2011高考数学一轮复习精讲精练系列 三角函数教案（下册）

用心 爱心 专心 三角函数三角函数 1 1 了解任意角的概念 弧度的意义 正确进行弧度与角度的换算 理解任意角的正弦 余 弦 正切的定义 了解余切 正割 余割的定义 会利用单位圆中的三角函数线表示正弦 余弦 正切 2 2 掌握三角函数的公式 同角三角函数基本关系式 诱导公式 和 差角及倍角公式 及 运用 3 3 能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简 求值和条件等式及恒等式的证明 4 4 掌握正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 会用单位圆中的三角函数线画出正 弦函数 正切函数的图象 并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象 会用 五点法 画出正弦函数 余弦函数和 sin xAy的简图 理解 A 的物理意义 5 5 会由已知三角函数值求角 并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示角 6 6 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 能利用计算器解决解三角形 的计算问题 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 任意角的三角函数 三 角 函 数 两角和与差的三角函数 三角函数的图象和性质 角的概念的推广 弧度制 任意角的三角函数的定义 同角三角函数基本关系 诱导公式 两角和与差的正弦 余弦 正 切 二倍角的正弦 余弦 正切 y sinx y cosx 的图象和性质 y tanx 的图象和性质 y Asin x 的图象 已知三角函数值求角 用心 爱心 专心 三角部分的知识是每年高考中必考的内容 近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点 1 1 降低了对三角函数恒等变形的要求 加强了对三角函数图象和性质的考查 尤其是三角 函数的最大值与最小值 周期 2 2 以小题为主 一般以选择题 填空题的形式出现 多数为基础题 难度属中档偏易 其 次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形 如运用三角公式进行化简 求值解决简单的综 合题等 3 3 更加强调三角函数的工具性 加强了三角函数与其它知识的综合 如在解三角形 立体 几何 平面解析几何中考查三角函数的知识 第第 1 1 课时课时 任意角的三角函数任意角的三角函数 一 一 角的概念的推广 1 与角 终边相同的角的集合为 2 与角 终边互为反向延长线的角的集合为 3 轴线角 终边在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在 y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上 的角的集合为 4 象限角是指 5 区间角是指 6 弧度制的意义 圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角 它将任 意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系 7 弧度与角度互化 180 弧度 1 弧度 1 弧度 8 弧长公式 l 扇形面积公式 S 二 二 任意角的三角函数 9 定义 设 P x y 是角 终边上任意一点 且 PO r 则 sin cos tan 10 三角函数的符号与角所在象限的关系 基础过关基础过关 高考导航高考导航 cosx sinx tanx x y Ox y O x y O 用心 爱心 专心 12 正弦 余弦 正切 余切函数的定义域和值域 解析式y sinxy cosxy tanx 定义域 值 域 13 三角函数线 在图中作出角 的正弦线 余弦线 正切线 例例 1 1 若 是第二象限的角 试分别确定 2 2 3 的终边所在位置 解 解 是第二象限的角 k 360 90 k 360 180 k Z Z 1 2k 360 180 2 2k 360 360 k Z Z 2 是第三或第四象限的角 或角的终边在 y 轴的非正半轴上 2 k 180 45 2 k 180 90 k Z Z 当 k 2n n Z Z 时 n 360 45 2 n 360 90 当 k 2n 1 n Z Z 时 n 360 225 2 n 360 270 2 是第一或第三象限的角 3 k 120 30 3 k 120 60 k Z Z x y O 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 当 k 3n n Z Z 时 n 360 30 3 n 360 60 当 k 3n 1 n Z Z 时 n 360 150 3 n 360 180 当 k 3n 2 n Z Z 时 n 360 270 3 n 360 300 3 是第一或第二或第四象限的角 变式训练变式训练 1 1 已知 是第三象限角 问 3 是哪个象限的角 解 解 是第三象限角 180 k 360 270 k 360 k Z Z 60 k 120 3 90 k 120 当 k 3m m Z Z 时 可得 60 m 360 3 90 m 360 m Z Z 故 3 的终边在第一象限 当 k 3m 1 m Z Z 时 可得 180 m 360 3 210 m 360 m Z Z 故 3 的终边在第三象限 当 k 3m 2 m Z Z 时 可得 300 m 360 3 330 m 360 m Z Z 故 3 的终边在第四象限 综上可知 3 是第一 第三或第四象限的角 例例 2 2 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 1 sin 2 3 2 cos 2 1 解 解 1 作直线 y 2 3 交单位圆于 A B 两点 连结 OA OB 则 OA 与 OB 围成的区 