二次曲线方程的化简与分类ppt课件.ppt

5 6二次曲线方程的化简与分类 这一节 我们将在直角坐标系下 利用坐标变换 使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式 然后在此基础上进行二次曲线的分类 1 平面直角坐标变换 我们知道 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为与 那么移轴公式为 5 6 1 或 5 6 1 式中为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标 先移轴使坐标原点与新坐标系的原点重合 变成坐标系 5 6 2 或 5 6 2 式中的为坐标轴的旋转角 而在一般情形 由旧坐标系变成新坐标系 总可以分两步来完成 转轴公式为 成新坐标系 设平面上任意点 的旧坐标与新坐标分别为 与 图5 1 由上两式得一般坐标变换公式为 5 6 3 与 那么有 由 5 6 3 解出便得逆变换公式 5 6 4 平面直角坐标变换公式 5 6 3 是由新坐标系原点的坐标与坐标轴的旋转角决定的 确定坐标变换公式 除了上面的这种情况外 还可以有其它的方法 例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系里的方程 并规定了一个轴的正方向等 现在我们就来介绍这情况下的坐标变换公式 图5 2 设在直角坐标系里给定了两条互相垂直的直线 因为是点到轴的距离 也就是点到的距离 因此我们有 同理可得 其中 横轴 纵轴 旧坐标与新坐标分别是 于是在去掉绝对值符号以后 便有 5 6 5 为了使新坐标系仍然是右手坐标系 我们来决定 5 6 5 中的符号 将 5 6 5 式与公式 5 6 4 比较得 5 6 4 因此 5 6 5 中的第一式右端的的系数应与第二式的右端的实数相等 所以 5 6 5 的符号选取要使得这两项的系数是同号的 根据上面的符号选取法则得变换公式为 2 二次曲线方程的化简与分类 设二次曲线的方程为 1 现在我们要选取一个适当的坐标系 也就是要确定一个坐标变换 使得曲线 1 在新坐标系下的方程最为简单 这就是二次曲线方程的化简 为此 我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的系数是怎样变化的 因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成 所以我们分别考察在移轴与转轴下 二次曲线方程 1 的系数的变换规律 在移轴 5 6 1 即 下 二次曲线 1 的新方程为 化简整理得 这里 5 6 6 因此在移轴 5 6 1 下 二次曲线方程系数的变换规律为 二次项系数不变 一次项系数变为与 常数项变为 所以当二次曲线有中心时 作移轴 使原点与二次曲线的中心重合 那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失 因为当为二次曲线 1 的中心时 有 把转轴公式 5 6 2 即 代入 1 得在转轴 5 6 2 下二次曲线 1 的新方程为 这里 5 6 7 因此 在转轴下 二次曲线方程 1 的系数变换规律为 二次项系数一般要改变 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关 而与一次项系数及常数项无关 一次项系数一般要改变 新方程的一次 项系数 解出得 常数项不变 二次曲线方程 1 里 如果 我们往往使用转轴使新方程中的 为此 我们只有取旋转角 使得 即 所以 5 6 8 因为余切的值可以是任意的实数 所以总有满足 5 6 8 也就是说总可以经过适当的转轴消去 1 的项 即 所以 从而得 取 那么 所以得 转轴公式为 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为 利用配方使上式化为 再作移轴 曲线方程化为最简形式 或写成标准方程为 这是一条抛物线 它的顶点是新坐标系的原点 原方程的图形可以根据它在坐标系中的标准方程作出 它的图形如图5 3所示 利用坐标变换化简二次曲线的方程 如果曲线有中心 那么为了计算方便 往往先移轴后转轴 解因为 所以曲线为中心二次曲线 解方程组 得中心的坐标为 取为新原点 原方程变为 再转轴消去项 由 5 6 8 得 从而可取 故转轴公式为 作移轴 经转轴后曲线的方程 或写成标准形式 这是一个椭圆 它的图形如图5 4所示 利用转轴来消去二次曲线方程的项 它有一个几何意义 就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置 这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为 那么由 5 5 1 立刻得 因此 上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法 实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径 即对称轴 重合的位置 如果是线心曲线 坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合 因此 二次曲线方程的化简 只要先求出曲线 1 的主直径 然后以它作为新坐标轴 作坐标变换即可 如果是中心曲线 如果是无心曲线 坐标原点与曲线的中心重合 坐标原点与曲线的顶点重合 解已知二次曲线的矩阵是 所以曲线的特征方程是 解得两特征根为 因而曲线的两个主方向为 曲线的两条主直径为 与 即 取这两条主直径为新坐标轴 由 5 6 5 得坐标变换公式为 解出与 代入已知曲线方程 经过整理得曲线在新坐标系下得方程为 所以曲线标准方程为 这是一条双曲线 解已知二次曲线的矩阵是 曲线为非中心曲线 它的特征方程为 特征根为 曲线的非渐近主方向为对应于的这方向 为新坐标系的轴 而过曲线的顶点 所以曲线的主直径为 即 求出主直径于曲线的交点 即曲线的顶点为 所以过曲线顶点且以非渐近主方向为方向的直线为 即 这也是过顶点垂直于主直径的直线 取主直径 且垂直于主直径的直线为轴 作坐标变换 它的变换公式为 解出与 代入已知方程 经过整理得 化为标准方程 这是一条抛物线 例6化简 解已知曲线的矩阵为 它的第一 第二两行成比例 曲线为线心曲线 它有唯一的直径即中心线 也是曲线的主直径 其方程是 取它为新坐标系的轴 为新坐标系的轴作