第六章-误差分析与数据处理教程.ppt

1 第六章误差分析与数据处理 6 1测量的误差及分类 1 误差的概念及产生误差的来源 我们知道 任何一个被测参数都有一个客观存在的量值 通常称为真值 测量的任务就是要测量出此参数的真值 但是我们用某一设备 仪器 在一定的条件下对此参数进行测量时 由于各种因数的影响 所得到的值总是与真值不相等 不论所用的测量方法多么完善 所用的测量设备多么精确 测量工作多么仔细 只能使得到的值更接近真值 而不能得到真值 测量值与真值之差就是测量误差 既 式中 测量误差 测量值 真值 6 1 2 一般情况下 上式 6 1 中的真值及误差均是未知量 故它只能表示一种理论上的概念 但是测试的根本任务就是要找出被测参数的量值 而且希望它能精确的表示真值 因此如何根据测量值获得近似的真值 如何确定它近似的程度 即测量误差 就是误差分析所要解决的问题 误差的大小 表示每一次测量值相对于真值不符和的程度 误差有以下含义 1 误差永远不等于零 误差总是要产生的 就其极限理论来说 也决不可能为零 这就是误差的必然性原理 例如用石英钟测时间 误差不可能小于石英振荡器振荡周期的一半 用电表测电量 电量误差不可能小于一个电子所带的电量 3 2 误差具有随机性 在误差或测量值之间 一般是不相等的 否则就可能是由于测量仪器的分辨率太差 太低的原因 3 误差是未知的 通常情况下 由于真值是未知的 研究误差时一般都从残差入手 残差定义为 式中 任意一个测得值 测得值的算术平均值 4 误差具有不确定性 误差的不确定性是由于被测数据的不确定性引起的 从而可以把误差看成是随机变量 以便借助概率论和数理统计学来研究误差 6 2 4 既然误差存在是必然的 绝对的 那么误差是如何产生的 误差的来源主要有测量手段 测量环境 测量方法和测量人员等四个方面 若进一步细分的话 还可以有以下测量误差 1 标准器误差 标准器是提供标准量的器具 如标准量块 标准刻度尺 标准电阻和标准砝码等 它们本身体现出来的量值必不可避免的都含有误差 2 仪器误差 凡是用来直接或间接将被测量和测量单位比较的设备 称为仪器或仪表 如温度计 千分尺 标准频率振荡器 微秒计等 前两者为指示仪表 后两者为比较仪 仪器和仪表本身都具有误差 3 附件误差 仪器的附件及附件工具 如计时开关装置 测量环境等的误差 也会引起测量误差 5 4 机构误差 如正弦机构或正切机构的非线性 天平的不等臂 机械零件连接的间隙等引起的误差 5 调整误差 仪器仪表 量具在使用时没有调整到理想状态 如不垂直 不水平 偏心 零位偏移等引起的误差 6 量值误差 标准量值本身的不准确性 量值随时间的不稳定性和随空间位置的不均匀性而引起的误差 如刻度尺长度的变化 标准电阻阻值的变化 硬度块规上各处硬度值不等所引起的误差 7 变形误差 仪器仪表 量具在使用中的变形 如因零件材料性能的不稳定性或仪器本身因测量部件移动产生的变形 内经千分尺的弯曲变形和压缩变形等引起的误差 6 8 环境误差 鉴于测量环境各种影响因素的变化与要求标准状态的不一致 从而引起测量装置和被测量本身变化所造成的 误差 如气压 温度 振动 辐射 照明 静电 电磁场 惯性加速度 旋转与旋转加速度等所引起的误差 9 方法误差 由于测试时所使用的理论 公式和方法上的不完整或疏忽所造成的误差 如用钢卷尺测量大轴的圆周长S 通过计算得出大轴的直径 由于的取值不同 将会引起误差 又 如测量弹丸的飞行速度 用通靶或断靶 弹丸通过通靶或断靶时需消耗能量 另外 求出的速度值也只能是速度的平均值 而不是瞬时速度 7 10 人员误差 简称 人差 也城人因误差 由于观测者或操作者在心理上或生理上主观因素所引起的误差 如测量者受分辨力的限制 或者因工作疲劳引起视觉器官的生理变化 或者由于固有习惯引起的读数误差 以及精神因素产生的一时疏忽等原因所引起的误差 除此之外 仪器仪表在规定的条件下使用时所产生示值误差 称为基本误差 超出此条件使用而引起的误差 称为附加误差 在测量过程中 由于测量条件变动所引起的测量误差 称为条件误差等等 8 二 误差的分类 误差的分类很多 可按误差的来源分 还可按误差的性质 误差的独立性和被测量物在测量过程中的状态来进行分类 2 按被测量物在测量过程中的状态来分 可分为静态误差 稳态误差与动态误差 1 按误差的原因 来源 分 按误差的原因 