域即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 3 2k 3 2 k Z Z 用心 爱心 专心 2 作直线 x 2 1 交单位圆于 C D 两点 连结 OC OD 则 OC 与 OD 围成的区域 图中阴影 部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 Zkkk 3 4 2 3 2 2 变式训练变式训练 2 2 求下列函数的定义域 1 y 1cos2 x 2 y lg 3 4sin2x 解 解 1 2cosx 1 0 cosx 2 1 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 如图阴影所示 x 3 2 3 2 kk k Z Z 2 3 4sin2x 0 sin2x 4 3 2 3 sinx 2 3 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 如右图阴影 x k 3 k 3 k Z Z 例例 3 3 已知角 的终边在直线 3x 4y 0 上 求 sin cos tan 的值 解 解 角 的终边在直线 3x 4y 0 上 在角 的终边上任取一点 P 4t 3t t 0 则 x 4t y 3t r 5 3 4 2222 ttyx t 当 t 0 时 r 5t sin 5 3 5 3 t t r y cos 5 4 5 4 t t r x tan 4 3 4 3 t t x y 当 t 0 时 r 5t sin 5 3 5 3 t t r y cos 5 4 5 4 t t r x tan 4 3 4 3 t t x y 综上可知 t 0 时 sin 5 3 cos 5 4 tan 4 3 t 0 时 sin 5 3 cos 5 4 tan 4 3 用心 爱心 专心 变式训练变式训练 3 3 已知角 的终边经过点 P 2 3 0 sin 4 m mm 且 试判断角 所在 的象限 并求costan 和的值 解 解 由题意 得 2 2 2 3 0 5 4 3 m rmmm m 故角 是第二或第三象限角 当5m 时 2 2r 点 P 的坐标为 3 5 36515 cos tan 432 23 xy rx 当5m 时 2 2r 点 P 的坐标为 3 5 36515 cos tan 432 23 xy rx 例例 4 4 已知一扇形中心角为 所在圆半径为 R 1 若 3 R 2cm 求扇形的弧长及该弧所在弓形面积 2 若扇形周长为一定值 C C 0 当 为何值时 该扇形面积最大 并求此最大值 解 解 1 设弧长为 l 弓形面积为 S弓 3 2 cml SSS 扇弓 3 sin2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 3 2 cm2 扇形周长 RRlRC222 22 C R 22 22 2 1 2 1 C RS 扇 16 2 4 24 1 244 1 2 22 2 2 CCC 当且仅当 22 4 即 2 时扇形面积最大为 16 2 c 变式训练变式训练 4 4 扇形 OAB 的面积是 1cm2 它的周长是 4cm 求中心角的弧度数和弦长 AB 解 解 设扇形的半径为 r 弧长为 l 中心角的弧度数为 用心 爱心 专心 则有 1 2 1 42 lr lr 2 1 l r 由 r l 得 2 AB 2 sin 1 cm 1 本节内容是三角函数的基础内容 也是后续结论的根源所在 要求掌握好 如角度的范 围 函数的定义 函数值的符号 函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系 2 在计算或化简三角函数的关系式时 常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情 况进行讨论 因此 在解答这类题时首先要弄清 角的范围是什么 对应的三角函数值 是正还是负 与此相关的定义 性质或公式有哪些 第第 2 2 课时课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 1 1 同角公式 1 平方关系 sin2 cos2 1 1 tan2 1 cot2 2 商数关系 tan cot 3 倒数关系 tan 1 sin 1 cot 1 2 2 诱导公式 2 2k sin cos 2 2 2 3 2 3 sin cos 规律 奇变偶不变 符号看象限 3 3 同角三角函数的关系式的基本用途 根据一个角的某一个三角函数值 求出该角的其他三角函数值 化简同角三角函数式 证明 同角的三角恒等式 4 4 诱导公式的作用 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 0 90 角的三角函数值 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 例例 1 1 已知 f sin tan tan 2cos sin 1 化简 f 2 若 是第三象限角 且 cos 5 1 2 3 求 f 的值 解解 1 f sintan tan cossin cos 2 cos 2 3 sin sin 5 1 cos 6 5 2 5 15 22 f 6 5 2 变式训练变式训练 1 1 已知 A cos cos sin sin Zk kk 则 A 构成的集合是 A 1 1 2 2 B 1 1 C 2 2 D 2 1 01 2 解 解 C 例例 2 2 求值 1 已知 5 3 7cos 2 求 2 cos 的值 2 已知1 1tan tan 求下列各式的值 cossin cos3sin 2cossinsin2 解 解 1 5 4 2 2 cos 2 3 5 cossin cos3sin 变式训练变式训练 2 2 化简 4sin 8cos tan 5sin 4 cos 4 sin 解 解 原式 sin 原式 0 例例 3 3 已知 0 2 x sin x cos x 5 1 1 求 sin x cos x 的值 2 求 x xx tan1 sin22sin 2 的值 解 解 1 5 7 2 175 24 变式训练变式训练 