ac 3 2 0 1 2ac 2 当时 或或或3b 2 0 1 2 3ac 1 2 0 2 3ac 2 2 0 1 3ac 3 2 0 1 2ac 以上两种情况有 9 条重复 故共有条16723 3 同理 当或时 也有 23 条2b 2b 4 当时 或或或 共有1b 3 2 0 2 3ac 2 3 0 2 3ac 2 3 2 0 3ac 3 3 2 0 2ac 16 条 综上共有种 2323 1662 解法二 6 选 3 全排列为种 3 2 0 1 2 3 a b c 3 6 120A 这些方程表示抛物线 则 要减去种0 0ab 2 5 240A 又和时 方程出现重复 用分步计算原理可计算重复次数为2b 3b 3 3 218 所以不同的抛物线共有种 120401862 好题速递 29 1 已知当 不等式恒成立 则的取值范围是 1 3x 21axa a 解法一 结合的图象分类讨论 2f xax 当 即时 解得21a 1 2 a 112aa 1 2 a 当 即时 解得23a 3 2 a 123aa 2a 当 即时 解得 综上可知 或123a 13 22 a 10a 1 1 2 a 1a 2a 解法二 当时显然成立1a 当时 有或1a 2121axaxaa 21xaa 进而有 或所以或 综上 或 min 1 3 x a max1ax 2 3 a 2a 1a 2a 2 若那么 n 2 1 1 6 nn xxpxqxnNpq 且 答案 3 好题速递 30 1 已知是定义在上的奇函数 当时 其中 若对任意的恒有 f xR0 x 2 2f xxa x 0a x R 则实数的取值范围是 2f xaf x a 解 当 即时 是增函数 所以恒成立 2 0 2 a 02a f x 2f xaf x 当 即时 则由图象可知 两个自变量的差距至少 2 0 2 a 2a 2 a 要不小于左右两个零点间的差距 即 所以 22a 222aa 24a 综上可知 04a 2 祝你新年快乐阖家幸福 这句话 如图所示形式排列 从 祝 字读 起 只允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读 则读完整句话的不同读法 共有 种 答案 种 9 2512 好题速递 31 1 设函数 若函数有且只有 3 个实根 则实数的取值范围是 2 2f xxxa ff xf x a 解 令 则有两个不等实根 则 f xt 2 0tta 12 t t 12 1 2 140 1 a tt t ta 令 若使函数有且只有 3 个实根 只需使的图象与直线 2 2g xxx ff xf x 2 2g xxx 恰有三个公共点 所以必有一条直线经过的顶点 不妨设而 12 yta yta 2 2g xxx 1 1ta 2 1ta 故有 所以 所以 1 1ta 2 ta 1 2 1t taaa 0a 2 某市春节晚会原定 10 个节目 导演最后决定添加 3 个新节目 但是新节目不排在第一个也不排在最后一个 并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变 则该晚会的节目单的编排总数为 种 答案 990 好题速递 32 1 若函数在区间上单调递增 那么实数的取值范围是 2 1 f x xaxa 1 2 2 a 解 这是 函数复合 在上递减且恒正 或恒负 1 y u 2 uxaxa 2 uxaxa 1 2 2 或 2 1 221 1 211 0 22 a a aa 2 1 22 220 a aa 2 若二项式展开式中含有常数项 则的最小取值是 2 3 2 3 n x x nN n 答案 7 好题速递 33 1 已知函数的定义域为 函数的定义域为 当时 实数的取 2 6yxx A 2 lg43ykxxk BBA k 值范围是 解 2 3A 的解集为 又 所以必有 2 430kxxk BBA 2 4430 3 5504 2 10150 k k kk k 这里要注意函数的定义域不能为空 2 2011 年浙江高考 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 将其随机地并排摆放 到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的情况有 种 用数字作答 解法一 设书为 位置为 12345 位 1212 A A B B C 若在最左 1 号位或最右 5 号位 则剩下四本书有形式 共有CABAB or BABA 22 22 2216AA 若在 2 号位或 4 号位 则剩下四本书有形式 共有CABAB or BABA 22 22 2216AA 若在 3 号位 则有C 22 22 416AA 所以共有 48 种 解法二 分步完成 第一步先三本书全排列 共种 11 ABC 3 3 A 第二步 将插入 分两类 22 A B 一类为无型 则有种插法ABA2 36 一类为有型 则有种插法ABA2 12 所以共有种 3 3 2648A 解法三 5222223 5223223 248AA A AA A A 祝 