龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷（35）

龙泉中学 2016 届高三周练理科数学试卷 35 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 设全集 则 5 1 2 3 1 4UxN xAB UU C AC B A B C D 5 0 5 0 1 4 2 欧拉公式 e 为自然对数的底数 i 为虚数单位 是瑞士著名数学家欧拉发明的 sincosiei 被英国科学期刊 物理世界 评选为十大最伟大的公式之一 根据欧拉公式可知 复数01 i e 的虚部为 6i e A B C D i 2 1 i 2 1 2 1 2 1 3 在如图所示的正方形中随机投掷个点 则落入阴影部分 曲线C 为正态分 10000 布N 1 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 A B C D 1193135927183413 4 已知函数图像的两条相邻的对称轴的距离为 若角的终边经过点 sin 0 f xx 3 则等于 1 2 P 7 3 f A B C D 2 5 5 5 5 2 5 5 5 5 5 某学校开设 蓝天工程博览课程 组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆 每个年级任选一个博物馆参观 则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 A 种 B 种 C 种 D 种 2 6 A 4 5 A 2 6 A 4 5 2 6 C 4 5 A 2 6 C 4 5 6 在正项等比数列中 若成等差数列 则 n a 132 1 3 2 2 aaa 20162017 20142015 aa aa A B C 3D 931 或91或 7 已知函数 若不等式在上恒成立 则实数的取值范围 2 0 21 0 x xax x f x x 10f x xR a 为 A B C D 0 2 2 2 0 2 8 已知向量 满足 分别是线段 A CA DA CDA A A 2A D1A FC CD 的中点 若 则向量与向量的夹角为 5 DF 4 A DA A B C D 3 2 3 6 5 6 9 老师为龙中某位同学的高考成绩设计了一个程序框图 执行如图所示的程序 若输出的数码为x 3112 则这位同学的高考分数是x A 682 B 683 C 692 D 693 10 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线图是一个几何 体的三视图 则此几何体外接球的表面积为 A 25 B 50 C 25 2 D 50 2 11 如图所示 已知点与圆和抛物线都 0 3 SSA SB 22 0 0 C xymym 2 2 0 xpy p 相切 切点分别为和 则点到抛物线准线的距离为 M N A B SAONA A 4 B C 3 D 2 33 3 12 已知函数 设两曲线有公共点 且在 22 1 2 3ln 2 f xxax g xaxb yf xyg x 该点处的切线相同 则时 实数的最大值是 0 a b A B C D 6 13 6 e 6 1 6 e 2 3 7 2 e 2 3 3 2 e 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 设 若 则 2 012 12 nn n xaa xa xa xnN 12 30aa n 14 若实数 x y 满足 则 z x 2y 3 的最小值为 1 0 0 0 xy xy x 15 海轮 和谐号 从A处以每小时 21 海里的速度出发 海轮 奋斗号 在A处北偏东的方向 且 45 与A相距 10 海里的C处 沿北偏东的方向以每小时 9 海里的速度行驶 则海轮 和谐号 与 105 海 轮 奋斗号 相遇所需的最短时间为 小时 16 已知数列满足 记为的前 n 项和 则 n a 1 12 n nn aan n n S n a 40 S 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 开始 输入十进制 x n 0 x 除以 6 取商 y 余数 z y 0 zn z 结束 x y zn z n n 1 输出数码 znzn 1 z1z0 是 否 如图 梯形 ABCD 中 22tan6 ABCBCCDAB 若求 AC 的长 4 ACD 若 求的面积 9 BDBCD 18 本小题满分 12 分 某校在规划课程设置方案的调研中 随机抽取 50 名文科学生 调查对选做题倾向得下表 从表中三种选题倾向中 选择可直观判断 选题倾向与性别有关系 的两种 作为选题倾向变 量的取值 分析有多大的把握认为 所选两种选题倾向与性别有关系 只需要做出其中的一种情 况 按照分层抽样的方法 从倾向 平面几何选讲 与倾向 坐标系与参数方程 的学生中抽取 8 人进行问卷 分别求出抽取的 8 人中倾向 平面几何选讲 与倾向 坐标系与参数方程 