圆锥曲线存在性问题

第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 圆锥曲线中的存在性问题 一 基础知识 1 在处理圆锥曲线中的存在性问题时 通常先假定所求的要素 点 线 图形或是参数 存在 并用代数形式进行表示 再结合题目条件进行分析 若能求出相应的要素 则假设 成立 否则即判定不存在 2 存在性问题常见要素的代数形式 未知要素用字母代替 1 点 坐标 00 xy 2 直线 斜截式或点斜式 通常以斜率为未知量 3 曲线 含有未知参数的曲线标准方程 3 解决存在性问题的一些技巧 1 特殊值 点 法 对于一些复杂的题目 可通过其中的特殊情况 解得所求要素的必 要条件 然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立 2 核心变量的选取 因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素 所以通常以该要素 作为核心变量 其余变量作为辅助变量 必要的时候消去 3 核心变量的求法 直接法 利用条件与辅助变量直接表示出所求要素 并进行求解 间接法 若无法直接求出要素 则可将核心变量参与到条件中 列出关于该变量与辅助 变量的方程 组 运用方程思想求解 二 典型例题 例 1 已知椭圆的离心率为 过右焦点的直线 与相 22 22 10 xy Cab ab 3 3 FlC 交于两点 当 的斜率为 时 坐标原点到 的距离为 A Bl1Ol 2 2 1 求的值 a b 2 上是否存在点 使得当 绕旋转到某一位置时 有成立 若CPlFOPOAOB 存在 求出所有的的坐标和 的方程 若不存在 说明理由Pl 解 1 3 3 2 1 3 c ea b c a 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 则 依题意可得 当 的斜率为 时3 2ac bc 0F cl1 0lyxcxyc 解得 2 22 O l c d 1c 椭圆方程为 3 2ab 22 1 32 xy 2 设 00 P xy 1122 A x yB xy 当 斜率存在时 设 l 1lyk x OPOAOB 012 012 xxx yyy 联立直线与椭圆方程 消去可得 整理可得 22 1 236 yk x xy y 2 22 2316xkx 2222 326360kxk xk 2 12 2 6 32 k xx k 3 1212 22 64 22 3232 kk yyk xxkk kk 因为在椭圆上 2 22 64 3232 kk P kk P 2 2 2 22 64 236 3232 kk kk 22 422222 72486 3224326 32kkkkkk 22 246 322kkk 当时 2k 21lyx 32 22 P 当时 2k 21lyx 32 22 P 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 当斜率不存在时 可知 则不在椭圆上 1l x 2 32 3 1 1 33 AB 2 0P 综上所述 或 21lyx 32 22 P 21lyx 32 22 P 例 2 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点 为其 22 22 10 xy ab ab 2 F A B 1 F 左焦点 已知的周长为 8 椭圆的离心率为 1 AFBA 3 2 1 求椭圆的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点 P Q 且 若存在 求出该圆的方程 若不存在 请说明理由OPOQ 解 1 由的周长可得 1 AFBA482aa 3 3 2 c ec a 222 1bac 椭圆 2 2 1 4 x y 2 假设满足条件的圆为 依题意 若切线与椭圆相交 则圆应含在椭圆内 222 xyr 01r 若直线斜率存在 设 PQ PQ ykxm 1122 P x yQ xy 与圆相切 PQ 222 2 1 1 O l m drmrk k 即0OPOQOP OQ 1212 0 x xy y 联立方程 22 44 ykxm xy 222 148440kxkmxm 2 1212 22 844 4141 kmm xxx x kk 22 12121212 y ykxmkxmk x xkm xxm 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 22 12121212 1x xy ykx xkm xxm 2 22 22 448 1 4141 mkm kkmm kk 22 2 544 41 mk k 对任意的均成立 22 5440mk m k 将代入可得 222 1mrk 222 51410rkk 22 5410rk 