你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福 你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福 新 年 快 乐 阖 家 幸 福 年 快 乐 阖 家 幸 福 快 乐 阖 家 幸 福 乐 阖 家 幸 福 阖 家 幸 福 家 幸 福 幸 福 福 好题速递 34 1 已知以为直径 半径为 2 点都在线段上 过作OAAB O MAB2 1AOBM M 互相垂直的弦和 则的取值范围是 GEFDGEFD 解法一 如图所示 设 则0 2 EMA 2 DMA sinON cosOP 所以 2224 2 4sin2 4cos4 12sinsinGEFD 令 则 2 sin0 1t 2 24 149 4 1248 3 14 24 GEFDttt 解法二 其中 2222 2 42 44 12GEFDONOPONOP 222 1ONOPOM 所以 2224 4 12 1 4 12GEFDONONONON 又 所以 0 1ON 8 3 14GEFD 2 已知展开式 则 33 22212 01212 66xxxxaa xa xa x 159 aaa 解 333 2242 661336xxxxxx 打开后没有奇次项 所以0 159 aaa 好题速递 35 1 已知函数 且 则的值 2 2 4 0 4 0 xx x f x xx x 0 0 0abbcca f af bf c A 恒为正 B 恒为负 C 恒为 0 D 无法确定 解 易判断是奇函数 且在上单调递增的函数 f xR 由可得0 0 0abbcca ab bc ca 所以 f afbf bfcf cfa 所以 0 0 0f af bf bf cf cf a 所以 0f af bf c 2 如图所示是 2008 年北京奥运会的会徽 其中的 中国印 主体由四个互不连通的色块构成 可以用线段在不 穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来 如同架桥 如果用三条线段将这四个色块连接起来 不 同的连接方法共有 种 解法一 考虑 A B C D 四块区域 三条线连结共有两类 第一类 一块区域和三块区域连结 共有种 1 4 4C 第二类 四块区域依次连结 即 ABCD 全排列 但注意 ABCD 与 DCBA 是同一种情况 所以共有种 4 4 12 2 A 综上 共有 16 种 解法二 把问题抽象为正方形四个顶点之间连线共有 6 条 任取其中的三条将四个点连结 只需除去构成三角形的三条连线即可 故有 3 6 416C 好题速递 36 1 已知定义在上的偶函数在上的增函数 且对任意的恒成立 则R f x 0 12f axf x 1 1 2 x 的取值范围是 a 解 由题意 对任意的恒成立等价于对任意的恒成立 12f axf x 1 1 2 x 12axx 1 1 2 x 解得 13 1 22 11 a a 20a 2 在的展开式中 的系数是 6 12xx 3 x 答案 55 好题速递 37 1 若函数有且仅有 3 个零点 则实数的取值范围是 2 221f xxa xaax a 解法一 令 则txa 22 210ytatat 则有两个零点 其中一个为 0 一个大于 0 22 210ytatat 所以 解得 经验证 可知 2 10a 1a 1a 123 456 789 解法二 22 2210212xa xaaxxaxa xa 等价于 恰有三个公共点 结合图象可得 且 所以 2 21g xxax 2h xa xa 2 10a 0a 1a 2 用红 黄 蓝三种颜色去涂图中标号为 1 2 3 9 的 9 个小正方形 如图 使得任意两个相邻 有公 共边的 小正方形所涂颜色都不相同 且 3 5 7 号数字涂相同的颜色 则符合条件的所有涂色方法有 种 解 3 5 7 号数字涂相同的颜色 共有 3 种选择 2 涂色有 2 种 24 同色有 1 种 1 有 2 种 24 异色有 1 种 1 有 1 种 故涂完 1 2 4 有种同理涂完 6 7 8 也有 6 种 22 1 6 综上 共有种3 66 108 好题速递 38 1 方程的解集为 若 则实数的取值范围是 1axx A 0 2A a 解法一 解法一 22 112100axxaxaxx 当时 1a 1 0 2 2 A 当时 1a 0 2A 当时 的解为1a 22 1210axax 12 11 11 xx aa 要使 则需或或或 0 2A 1 0 1 1 0 1 a a 1 0 1 1 02 1 a a 1 0 1 1 02 1 a a 1 02 1 1 02 1 a a 解之得 综上得 13 11 22 aoraor a 13 11 22 aoraor a 解法二 解法二 等价于或1axx 1axx 10axx x 分别作出 的图象如图所示1yax yx yx 由图可知 13 11 22 aoraor a 解法三 解法三 等价于或1axx 1 1a x 1 10ax x 分别作出图象如图所示 1 1 1 yayay x 所以由图知 或或 1 1 2 1 1 2 