来源 分可分为原理误差 或者叫方法误差 与构造误差 或者叫工具误差 由于测量原理的不完善 或近似性或假设了一些常数 或静态特性方程中某些参数与理论静态特性方程中的对应参数不同等原因而引起的误差叫原理误差 由于实际仪器在构造上 制造工艺上或调整不完善而引起的误差叫做构造误差 9 被测参量不随时间变化而改变的 称为静态参量 静态参量的观测误差 称为静态误差 静态参量误差 这种误差通常视为随机误差 被测参量随时间变化而改变的 称为动态参量 动态参量的观测误差 称为动态误差 动态参量误差 例如对人造卫星 导弹 火箭的跟踪观测 其观测距离是时间的函数 其动态参量观测误差 显然是动态参量误差 这种动态误差 应当看成是一个随机过程 通常用随机过程理论来解决 又如在动 静态测试中 对应于某一输入的输出响应将产生静态误差 稳态误差和动态误差 10 3 按误差出现的规律性 或按性质 来分 可分为系统误差 随机误差和过失误差 或称为粗大误差 系统误差 系统误差是由于测量系统不良 如刻度不准 砝码未校正等 周围环境变化 个人的习惯与偏向 如读数常偏高和偏低 等原因引起的 系统误差不能用增加测量次数来减小或消除 但可以用理论计算方法求得 并采用增加修正值的方法减小或消除它对测量结果的影响 随机误差 在测量中 如果已经消除系统误差 也就是将系统误差视为零 每次的测量结果 同一测量条件 仍会出现无规律的随机性变化 这种误差称为随机误差 也叫做偶然误差 过失误差 一种明显歪曲测量结果的误差称为过失误差或粗大误差 这是一种在测量过程中对错了的标志 读错了读数 做错了记录 算错了数字 或者因操作者不慎引起失误 或测量条件意外地改变 如外界机械冲击或振动 等所造成的误差 11 过失误差的数值远远大于系统误差 已经不属于误差范围 必须剔除掉 过失误差无规律可循 只要多加警惕 细心操作 一般都可以避免 应当指出 上述误差可以在一定条件下相互转化 对于某一具体误差 在一条件下是系统误差 在另一条件下可能是随机误差 反之亦然 例如 按一定公称尺寸制造的量块 存在着制造误差 其中就某一块量块制造的误差的数值来说 若用以进行标定或测量 所造成的误差是系统误差 但是 就此量块整批而言 则该量块的制造 误差变成了随机误差 掌握误差转化特点 可将系统误差转化为随机误差 采用数据处理方法减小误差的影响 或者将随机误差转化为系统误差 采用修正方法来减小误差的影响 总之 随机误差和系统误差之间的并不存在绝对界限 12 6 2误差的表示方法 研究误差 在一般情况下 总是以测量误差为研究对象 它具有普遍性和代表性 测量误差以绝对误差和相对误差来表示 测量某一参数所得的测量值与该参数的真值之差为绝对误差 即 它与被测参数有相同的单位 测量的真值是一个理想的概念 一般是不知道的 然而在某些特定的情况下 其真值是可知的 例如 三角形的内角和为 一个整的圆周角为 为了使用上的方便和要求 在有些情况下 可以采用相应的高一级精度的标准量值来代替真值 13 例如 用二等标准活塞压力计测量某压力 测得值为若用更精确的方法测得该压力的值为 则后者可以视为标准量值用的代替真值 因此 而等标准活塞压力计测量的绝对误差为 14 二 相对误差 绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差 相对误差为无量纲的值 常以百分数来表示 由于真值一般不可知 而测量值与真值比较接近 因此常将绝对误差与测量值的比值作为相对误差 为了区分 将前者定义为实际相对误差 后者称为标称相对误差 表达式为 实际相对误差 标称相对误差 之所以要采用相对误差来评价被测值的精度 是因为对不同的被测值 绝对误差难以评定测量精度的高低 6 4 6 3 15 例如 采用两种方法来测量的尺寸 分别获得测量误差为和 很明显后一种方法测量结果的精确度高 若再以第三种方法测得的尺寸 获得测量误差 此时以绝对误差就难以评定后者相对于前两种方法的精度高低 此时 只有采用相对误差进行评定 才能知道哪种方法精度高 第一种方法的相对误差为 16 第二种方法的相对误差为 第三种方法的相对误差为 17 由结果可知 第三种方法的精度介于第一 第二种方法之间 应当指出 相对误差在测量学中都以分子为1的分数表示 如上面的 三 额定相对误差 6 5 绝对误差与被测量的满量程值 或最大与最小刻度值之差 