2 4 5 r 存在符合条件的圆 其方程为 22 4 5 xy 当斜率不存在时 可知切线为PQPQ 2 5 5 x 若 则 2 5 5 PQ x 2 5 2 52 52 5 5555 PQ 符合题意0OP OQ 2 5 5 PQ x 若 同理可得也符合条件 2 5 5 PQ x 综上所述 圆的方程为 22 4 5 xy 例 3 已知椭圆经过点 离心率为 左 右焦点分别为 22 22 10 xy ab ab 0 3 1 2 和 1 0Fc 2 0F c 1 求椭圆的方程C 2 设椭圆与轴负半轴交点为 过点作斜率为的直线 交椭CxA 4 0M 0k k l 圆于两点 在之间 为中点 并设直线的斜率为C B DB M DNBDON 1 k 证明 为定值 1 k k 是否存在实数 使得 如果存在 求直线 的方程 如果不存在 请说明k 1 FNAD l 理由 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 解 1 依题意可知 可得 1 2 c e a 2 3 1a b c 椭圆方程为 代入可得 22 22 1 43 xy cc 0 31c 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 证明 设 线段的中点 1122 B x yD xyBD 00 N xy 设直线 的方程为 联立方程 l 4yk x 化为 22 4 3412 yk x xy 2222 343264120kxk xk 由解得 且0 2 1 4 k 22 1212 22 326412 4343 kk xxx x kk 2 12 0 2 16 243 xxk x k 00 2 12 4 43 k yk x k 0 1 0 3 4 y k xk 1 33 44 k kk k 假设存在实数 使得 则k 1 FNAD 1 1 F NAD kk 1 2 0 22 0 2 12 4 34 16114 1 34 F N k yk k k kxk k 2 2 22 4 22 AD k xy k xx 1 2 2 2 44 1 142 F NAD k xk kk kx 即 22222 222 4164182282k xkkxkxk 因为在椭圆上 所以 矛盾D 2 2 2x 所以不存在符合条件的直线l 例 4 设为椭圆的右焦点 点在椭圆上 直线F 22 22 10 xy Eab ab 3 1 2 P E 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 与以原点为圆心 以椭圆的长半轴长为半径的圆相切 0 3 4100lxy E 1 求椭圆的方程E 2 过点的直线 与椭圆相交于两点 过点且平行于的直线与椭圆交于另Fl A BPAB 一点 问是否存在直线 使得四边形的对角线互相平分 若存在 求出 的方QlPABQl 程 若不存在 说明理由 解 1 与圆相切 0 l 10 2 5 O l dr 2a 将代入椭圆方程可得 3 1 2 P 22 2 1 4 xy b 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 由椭圆方程可得 1 0F 设直线 则 1l yk x 3 1 2 PQ yk x 联立直线 与椭圆方程 l 消去可得 22 1 3412 yk x xy y 2222 4384120kxk xk 2 2222 1 84 43412144144kkkk 2 122 12 22 121 11 4343 k ABkxxk kk 同理 联立直线与椭圆方程 PQ 消去可得 22 3 1 2 3412 yk x xy y 2222 4381241230kxkk xkk 2 2222 2 1 8124 412343144 4 kkkkkkk 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2 222 22 1 144 4 11 4343 kk PQkk kk 因为四边形的对角线互相平分PABQ 四边形为平行四边形 PABQ ABPQ 2 2 2 22 1 144 121 4 1 4343 kk k k kk 解得 3 4 k 存在直线时 四边形的对角线互相平分 3430lxy PABQ 例 5 椭圆的左右焦点分别为 右顶点为 为椭圆 22 22 10 xy Cab ab 12 F FAP 上任意一点 且的最大值的取值范围是 其中 1 C 12 PF PF 22 3cc 22 cab 1 求椭圆的离心率的取值范围 1 Ce 2 设双曲线以椭圆的焦点为顶点 顶点为焦点 是双曲线在第一象限上任 2 C 1 CB 2 C 意一点 当取得最小值时 试问是否存在常数 使得恒成e 0 11 BAFBF A 立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 