高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合直线的一般式方程及综合 学习目标学习目标 1 掌握直线的一般式方程 2 能将直线的点斜式 两点式等方程化为直线的一般式方程 并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处 3 能利用直线的一般式方程解决有关问题 要点梳理要点梳理 要点一 直线方程的一般式要点一 直线方程的一般式 关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线 我们把方程写为 Ax By C 0 这个方程 其中 A B 不全为 零 叫做直线方程的一般式 要点诠释 要点诠释 1 A B 不全为零才能表示一条直线 若 A B 全为零则不能表示一条直线 当 B 0 时 方程可变形为 它表示过点 斜率为的直线 AC yx BB 0 C B A B 当 B 0 A 0 时 方程可变形为 Ax C 0 即 它表示一条与 x 轴垂直的直线 C x A 由上可知 关于 x y 的二元一次方程 它都表示一条直线 2 在平面直角坐标系中 一个关于 x y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线 反过来 一条直线 可以对应着无数个关于 x y 的一次方程 如斜率为 2 在 y 轴上的截距为 1 的直线 其方程可以是 2x y 1 0 也可以是 还可以是 4x 2y 2 0 等 11 0 22 xy 要点二 直线方程的不同形式间的关系要点二 直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表 名称方程的形式常数的几何意义适用范围 点斜式y y1 k x x1 x1 y1 是直线上一定点 k 是斜率不垂直于 x 轴 斜截式y kx bk 是斜率 b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式 11 2121 yyxx yyxx x1 y1 x2 y2 是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴 截距式 1 xy ab a 是直线在 x 轴上的非零截距 b 是直 线在 y 轴上的非零截距 不垂直于 x 轴和 y 轴 且不过原点 一般式Ax By C 0 A2 B2 0 A B C 为系数任何位置的直线 要点诠释 要点诠释 在直线方程的各种形式中 点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式 要注意在这两种形式中都要 求直线存在斜率 两点式是点斜式的特例 其限制条件更多 x1 x2 y1 y2 应用时若采用 y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0 的形式 即可消除局限性 截距式是两点式的特例 在使用截距式时 首先要 判断是否满足 直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 这一条件 直线方程的一般式包含了平面上的所有 直线形式 一般式常化为斜截式与截距式 若一般式化为点斜式 两点式 由于取点不同 得到的方程也 不同 要点三 直线方程的综合应用要点三 直线方程的综合应用 1 已知所求曲线是直线时 用待定系数法求 2 根据题目所给条件 选择适当的直线方程的形式 求出直线方程 对于两直线的平行与垂直 直线方程的形式不同 考虑的方向也不同 1 从斜截式考虑 已知直线 111 bxkyl 222 bxkyl 12121212 llkk bb 121212112 2 1 tancot1 2 llkk k k 于是与直线平行的直线可以设为 垂直的直线可以设为 ykxb 1 ykxb 2 1 yxb k 2 从一般式考虑 11112222 0 0lAxB yClA xB yC 121212 0llA AB B 且或 记忆式 121221 0llABA B 1221 0ACA C 1221 0BCB C 111 222 ABC ABC 与重合 1 l 2 l 1221 0ABA B 1221 0ACA C 1221 0BCB C 于是与直线平行的直线可以设为 垂直的直线可以设为0AxByC 0AxByD 0BxAyD 典型例题典型例题 类型一 直线的一般式方程类型一 直线的一般式方程 例 1 根据下列条件分别写出直线的方程 并化为一般式方程 1 斜率是 经过点 A 8 2 1 2 2 经过点 B 4 2 平行于 x 轴 3 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3 3 2 4 经过两点 P1 