的人数 若从这 8 人中任选 3 人 记倾向 平面几何选讲 与倾向 坐标系与参数方程 的人数的差为 求的分布列及数学期望 E 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱中 侧面侧面 111 CBAABC CCAA 1111A ABBABAAAC2 1 为棱的中点 在棱上 面 60 11C AA 1 AAAB H 1 CCD 1 BB DA1HAB1 求证 为的中点 D 1 BB 求二面角的余弦值 ADAC 11 20 本小题满分 12 分 如图 抛物线 C 2 2xpy 0 p 的焦点为 0 1 F 取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两 点 1 P 2 P 过 1 P 2 P作圆心为Q的圆 使抛物线上其余点均在圆外 且 12 PQPQ 求抛物线和圆Q的方程 C 过点F作直线l 与抛物线C和圆Q依次交于M A B N 求 MNAB 的最小值 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 2 x exf xx exxg 1ln 2 当时 证明 1 x0 xf 若 且 1g xax 求的取值范围 0 aa 请考生在第请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答题时用三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答题时用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选的题号涂黑在答题卡上把所选的题号涂黑 请考生在第请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做三题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 做答时用的第一个题目计分 做答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 与圆 O 相切于点 B CD 为圆 O 上两点 延长 AD 交圆 O 于点 E BF CD 且交 ED 于点 F I 证明 BCE FDB II 若 BE 为圆 O 的直径 EBF CBD BF 2 求 AD ED 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 半圆 C 圆心为点 C 的xoyx 极坐标方程为 3 2sin 44 I 求半圆 C 的参数方程 II 直线 与两坐标轴的交点分别为 其中 点 D 在半圆 C 上 且直线 CD 的倾斜角l A B 0 2A 是直线 倾斜角的 2 倍 若 ABD 的面积为 4 求点 D 的直角坐标 l 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 11f xxa x A B 1 A C 1 B 1 C D F P2 x O y N B A M P1 Q I 当时 解不等式 2a 5f x II 若 求的最小值 3f xa x a z y x H D C1 B1 A1 C B A 龙泉中学 2016 届高三周练理科数学试卷 35 参考答案 一 选择题一 选择题 题号123456789101112 答案BCBADDCACBAD 二 填空题二 填空题 13 514 115 3 2 16 440 三 解答题三 解答题 17 因为 所以为钝角 且 tan2 2ABC ABC 2 2 sin 3 ABC 2 分因为 所以 1 cos 3 ABC ABCDA 4 BACACD 在中 由 解得 5 分ABC sinsin BCAC BACABC 8AC 因为 所以 ABCDAABCBCD 故 7 分 1 coscos 3 BCDABC 2 2 sinsin 3 BCDABC 在中 整理得 解得 11BCD 2 13681 cos 32 6 CD BCD CD 2 4450CDCD 9CD 分所以 12 分 112 2 6 9 sin6 918 2 223 BCD SBCD 18 可直观判断 倾向 坐标系与参数方程 或倾向 不等式选讲 与性别无关 倾向 坐标系与参数方程 或倾向 平面几何选讲 与性别有关 倾向 平面几何选讲 或倾向 不等式选讲 与性别有关 正确选择一组变量并指出与性别有关即给正确选择一组变量并指出与性别有关即给 1 1 分分 1 分 选择一 选择一 选择倾向 平面几何选讲 和倾向 坐标系与参数方程 作为选题倾向变量的值 作出如下 2 2 列联表 Y 平面几何选讲平面几何选讲坐标系与参数方程坐标系与参数方程合计合计 男生男生 16420 女生女生 4812 合计合计 201232 2 分 由上表 可直观判断 因为 4 分 2 32 16 84 4 6 9696 635 20 12 20 12 k 所以有 99 以上的把握 认为 坐标系与参数方程 和 平面几何选讲 这两种选题倾向与性别有关 