解 1 设 12 0 0P x yFcF c 12 PFcxyPFcxy 222 12 PF PFxyc 由可得 代入可得 22 22 1 xy ab 2 222 2 b ybx a 22 222222222 12 22 1 bc PF PFxycxbcxbc aa xa a 2 12 max PF PFb 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 22 2222222 22 2 33 4 ca cbccacc ca 2 1112 4222 ee 2 当时 可得 1 2 e 2 3ac bc 双曲线方程为 设 22 22 1 3 xy cc 1 2 0 0AcFc 00 B xy 00 0 0 xy 当轴时 ABx 00 2 3xc yc 因为 1 3 tan1 3 c BF A c 1 4 BF A 1 2 BAF 11 2BAFBF A 所以 下面证明对任意点均使得成立2 2 B 11 BAFBF A 考虑 1 00 11 00 tan tan 2 ABBF yy BAFkBF Ak xcxc 0 00 10 122 2 2 1 00 0 0 2 22tan tan2 1tan 1 y yxcBF Axc BF A BF A xcy y xc 由双曲线方程 可得 22 22 1 3 xy cc 222 00 33yxc 22 22222 00000000 3322422xcyxcxcxcxcxccx 00 0 11 000 2 tan2tan 222 yxcy BF ABAF xccxcx 11 2BAFBF A 结论得证 时 恒成立2 11 BAFBF A 例 6 如图 椭圆的离心率是 过点的动直线 与 22 22 10 xy Eab ab 2 2 0 1Pl 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 椭圆相交于两点 当直线 平行于轴时 直线 被椭圆截得的线段长为 A BlxlE2 2 1 求椭圆的方程E 2 在平面直角坐标系中 是否存在与点不同的定点 使得对于任意直线 xOyPQl 恒成立 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 QAPA QBPB Q 解 1 2 2 c e a 2 1 1a b c 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 由直线 被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得 lE2 2 点在椭圆上 2 1 2 22 21 12 2 b bb 2 4a 椭圆方程为 22 1 42 xy 2 当 与轴平行时 由对称性可得 lxPAPB 即1 QAPA QBPB QAQB 在的中垂线上 即位于轴上 设Q ABQy 0 0 Qy 当 与轴垂直时 则lx 0 2 0 2AB 21 21PAPB 00 2 2QAyQBy 可解得或 0 0 2 21 212 y QAPA QBPB y 0 1y 0 2y 不重合 P Q 0 2y 0 2Q 下面判断能否对任意直线均成立 0 2Q 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 若直线 的斜率存在 设 l 1l ykx 1122 A x yB xy 联立方程可得 22 22 24 12420 1 xy kxkx ykx 由可想到角平分线公式 即只需证明平分 QAPA QBPB QPBQA 只需证明 0 QAQBQAQB kkkk 1122 A x yB xy 12 12 22 QAQB yy kk xx 2112211212 12 121212 22222 QAQB xyxyx yx yxxyy kk xxx xx x 因为在直线上 代入 可得 1122 A x yB xy1ykx 11 22 1 1 ykx ykx 2112121212 1212 1122 QAQB xkxx kxxxkx xxx kk x xx x 联立方程可得 22 22 24 12420 1 xy kxkx ykx 1212 22 42 1212 k xxx x kk 22 2 24 2 1212 0 2 12 QAQB k k kk kk k 成立0 QAQB kk 平分 由角平分线公式可得 QP BQA QAPA QBPB 例 7 椭圆的上顶点为 是上的一点 以为 22 22 10 xy Cab ab A 4 3 3 b P CAP 直径的圆经过椭圆的右焦点CF 1 求椭圆的方程C 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2 动直线 与椭圆有且只有一个公共点 问 在轴上是否存在两个定点 它们到直lCx 