之比值 称为额定相对误差 额定相对误差 在电工仪表中 特别是对于传感器 通常取最大额定相对误差作为精度指标 其定义式为 最大额定相对误差 6 6 式中 满量程范围内的最大测量误差 18 例如 某压力传感器的测量范围是2 50N cm2 在该范围内的最大绝对误差是0 14N cm2 则该传感器的精度为 四 引用误差 6 7 引用误差又称单位相对误差 以仪表满刻度值为分母 某一刻度点的示值误差为分子 其所得的比值称为引用误差 即 即传感器的精度为千分之三 19 引用误差在一些直读式仪表中常用 如电工仪表 然而 对于多档和用示值表示被测量大小的仪表 则通常按最大引用误差划分仪表的精度等级 其定义为 最大引用误差 以最大引用误差作为精度指标来划分仪表的等级 例如 在电工仪表中 精度等级分为0 1 0 2 0 5 1 0 1 5 2 5和5 0七级 对S级仪表 S指七级中的任何一级 表明合格仪表的最大引用误差不会超过S 例如 某测量范围上限为10A的电流表为2 5级 表示该电流表的最大引用误差不超过2 5 最大绝对误差为 6 8 20 再如 检定某个最大刻度值为100V 满刻度值 的电压表 发现在50V刻度点上的示值误差为2 5V 在100V刻度点上的示值误差为2 0V 则最大引用误差为2 5 故其等级为2 5级 但若某仪表最大引用误差为0 15 则其等级应为0 2级 无0 15级 四 随机误差的评定指标 任何测试与观察总是不可避免的存在误差 这种误差具有随机性 在进行随机误差评定时 通常要作一些假设 首先应规定测得值不得含系统误差和粗大误差 且随机误差之间必须相互独立 是等精度测量 其次要假定测量次数n趋于无穷大 最后还要认定测量仪器的分辨力可以无限制的提高 评定随机误差的指标 常用的有以下几个 标准差 中间差 极差和算术平均差 21 1 标准差 过去有很多称呼 常见的有标准误差 标准偏差 均方根误差 均方根偏差以及均方差等 标准差为 测量次数 无穷多次 真值 第次测量值 式中 6 9 22 在实际应用中 真值一般不知 且不能趋于无穷多 故常用标准差估值 6 10 式中 为有限次 为算式平均值 代替真值 23 3 极差 极差是极限误差的简称 又称最大误差 它是指在一组等精度的测量值中 最高与最低值之差 6 11 2 中间差 在一组测得值中 其随机误差的观测值落在区间 内的概率为50 时 则称为随机误差的中间差 中间差的实际意义为 如有个随机误差 则有个随机误差落在区间 内 而另外的个随机误差则落在该区间外 或 的术语 目前很不统一 在物理学中 以往常用概率偏差或或然误差来表征随机误差的大小 在炮兵工程技术中 则常常用中间误差来反映炸点散布的大小 24 4 算术平均差 或称算术平均误差 又称平均绝对值误差 6 12 式中 为残差 6 3不合理数据的舍弃 在一组等精度重复测量中 偶尔会出现过失误差 过失误差会显著歪曲测量结果 在处理数据时 应将含有过失误差的不合理数据舍弃 但是对测量值中突出大或突出小的可疑数据 不能根据主观判断随意剔除 而应根据一定的客观标准 25 我们要想对数据进行判断并剔除其可疑数据 就有必要了解过失误差的特点 一 过失误差的特点 过失误差的数值远大于随机误差和系统误差 实际上已超出误差范围 是一种不应发生 而仅是由于粗心 疏忽 大意所产生的误差 在一组等精度测量中 大误差出现的概率是极小的 误差绝对值超过的概率仅为0 27 1 370 因此 遇上残差的绝对值大于 则这个数据就值得怀疑 然而 大误差出现的概率虽然很小 但毕竟不是0 就是说 既使在测量次数不大时 也不能绝对排除大误差出现的可 能性 然而 当大误差出现时 或者更准确地说 当测量值中 有某个值与其余各个值的差异特别大时 它对 数列 算术平均值和标准差估值将会产生很大影响 因此 弥散特大的个别测量结果的出现 不仅会使数据统计与数据处理发生困难 甚至会歪曲总的测量结果 不能不引起应有的关注 26 因此 在处理过失误差时要特别慎重 应进行严肃的 一丝不苟的科学分析与判断 一般来说 应按以下程序进行处理 1 检查该次测量是否有差错 如肯定无差错 就应从某种瞬变系统误差方面去探索出现大误差的原因 比如在测量过程中 电力网上的电压突然跳动等 2 在同样测试条件下增加测量次数 通过取得更多的数据 以削弱特大的个别数据对最终统计估值的影响 3 