3 2 P2 5 4 答案 1 x 2y 4 0 2 y 2 0 3 2x y 3 0 4 10 xy 解析 1 由点斜式方程得 化成一般式得 x 2y 4 0 1 2 8 2 yx 2 由斜截式得 y 2 化为一般式得 y 2 0 3 由截距式得 化成一般式得 2x y 3 0 1 3 3 2 xy 4 由两点式得 化成一般式方程为 23 4 2 53 yx 10 xy 总结升华 本题主要是让学生体会直线方程的各种形式 以及各种形式向一般式的转化 对于直线 方程的一般式 一般作如下约定 x 的系数为正 x y 的系数及常数项一般不出现分数 一般按含 x 项 y 项 常数项顺序排列 求直线方程的题目 无特别要求时 结果写成直线方程的一般式 举一反三 举一反三 变式 1 已知直线 经过点 且倾斜角是 求直线的点斜式方程和一般式方程 l 3 1 B 30 答案 3 1 3 3 yx 333 330 xy 解析 因为直线倾斜角是 所以直线的斜率 所以直线的点斜式方30 3 tantan30 3 k 程为 化成一般式方程为 3 1 3 3 yx 333 330 xy 例 2 的一个顶点为 的平分线在直线ABC 1 4 A B C 和上 求直线 BC 的方程 10y 10 xy 答案 230 xy 解析 由角平分线的性质知 角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 所以可得 A 点关于的平分线的对称点在 BC 上 B 点关于的平分线B AC 的对称点也在 BC 上 写出直线的方程 即为直线 BC 的方程 B AB 例 3 求与直线 3x 4y 1 0 平行且过点 1 2 的直线 的方程 l 答案 3x 4y 11 0 解析 解法一 设直线 的斜率为 k 与直线 3x 4y 1 0 平行 ll 3 4 k 又 经过点 1 2 可得所求直线方程为 即 3x 4y 11 0 l 3 2 1 4 yx 解法二 设与直线 3x 4y 1 0 平行的直线 的方程为 3x 4y m 0 l 经过点 1 2 3 1 4 2 m 0 解得 m 11 l 所求直线方程为 3x 4y 11 0 总结升华 1 一般地 直线 Ax By C 0 中系数 A B 确定直线的斜率 因此 与直线 Ax By C 0 平行的直线可设为 Ax By m 0 这是常采用的解题技巧 我们称 Ax By m 0 是与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程 参数 m 可以取 m C 的任意实数 这样就得到无数条与直线 Ax By C 0 平行的直线 当 m C 时 Ax By m 0 与 Ax By C 0 重合 2 一般地 经过点 A x0 y0 且与直线 Ax By C 0 平行的直线方程为 A x x0 B y y0 0 3 类似地有 与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程为 Bx Ay m 0 A B 不同时为零 举一反三 举一反三 变式 1 已知直线 3mx 8y 3m 10 0 和 x 6my 4 0 问 m 为何值时 1 l 2 l 1 与平行 2 与垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 答案 1 2 2 3 m 0m 解析 当时 8y 10 0 x 4 0 0m 1 l 2 l 12 ll 当时 0m 1 l 3103 88 mm yx 2 l 14 66 yx mm 由 得 由得 31 86 m m 2 3 m 1034 86 m m 28 33 m 或 而无解 31 1 86 m m 综上所述 1 与平行 2 与垂直 2 3 m 1 l 2 l0m 1 l 2 l 变式 2 求经过点 A 2 1 且与直线 2x y 10 0 垂直的直线 的方程 l 答案 x 2y 0 解析 因为直线 与直线 2x y 10 0 垂直 可设直线 的方程为 把点 A 2 1 ll20 xym 代入直线 的方程得 所以直线 的方程为 x 2y 0 l0m l 类型二 直线与坐标轴形成三角形问题类型二 直线与坐标轴形成三角形问题 例 4 已知直线 的倾斜角的正弦值为 且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6 求直线 的方程 l 3 5 l 思路点拨 知道直线的倾斜角就能求出斜率 进而引进参数 直线在 y 轴上的截距 b 再根据直 线与坐标轴围成的三角形的面积为 6 便可求出 b 也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6 设 截距式直线方程 从而得出 再根据它的斜率已知 从而得到关于 a b 的方程组 解之即可 