a a 1 1 2 10 a a 10a 解得 13 11 22 aoraor a 解法四 解法四 当时显然成立0a 当时 分别作出函数的图象如图所示0a 1 yaxyx 由图可知 的图象最低点只能落在横轴的实线部分1yax 1 0 a 故可得 13 11 22 aoraor a 2 的展开式中 含项的系数是 225 425 1 xxx 4 x 答案 30 好题速递 39 1 已知三个实数 当时满足且 则的取值范围是 a b c0c 23bac 2 bca 2ac b 解法一 齐次化思想 解法一 齐次化思想 由知 2 bca 0b 因为时 所以 0b 0b 令 则 ac xy bb 2 2 123 1231 01 30 xy xx yxor x x yx 令 2 1 22 9 zxyxx 解法二 解法二 由 2 2 2 23413 aa bacacc cc 令 则 1 3 a t c 22 2 22111111 22 489 act btttt 同类题 同类题 1 已知正数满足 则的取值范围是 a b c534cabca lnlncbacc b a 2 已知正数满足 则的取值范围是 a b c324acbac abc ab 3 已知正数满足 则的取值范围是 a b c3abca 22 35ba acb 2bc a 2 安徽高考 10 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换 的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换 则收到 4 份纪念品的同学人数为 A 1 或 3 B 1 或 4 C 2 或 3 D 2 或 4 解 任意两个同学之间交换纪念品共要交换次 如果都完全交换 每个人都要交换 5 次 也就是得到 5 2 6 15C 份纪念品 现在 6 个同学总共交换了 13 次 少交换了 2 次 这 2 次如果不涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的 同学人数有 4 人 如果涉及同一个人 则收到 4 份纪念品的同学人数有 2 人 所以答案为 2 或 4 好题速递 40 1 在边长为 1 的正三角形纸片的边上分别取两点 使沿线段折叠三角形纸片后 顶点ABC AB AC D EDE 正好落在边 设为 在这种情况下 的最小值为 ABCPAD 解 设 则由对称性可知 ADx ADE DPx PDE 所以1BDx 1802BDP 260DPB 所以在中由正弦定理得BDP 1 sin60sin 260 xx 又 所以当 即时 3 32sin 260 x 0 90 26090 75 min 2 33x 2 陕西高考 两人进行乒乓球比赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情形 各人输赢局 次不同视为不同情形 共有 种 解法一 比赛场数至少 3 场 至多 5 场 当为 3 场时 情况为甲或乙连赢 3 场 共 2 种 当为 4 场时 若甲赢 则前三场中甲赢 2 场 最后一场甲赢 共有种情况 2 3 3C 同理若乙赢 也有 3 种情况 共有 6 种情况 当为 5 场时 前 4 场 甲乙各赢 2 场 最后一场胜出的人赢 共有种 2 4 212C 综上 共有 20 种情况 解法二 将 5 场比赛都比完 赢的人定为三胜两负 没打的比赛就算输 则问题转化为最终的胜利者从 5 场比赛里选 2 场输即可 有种结果 2 5 10C 所以甲 乙两人共有种 2 5 220C 解法三 设甲赢 1 甲输 0 按照第一轮甲赢或甲输两种情况分类 列树状图罗列 以甲赢为例 出现 三个 1 或三个 0 结束 树梢末端共有 10 个 所以共有 20 种 好题速递 41 1 已知 函数 若函数有 6 个零点 则m R 2 21 1 log1 1 xx f x xx 2 221g xxxm yfg xm 实数的取值范围是 m 解 令 则函数有 6 个零点等价于恰有三个实根且对应有 6 个实根 g xt yfg xm f tm g xt 函数与图象有三个交点 其横坐标分别为 2 21 1 log1 1 xx f x xx ym 123 t t t 如图所示 其中最小的根 1 1 2 m t 结合图象可知 要满足有 6 个实根需使 且 g xt 1 min 1 22 2 m tg xm 0m 解得 3 0 5 m 2 集合 其中 则集合中满足条件 32 1234 101010Ax xaaaa 1 2 3 4 14 i aii NA 中最小 且 的元素有 个 i a 1 a 12233441 aa aa aa aa 解 本题可理解为涂色问题 四个格子 相邻两格不同数字 头尾两个数字也不同 且第一格数字最小 第一格填 1 则第二格有种选择 第三格填的数字与第一格相同填 1 则第四格有种选择 因此共 9 种选 1 3 C 1 3 C 择 第一格填 2 则第二格有种选择 第三格填的数字与第一格相同填 2 则第四格有种选择 因此共 4 种选 1 2 C 1 2 C 择 