线 的距离之积等于 1 若存在 求出这两个定点的坐标 如果不存在 请说明理由l 解 由椭圆可知 0 0AbF c 为直径的圆经过 AP FFAFP 0FA FP 4 33 b FAc bFPc 22 2 44 00 3333 bb cccc 由在椭圆上 代入椭圆方程可得 4 3 3 b P 2 2 22 1161 12 99 b a ab 2 2 222 4 0 133 2 b cc bc bca 椭圆方程为 2 2 1 2 x y 2 假设存在轴上两定点 x 1122 0 0MM 12 设直线 l ykxm 所以依题意 12 12 22 11 MlMl kmkm dd kk 12 22 121212 2 22 1 1 11 MlMl kmkmkkmm dd k kk 因为直线 与椭圆相切 联立方程 l 222 22 214220 22 ykxm kxkmxm xy 由直线 与椭圆相切可知l 2 22 44 21 220kmkm 化简可得 代入 可得 22 21mk 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 22 1212222 1212 2 21 1211 1 kkmk kkmkk k 依题意可得 无论为何值 等式均成立 2 1212 10kkm k m 12 1 12 2 12 1 1 0 1 所以存在两定点 12 1 0 1 0MM 例 8 已知椭圆的左右焦点分别为 点是上任意一点 是坐 22 1 41Cxy 12 F FP 1 CO 标原点 设点的轨迹为 12 OQPFPF Q 2 C 1 求点的轨迹的方程Q 2 C 2 若点满足 其中是上的点 且直线T2OTMNOMON M N 2 C 的斜率之积等于 是否存在两定点 使得为定值 若存在 求出 OM ON 1 4 TATB 定点的坐标 若不存在 请说明理由 A B 1 设点的坐标为 点的坐标为 则Q x yP 00 xy 22 00 41xy 由椭圆方程可得 12 33 0 0 22 FF 且 12 OQPFPF 100200 33 22 PFxyPFxy 代入到可得 00 2 2Qxy 0 0 0 0 2 2 2 2 x x xx yyy y 22 00 41xy 2 2 1 4 x y 2 设点 T x y 1122 M x yN xy 2OTMNOMON 12121122 2 x yxxyyx yxy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 21 21 2 2 xxx yyy 设直线的斜率分别为 由已知可得 OM ON OMON kk 21 2 1 1 4 OMON y y kk x x 1212 40 x xy y 考虑 22 22 2121 424 2xyxxyy 2222 11221212 444416xyxyx xy y 是上的点 M N 2 C 22 11 22 22 44 44 xy xy 22 444420 xy 即的轨迹方程为 由定义可知 到椭圆焦点的距离和为定值T 22 1 205 xy T 22 1 205 xy 为椭圆的焦点 A B 15 0 15 0AB 所以存在定点 A B 例 9 椭圆的焦点到直线的距离为 离心率为 22 22 10 xy Eab ab 30 xy 10 5 抛物线的焦点与椭圆的焦点重合 斜率为的直线 过 2 5 5 2 20G ypx p Ekl 的焦点与交于 与交于GE A BG C D 1 求椭圆及抛物线的方程EG 2 是否存在常数 使得为常数 若存在 求出的值 若不存在 请说 1 ABCD 明理由 解 1 设的公共焦点为 E G 0F c 10 2 510 Fl c dc 2 5 5 5 c ea a 222 1bac 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2 2 1 5 x Ey 2 8yx 2 设直线 2l yk x 11223344 A x yB xyC x yD xy 与椭圆联立方程 2222 22 2 51202050 55 yk x kxk xk xy 22 1212 22 20205 1515 kk xxx x kk 2 2 2 1212 2 2 51 14 15 k ABkxxx x k 直线与抛物线联立方程 2222 2 2 4840 8 yk x k xkxk yx 是焦点弦 2 34 2 48k xx k CD 2 34 2 81 4 k CDxx k 2 2222 2222 4205 1154205 812 518 518 51 k kkkk ABCDkkkk 若为常数 则 1 ABCD 2054 16 5 5 例 10 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的离心率为 xOy 22 22 10 