1 6 2 ab 答案 或 3 3 4 yx 3 3 4 yx 解析 解法一 设 的倾斜角为 由 得 l 3 sin 5 3 tan 4 设 的方程为 令 y 0 得 l 3 4 yxb 4 3 xb 直线 与 x 轴 y 轴的交点分别为 0 b l 4 0 3 b 即 b2 9 b 3 2 142 6 233 Sbbb 故所求的直线方程分别为或 3 3 4 yx 3 3 4 yx 解法二 设直线 的方程为 倾斜角为 由 得 l1 xy ab 3 sin 5 3 tan 4 解得 1 6 2 3 4 ab b a 4 3 a b 故所求的直线方程为或 1 43 xy 1 43 xy 总结升华 1 本例中 由于已知直线的倾斜角 与斜率有关 及直线与坐标轴围成的三角形的 面积 与截距有关 因而可选择斜截式直线方程 也可选用截距式直线方程 故有 题目决定解法 之 说 2 在求直线方程时 要恰当地选择方程的形式 每种形式都具有特定的结论 所以根据已知条件 恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决 例如 已知一点的坐标 求过这点的直线方程 通常选用 点斜式 再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距 已知截距或两点 选择截距式或两点式 在求直线方 程的过程中 确定的类型后 一般采用待定系数法求解 但要注意对特殊情况的讨论 以免遗漏 举一反三 举一反三 变式 1 2015 春 启东市期中 已知直线 m 2x y 3 0 n x y 3 0 1 求过两直线 m n 交点且与直线 l x 2y 1 0 平行的直线方程 2 求过两直线 m n 交点且与两坐标轴围成面积为 4 的直线方程 思路点拨 1 求过两直线 m n 交点坐标 结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l x 2y 1 0 平行的直线方程 2 设出直线方程 求出直线和坐标轴的交点坐标 结合三角形的面积公式进行求解即可 答案 1 x 2y 4 0 2 解析 1 由 解得 230 30 xy xy 2 1 x y 即两直线 m n 交点坐标为 2 1 设与直线 l x 2y 1 0 平行的直线方程为 x 2y c 0 则 2 2 1 c 0 解得 c 4 则对应的直线方程为 x 2y 4 0 2 设过 2 1 的直线斜率为 k k 0 则对应的直线方程为 y 1 k x 2 令 x 0 y 1 2k 即与 y 轴的交点坐标为 A 0 1 2k 令 y 0 则 即与 x 轴的交点坐标为 121 2 k x kk 21 0 k B k 则 AOB 的面积 121 1 2 4 2 k Sk k 即 2 21 8kk 即 2 44810kkk 若 k 0 则方程等价为 2 41210kk 解得或 32 2 2 k 32 2 2 k 若 k 0 则方程等价为 2 4410kk 解得 1 2 k 综上直线的方程为 或 或 1 1 2 2 yx 32 2 1 2 2 yx 32 2 1 2 2 yx 即 或 或 1 2 2 yx 32 2 22 2 2 yx 32 2 22 2 2 yx 类型三 直线方程的实际应用类型三 直线方程的实际应用 例 6 2015 春 湖北期末 光线从点 A 2 3 射出 若镜面的位置在直线 l x y 1 0 上 反射光线 经过 B 1 1 求入射光线和反射光线所在直线的方程 并求光线从 A 到 B 所走过的路线长 思路点拨 求出点 A 关于 l 的对称点 就可以求出反射光线的方程 进一步求得入射点的坐标 从 而可求入射光线方程 可求光线从 A 到 B 所走过的路线长 答案 41 解析 设点 A 关于 l 的对称点 A x0 y0 AA 被 l 垂直平分 解得 00 0 0 23 10 22 3 1 2 xy y x 0 0 4 3 x y 点 A 4 3 B 1 1 在反射光线所在直线上 反射光线的方程为 即 4x 5y 1 0 34 1 314 yx 解方程组得入射点的坐标为 4510 10 xy xy 21 33 由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 即 5x 4y 2 0 12 33 12 32 33 yx 光线从 A 到 B 所走过的路线长为 22 4 1 3 1 41A B 总结升华 本题重点考查点关于直线的对称问题 考查入射光线和反射光线 解题的关键是利用对 称点的连结被对称轴垂直平分 举一反三 举一反三 变式 1 2016 春 福建厦门期中 一条光线从点 A 4 2 射出 到直线 y x 上的 B 点后被直 线 y x 反射到 y 轴上的 C 点 又被 y 轴反射 这时反射光线恰好过点 D 1 6 求 BC 所在直线