递推数列求通项学案

递推数列求通项题型分类归纳解析递推数列求通项题型分类归纳解析 类型类型 1 1 nfaa nn 解法 把原递推公式转化为 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 1 nfaa nn 例例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 变式变式 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 类型类型 2 nn anfa 1 解法 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 例例 2 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 变式变式 已知 求数列通项公式 1 1a 1 nnn an aa nN n a 类型类型 3 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 解法 待定系数法 把原递推公式转化为 其中 再利用换元法换元法转化为等比 1 tapta nn p q t 1 数列求解 例例 3 已知数列中 求的通项公式 n a 1 1a 1 21 2 nn aan n a 变式变式 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 类型类型 4 其中 p q 均为常数 或 其中 p q n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 1 n nn aparq r 均为常数 解法 一般地 要先在原递推公式两边同除同除以 得 引入辅助数列引入辅助数列 其中 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 n b n n n q a b 得 再待定系数法定系数法解决 q b q p b nn 1 1 例例 4 已知 求 1 2a 1 1 42n nn aa n a 变式变式 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 类型类型 5 递推公式为与的关系式 或 n S n a nn Sf a 解法 利用 2 1 1 1 nSS nS a nn n 例例 5 已知数列的前项和为 数列是公比为的等比数列 是和的等比中项 n an n S 1 n S2 2 a 1 a 3 a 求数列的通项公式 n a 变式 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 12 123 31 8 n n n nN aaa n a 类型类型 6 r nn paa 1 0 0 n ap 解法解法 这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为 再利用待定系数法待定系数法求解 qpaa nn 1 例例 6 已知 求 1 10a 2 1nn aa n a 变式 设正项数列满足 n 2 求数列的通项公式 n a1 1 a 2 1 2 nn aa n a 类型类型 7 1 nhang anf a n n n 解法 这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为 qpaa nn 1 例例 7 1 已知数列中 求数列的通项公式 n a nN 1 1a 1 21 n n n a a a n a 2 已知 求 1 4a 1 2 21 n n n a a a n a 变式变式 已知数列 an 满足 a1 且 an 求数列 an 的通项公式 3 2 n1 n1 3na n2nN 2an1 类型类型 8 周期型 解法 由递推式计算出前几项 寻找周期 例例 8 若数列满足 若 则的值为 n a 1 2 1 12 2 1 0 2 1 nn nn n aa aa a 7 6 1 a 20 a 变式变式 已知数列满足 则 n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a A 0B C D 3 3 2 3 练习 1 已知无穷数列的的通项公式是 若数列满足 求数列的通项 n a 1 2 n n a n b 1 1b 1 n n b 公式 2 设是首项为 1 的正项数列 且 1 2 3 则它的通项公式是 n a 01 1 22 1 nnnn aanaan n n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 11 24 31 n nn aaa n a 4 在数列中 求通项 逐项相减法 n a 23 1 11 naaa nn n a 5 数列中 n 2 求数列的通项公式 n a1 1 a 1 2 nn aa n a 6 数列前 n 项和 1 求与的关系 2 求通项公式 n a 2 2 1 4 n nn aS 1 n a n a n a 7 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 8 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 9 已知 n a 中 4 1 a 1 4 4 n n a a 2 n 求 n a 10 已知 n a 中 1 1 a 其前n项和 n S 与 n a 满足 12 2 2 n n n S S a 2 n 1 求证 1 n S 为等差数列 2