6 分 选择二 选择二 选择倾向 平面几何选讲 和倾向 不等式选讲 作为分类变量的值 作出如下 2 2 列联表 Y 平面几何选讲平面几何选讲不等式选讲不等式选讲合计合计 男生男生 16622 女生女生 41216 合计合计 201838 2 分 因为 4 分 2 38 16 126 4 10 8810 828 20 18 22 16 k 所以有 99 9 以上的把握 认为 不等式选讲 和 平面几何选讲 这两种选题倾向与性别有关 6 分 倾向 平面几何选讲 与倾向 坐标系与参数方程 的人数比例为 20 12 5 3 所以抽取的 8 人中倾 向 平面几何选讲 的人数为 5 倾向 坐标系与参数方程 的人数为 3 7 分 依题意 得 8 分3 1 1 3 3 3 3 8 1 3 56 C P C 12 53 3 8 15 1 56 C C P C 10 分 21 53 3 8 30 1 56 C C P C 30 53 3 8 10 3 56 C C P C 故的分布列如下 3 1 13 P 1 56 15 56 30 56 10 56 所以 12 分 11530103 3 1 13 565656564 E 19 连结 因为为正三角形 为棱的中点 1 AC 1 ACC H 1 CC 所以 从而 又面面 1 AHCC 1 AHAA 11 AAC C 11 ABB A 面面 面 11 AAC C 11 ABB A 1 AA AH 11 AAC C 所以面 1 分AH 11 ABB A 以为原点 建立空间直角坐标系如图所示 2 分AAxyz 不妨设 则 2AB 1 2AA 1 0 2 0A 1 2 2 0B 设 则 3 分 2 0Dt 1 2 2 0AB 1 2 2 0ADt 因为平面 平面 所以 1 AD 1 AB H 1 AB 1 AB H 11 ADAB 所以 解得 即 所以为的中点 5 分 11 2220ABADt 1t 2 1 0DD 1 BB 1 0 1 3C 1 2 1 0AD 11 0 1 3AC 设平面的法向量为 则 即 解得 11 C AD x y z n 1 11 0 0 AD AC n n 20 30 xy yz 2 6 3 yx zx 令 得 9 分3x 3 3 2 6 n 显然平面的一个法向量为 10 分 1 AAD 0 0 3AH 所以 所以二面角的余弦值为 12 分 3 222 cos 11333 AH AH AH n n n 11 CADA 22 11 20 因为抛物线 C 2 2xpy 0 p 的焦点为 0 1 F 所以1 2 p 解得2p 所以抛物线C的方程为 2 4xy 2 分 由抛物线和圆的对称性 可设圆Q 222 xybr 12 PQPQ 12 PQP是等腰直角三角形 不妨设 1 P在左侧 则 12 45QPP 2 22 22 Pr br 代入抛物线方程有 2 42 2 2 r br 4 分 由题可知在 1 P 2 P处圆和抛物线相切 对抛物线 2 4xy 求导得 2 x y 所以抛物线在点 2 P处切线的斜率为 2 4 r k 由 12 45QPP 知 2 1 4 r k 所以2 2r 代入 2 42 2 2 r br 解得3b 所以圆Q的方程为 22 3 8xy 6 分 由题知直线l的斜率一定存在 设直线l的方程为1ykx 圆心 0 3 Q到直线l的距离为 2 2 1 d k 22 2 1 24 2 1 ABrd k 8 分 由 2 4 1 xy ykx 得 22 24 10yky 设 11 M x y 22 N xy 则 2 12 42yyk 由抛物线定义知 2 12 24 1 MNyyk 10 分 所以 2 2 1 16 1 2 1 MNABk k 设 2 1 1 tkt 则 22 111 16216 216 2 48 MNABtttt t 1 t 所以当1t 时即0k 时 MNAB 有最小值 16 12 分 21 由题意得 令 则 1 xexf x 1 xexp x 1 x exp 在区间上 单调递减 在区间上 单调递增 3 分 0 1 0 x p xp 0 0 x p xp 所以的最小值为 即 4 分 xp0 0 p0 x f 所以函数在区间上单调递增 即 5 分 xf 1 0 1 1 e fxf 令 则 1 axxgxhae x xh x 1 2 令 则 ae x xq x 1 2 2 1 21 xe xq x 由 1 得 则在区间上单调递减 6 分0 x q xq 1 当时 且 1 a0 0 0 hq0 0 h 在区间上 单调递增 在区间上 单调递减 0 1 0 x h xh 0 0 x h xh 所以的最大值为 即恒成立 7 分 xh 0 h0 xh 当时 时 解得1 a0 0 h 0 1 x01 1 2 1 2 a x ae x xh x 0 1 1 1 a a x 即时 单调递减 又 所以此时 与恒成立矛盾 0 1 1 a a x0 x h xh0 0 h0 xh0 xh 当时 时 解10 a0 0 h 0 x01 1 2 1 2 a x ae x xh x 即时 单调递增 0 1 1 a a x 1 1 0 a a x0 x h x