采用令人信服的统计数据来剔除可疑数据 但在采取某一判据剔除个别特殊数据这一最终手段时 应特别慎重 要知道 曾经有不少重大发现是在研究测量结果的弥散程度超过了随机性的原因中发现的 如1894 年 雷莱测氮气密度时 注意到从大气中提取试样与化学制取试样之间 在数据上有很大差异 达23 他没有归因于某种原因不明的差错采取舍弃 相反的 他强调指出这种粗大误差的客观存在 正因为如此 才导致以后发现氩元素 27 下面就介绍几种粗大误差的判别方法 二 粗大误差的判别方法 1 现场判断 做实验或测量时 要做到心中有数 以利于在粗大误差出现时及时判断并剔除 例如两人一组实验 测量某一尺寸 一人测量读数 一人记录 测量读数的人可能由于不慎读错了数 记录的人就应及时发现 但是前提是对该次测量要心中有数 比如所用量具的精确度 所要测量结果大概为多少等 再如测速听声音判断其值等 现场判断数据是否合理 对初次实验者不知道数据的情况 不能进行现场判断 需进行大量的实验后判断 由于实验数据多 有些数据 当时的实验情况 已经淡忘 则可用综合判断法 28 2 综合判断 理论判断 利用能量 动量等理论判断 进行舍弃 如测速 速度应呈衰减趋势 能量范围突变等 如破片侵彻目标靶 侵彻前后均测速 侵彻后的速度由于在侵彻目标靶的过程中要消耗能量 速度必然小于侵彻前的速度 3 统计规律 1 3准则 该准则又称为莱特准则 它是常用的也是判别粗大误差最简单的准则 但它是以测量次数充分多为前提的 在一般情况下 测量次数都比较少 但不能少于10次 N 10不能采用3准则 因此 3准则只能是一个近似准则 29 6 13 则认为它含有粗大误差 该数据应予以剔除 对于某一组测量值 若只含有随机误差 根据随机误差正态分布规律 其残差落在以外的概率仅为0 27 1 370 测量值的残差绝对值若发现大于 亦即 使用准则时 允许一次将残差大于的所有数据剔除 然后重新计算值 利用剩余的各个数据 再次使用准则判断并剔除残差大于的数据 直至不再发现的数据为止 准则偏于保守 在测量次数较小时 粗大误差出现的次数极少 由于测量次数不大 粗大误差在求过程中将使显著增大 此时准则并不很可靠 也就是说 在此情况下 有个别粗大误差也不一定判断出来 30 2 肖维纳准则 该准则的判别步骤是 计算算术平均值 残差 标准差估值以及 求出 若 则认为数据不合理 予以舍弃 在剔除掉一个数据后 再利用该准则继续判断 直至确认不再含有粗大误差的测量值为止 k是一个决定于测量次数n和最大残差与的比值的值 31 3 格拉布斯准则 Grubbs 多次重复测量时 取得个测量值 并假定这些测量值是正态分布的 计算出 若测量值中的最大值或最小值的残差满足以下关系 6 14 就认为该测量值含有粗大误差 应予以剔除 式中是一个决定于测量次数和显著水平的数值 显著水平表示按 6 14 式剔除粗大误差时可能错判的概率 即把不是粗大误差判为粗大误差的错误概率 显著水平是事先取定的 通常取为0 05 0 0025和0 01 的值可以查表 32 表6 1格拉布斯判据表 数值表 33 例 对某参数在同一条件下重复测量10次 其结果为 5 305 736 778 125 224 333 456 095 645 75 计算算术平均值 计算标准差估值 计算残差见表 经检查 数据合理 分别用 1 3准则 2 肖维纳准则 3 格拉布斯准则判别 并剔除含有粗大误差的数据 解 1 用3准则 计算3 查表 检查是否大于 34 35 2 用肖维纳准则 计算算术平均值 查表得 经检查 数据合理 计算残差 及各数值均见表 检查是否大于 36 3 用格拉布斯 Grubbs 准则 设给定显著水平 查表 计算 检查是否大于的值 若大于剔除后 重复上述步骤 经检查 数据合理 5 37 二 判别粗大误差注意事项 粗大误差的判别是一个比较困难需要特别细心和慎重的工作 在判别过程中 要做充分的分析和研究 并注意以下问题 1 合理选用判别准则 在上面介绍的准则中 准则适用于测量次数较多的情况 一般情况下 测量次数都比较少 因此用此方法判别 其可靠性不高 但由于它使用简便 又不需要查表 故在要求不高时 还是经常使用的 对测量次数较少 而又要求较高的情况 应用后两种准则或其它准则 2 采用逐步剔除方法 按前面介绍的判别准则 若判别出有两个以上测得值含有粗大误差时 只能首先剔除含有最大误差