第一格填 3 则第二格有 1 种选择填 4 第三格填的数字与第一格相同填 3 则第四格有 1 种选择填 4 因此共 1 种选择 第一格填 1 则第二格有种选择 第三格填的数字与第一格不同有种选择 则第四格有种选择 因此 1 3 C 1 2 C 1 2 C 共 12 种选择 第一格填 2 则第二格有种选择 第三格填的数字与第一格不同有种选择 则第四格有 1 种选择 因此 1 2 C 1 1 C 共 2 种选择 因此共有种 941 12228 好题速递 42 1 已知函数的图象过点 且对任意的都有不等式 2 0f xaxbxc a 1 0 x R 成立 若函数有三个不同的零点 则实数的取值范围是 2 3231xf xxx 2 22yf xf xmxm m 解 由题夹逼形式知 令 解得 2 3231xxx 1x 当时 即 所以1x 212f 12f 2abc 又 即 所以 10f 0abc 1 1bca 再由对任意的恒成立 22 31231xaxxaxx x R 即且对任意的恒成立 2 420axxa 2 220axxa x R 所以 解得 所以 16420 4420 0 20 aa aa a a 1a 2 2f xxx 函数有三个不同的零点 2 22yf xf xmxm 即有三个不同零点 2 222 22 22 21 2222 22224 2 1 mxmx yxxxxmxm xm xmx 则必有在上有一解 且在上有两解 2 220mxm 21 x 22 222240 xm xm 2 1x 由在上有一解得或 即或 2 220mxm 21 x 2m 1m 2m 1m 由在上有两解转化为有两解 22 222240 xm xm 2 1x 22 22422xxmxm 即二次函数与一次函数相切的临界状态 由解得 2 2 228 420mm 12 7 3 m 结合图象得 12 712 7 2 1 33 m 2 若 的二项展开式中第 5 项为常数项 则 2 1 n x x nN n 答案 T5 Cn4 x2 n 4 4 Cn4x2n 12 令 2n 12 0 得 n 6 1 x 好题速递 43 1 在平面直角坐标系中 若动点到直线 的距离分别为满足xoy P a b 1 lyx 2 1lyx 12 d d 则的最大值为 12 22 2dd 22 ab 解 得 12 1 22 abab dd 12 21 22 2 22 abab dd 214abab 画出可行域如图 是个平行四边形 ABCD 可以视为平行四边形上的点到原点的距离的平方 22 ab ABCD P a b 故当取或时 P a b 3 5 2 2 A 53 22 B 22 max 17 2 ab 2 由 0 1 2 3 4 5 六个数字可以组成 个数字不重复且 2 3 相邻的四位数 答案 60 好题速递 44 1 对于实数 定义运算 已知实数满足 则 a b 2 a bab 12 x x 2 1212 1 1 1yxxxx x 的最小值为 y 解 2 2 2 1212 1 1 1yxxxx x 等价于上的点与上的点连线段的最小值 也就等价于圆心与 1 yx x 11 P x y 2 1yx 22 Q xy 0 0O 上的点连线长度的最小值减 1 1 yx x 11 P x y 所以当且仅当时 2 22 111 2 11 11 2222 2OPxxx xx 1 1x min 2 221y 2 若 316 2323 nn CC 2 012 3 n n n nNxaa xa xa x 且 则 012 1 n n aaaa 答案 256 好题速递 45 1 在面积为 2 的中 分别是的中点 点在直线上 则的最小值是 ABC E F AB ACPEF 2 PC PBBC A 解 取的中点为 连接 BCDPD 则由极化恒等式得 2222 222233 4444 BCBCADBC PC PBBCPDBCPD A 此时当且仅当时取等号PDBC 2222 233 22 3 4444 ADBCADBC PC PBBC AA 2 某高校外语系有 8 名志愿者 其中有 5 名男生 3 名女生 现从中选 3 人参加某项比赛的翻译工作 若要求 这 3 人中既有男生 又有女生 则不同的选法共有 种 答案 45 种 好题速递 46 1 已知 满足 满足 2 1f xx 41g xx n a 1 2a 1 0 nnnn aag af a n b 那么的最小值为 1 3 nnn bf ag a n b 解 故 2 1 4110 nnnn aaaa 1 14310 nnn aaa 因为不恒等于 1 故 n a 1 4310 nn aa 1 3 11 4 nn aa 1 3 1 4 n n a 从而 22221 3333 343 4444 nnnn n b 令 则 1 3 4 n t 2 2 11 33 24 n bttt 当离对称轴最近 故 3 1 39 416 1 2 t 3 min 189 256 n bb 2 的展开式中的系数是 如果展开式中第项和第项的二项式系数相等 则等于 102 1 x 2 xr42 rr 答案 10 2 好题速递 47 1 已知为正整数 关