xy Cab ab 6 3 直线 与轴交于点 与椭圆交于两点 当直线 垂直于轴且点为椭圆的lxEC A BlxEC 右焦点时 弦的长为AB 2 6 3 1 求椭圆的方程C 2 是否存在点 使得为定值 若存在 E 22 11 EAEB 请求出点的坐标 并求出该定值 若不存在 请说明E 理由 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 解 1 依题意可得 6 3 c e a 3 1 2a b c 当 与轴垂直且为右焦点时 为通径lxEAB 2 22 6 3 b AB a 6 2ab 22 1 62 xy 2 思路 本题若直接用用字母表示坐标并表示 则所求式子较为复杂 A E B EAEB 不易于计算定值与的坐标 因为要满足所有直线 所以考虑先利用特殊情况求出点EEE 及定值 再取判定 或证明 该点在其它直线中能否使得为定值 22 11 EAEB 解 2 假设存在点 设E 0 0 E x 若直线与轴重合 则ABx 6 0 6 0AB 00 6 6EAxEBx 2 0 22222 2 0 00 1111212 6 66 x EAEB x xx 若直线与轴垂直 则关于轴对称ABx A Bx 设 其中 代入椭圆方程可得 00 A xyB xy 0y 222 00 12 623 xyx y 2 0 2 3 x EAEB 2222 00 1126 6 2 3 xx EAEB 可解得 2 2 222 0 0002 2 2 0 0 2126 26666 6 6 x xxx x x 0 3x 222 0 116 2 6x EAEB 若存在点 则 若 设 E 3 0E 3 0E 1122 A x yB xy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 设 与椭圆联立方程可得 消去可得 3AB xmy C 22 36 3 xy xmy y 2 222 33632 330myymymy 1212 22 2 33 33 m yyy y mm 同理 22222 22 2 111 11 1111 1 3 m yymy EA xy 2 22 2 11 1myEB 2 22 1212 12 22 2222222222 121212 21111 1111 yyy yyy mymymy ymy yEAEB 代入可得 1212 22 2 33 33 m yyy y mm 22 2 2 222 2 222 22 2 2 2 2 1263 2 33 2 333 111818 2 91913 1 3 3 mm m mmm m mmEAEB m m m 所以为定值 定值为 22 11 EAEB 2 若 同理可得为定值 3 0E 22 11 EAEB 2 综上所述 存在点 使得为定值 3 0E 22 11 EAEB 2 三 历年好题精选 1 已知中心在原点 焦点在坐标轴上的椭圆过点 22 22 10 xy Eab ab 3 3 2 P 离心率为 过直线上一点引椭圆的两条切线 切点分别是 1 2 4l x ME A B 1 求椭圆的方程E 2 若在椭圆上的任一点处的切线方程是 22 22 10 xy ab ab 00 N xy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 求证 直线恒过定点 并求出定点的坐标 00 22 1 x xy y ab ABCC 3 是否存在实数 使得恒成立 点为直线恒过 ACBCACBC CAB 的定点 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 2 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合 22 22 10 xy Cab ab 2 4yx 是椭圆上的一点 3 1 2 D C 1 求椭圆的方程C 2 设分别是椭圆的左右顶点 是椭圆上异于的两个动点 直线 A BC P QC A B 的斜率之积为 设与的面积分别为 请问 是否存在常 AP AQ 1 4 APQABPQA 12 S S 数 使得恒成立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 R 12 SS 3 已知椭圆经过点 离心率为 左 右焦点分别为 22 22 10 xy ab ab 0 3 1 2 和 1 0Fc 2 0F c 1 求椭圆的方程C 2 设椭圆与轴负半轴交点为 过点作斜率为的直线 交椭CxA 4 0M 0k k l 圆于两点 在之间 为中点 并设直线的斜率为C B DB M DNBDON 1 k 证明 为定值 1 k k 是否存在实数 使得 如果存在 求直线 的方程 如果不存在 请说明k 1 FNAD l 理由 4 已知圆 定点 点为圆上的动点 点在 2 2 536Mxy 5 0NPMQ 上 点在上 且满足 NPGMP2 0NPNQ GQ NP 1 求点的轨迹的方程GC 2 过点作直线 与曲线交于两点 是坐标原点 设 2 0lC A BOOSOAOB 是否存在这样的直线 使得四边形的对角线相等 即 若存在 求lOASBOSAB 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 出直线 的方程 若不存在 试说明理由l 5 2014 福建 已知双曲线的两条渐近线分别为 22 22 10 0 xy Eab ab 1 2lyx 2 2lyx 1 求双曲线的离心率E 2 如图 为坐标原点 动直线 分别交直线于两点 分别在第一 四Ol 12 l l A B A B 象限 且的面积恒为 8 试探究 是否存在总与直线 有且OABAl 只有一个公共点的双曲线 若存在 求出双曲线的方程 若不EE 存在请说明理由 习题答案 习题答案 1 解析 1 1 2 3 1 2 c ea b c a 椭圆过点 3 3 2 P 再由可解得 22 33 1 4ab 2 3 1a b c 2 3ab 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设切点坐标为 直线上一点 依题意可得 1122 A x yB xy 4 Mt 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 两条切线方程为 由切线均过可得 11 22 1 43 1 43 x xy y x xy y M 1 1 2 2 1 3 1 3 y t x y t x 均在直线上 1122 A x yB xy 1 3 t xy 因为两点唯一确定一条直线 即过定点 即点的坐标为 1 3 t AB xy 1 0C 1 0 3 11ACBC ACBCACBC ACBCACBC 联立方程 22 22 1 1262703 3412 ty x tyty xy 不妨设 1212 22 627 1212 t yyy y tt 12 0 0yy 22 22 22 111222 99 1 1 33 tt ACxyyBCxyy 2 21 21 222 121212 1131133 999 yy yy ACBCyyy yy y ttt 2 222 22 2 6108 1212311449 1444 27 93 99 12 t ttt tt t 使得恒成立 4 3 ACBCACBC 2 解析 1 抛物线的焦点为 2 4yx 1 01c 依题意可知 2222 222 19 1 4 34 1 abab abc 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 由 1 可得 若直线斜率存在 2 0 2 0AB PQ 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 设 PQ ykxm 1122 P x yQ xy 到直线的距离 到直线的距离 A PQ 1 2 2 1 km d k BPQ 2 2 2 1 km d k 1 11 22 2 1 2 2 1 2 2 PQ d kmSd Sdkm PQ d 联立方程 222 22 3484120 3412 ykxm kxkmxm xy 2 1212 22 8412 4343 kmm xxx x kk 12 1212 12 1 4220 224 APAQ yy kky yxx xx 22 22 12121212 2 312 43 mk y ykxmkxmk x xkm xxm k 代入到 可得 22 121212 2 16164 2224 43 kkmm xxx xxx k 22 22 2 161632 020 43 mkmk mkmk k 或 2mk mk 当时 交点与重合 不符题意2mk 22PQ ykxkk x A 代入到可得 mk 1 2 S S 即 1 12 2 3 33 kS SS Sk 3 3 解 1 依题意可知 可得 1 2 c e a 2 3 1a b c 椭圆方程为 代入可得 22 22 1 43 xy cc 0 31c 椭圆方程为 22 1 43 xy 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何 2 证明 设 线段的中点 1122 B x yD xyBD 00 N xy 设直线 的方程为 联立方程 l 4yk x 化为 22 4 3412 yk x xy 2222 343264120kxk xk 由解得 且0 2 1 4 k 22 1212 22 326412 4343 kk xxx x kk 2 12 0 2 16 243 xxk x k 00 2 12 4 43 k yk x k 0 1 0 3 4 y k xk 1 33 44 k kk k 假设存在实数 使得 则k 1 FNAD 1 1