3 3 已知 sin cos 5 1 0 求值 1 tan 2 sin cos 3 sin3 cos3 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 解解 方法一方法一 sin cos 5 1 0 sin cos 2 25 1 1 2sin cos sin cos 25 12 0 由根与系数的关系知 sin cos 是方程 x2 5 1 x 25 12 0 的两根 解方程得 x1 5 4 x2 5 3 sin 0 cos 0 sin 5 4 cos 5 3 1 tan 3 4 2 sin cos 5 7 3 sin3 cos3 125 37 方法二方法二 1 同方法一 2 sin cos 2 1 2sin cos 1 2 25 12 25 49 sin 0 cos 0 sin cos 0 sin cos 5 7 3 sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 5 1 25 12 1 125 37 例例 4 4 已知 tan 2 求下列各式的值 1 cos9sin4 cos3sin2 2 22 22 cos9sin4 cos3sin2 3 4sin2 3sin cos 5cos2 解 解 1 原式 1 924 322 9tan4 3tan2 2 7 5 924 322 9tan4 3tan2 cos9sin4 cos3sin2 2 2 2 2 22 22 3 sin2 cos2 1 4sin2 3sin cos 5cos2 用心 爱心 专心 22 22 cossin cos5cossin3sin4 1 14 52344 1tan 5tan3tan4 2 2 变式训练变式训练 4 4 已知 sin k 2cos k k Z Z 求 1 sin3cos5 cos2sin4 2 4 1 sin2 5 2 cos2 解 解 由已知得 cos k 0 tan k 2 k Z Z 即 tan 2 1 10 tan35 2tan4 sin3cos5 cos2sin4 2 4 1 sin2 5 2 cos2 22 22 cossin cos 5 2 sin 4 1 25 7 1tan 5 2 tan 4 1 2 2 1 求函数的定义域一般有三类问题 一是给出解释式 如例 1 应抓住使整个解式有意义 的自变量的集合 二是未给出解析式 如例 2 就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域 三是实际问题 此时函数的定义域除使解析式有意义外 还应使实际问题或几何问题有意义 2 求函数的值域没有通用方法和固定模式 除了掌握常用方法 如直接法 单调性法 有 界性法 配方法 换元法 判别式法 不等式法 图象法 外 应根据问题的不同特点 综 合而灵活地选择方法 第第 3 3 课时课时 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 1 1 两角和的余弦公式的推导方法 2 2 基本公式 sin sin cos cos sin cos tan 3 3 公式的变式 tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan tan tantan 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 4 4 常见的角的变换 2 2 2 2 2 2 4 4 xx 2 例例 1 1 求 2sin50 sin10 1 3tan10 80sin2 2 的值 解 解 原式 80sin2 10cos 10sin3 110sin50sin2 80sin2 10cos 10sin310cos 10sin50sin2 10cos2 10cos 10sin 2 3 10cos 2 1 10sin250sin2 10cos2 10cos 40sin10sin2 50sin2 60sin2210cos2 10cos 60sin2 6 2 3 22 变式训练变式训练 1 1 1 已知 2 sin 5 3 则 tan 4 等于 A 7 1 B 7 C 7 1 D 7 2 sin163 sin223 sin253 sin313 等于 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 解 解 1 A 2 B 例例 2 2 已知 4 4 3 0 4 cos 4 5 3 sin 4 3 13 5 求 sin 的值 解 解 4 4 3 2 4 3 4 0 1sin 3 1 1 x 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 4 0 2 4 3 4 3 sin 4 5 4 cos 4 3 13 12 sin cos 2 cos 4 4 3 65 56 变式训练变式训练 2 2 设 cos 2 9 1 sin 2 3 2 且 2 0 2 求 cos 解 解 2 0 2 4 2 4 2 2 故由 cos 2 9 1 得 sin 2 9 54 由 sin 2 3 2 得 cos 2 3 5 cos 2 cos 2 2 cos cos sin sin 2222 1524 5 9339 7 5 27 cos 2cos2 2 1 2 7 5 2 27 1 729 239 例例 3 3 若 sinA 5 5 sinB 10 10 且 A B 均为钝角 求 A B 的值 解解 A B 均为钝角且 sinA 5 5 sinB 10 10 cosA A 2 sin1 5 2 5 52 cosB B 2 sin1 10 3 10 103 cos A B cosAcosB sinAsinB 5 52 10 103 5 5 10 10 2 2 又 2 A 2 B A B 2 由 知 A B 4 7 变式训练变式训练 3 3 在 ABC 中 角 A B C 满足 4sin2 2 CA cos2B 2 7 求角 B 的度数 解解 在 ABC 中 A B C 180 用心 爱心 专心 由 4sin2 2 CA cos2B 2 7 得 4 2 cos 1CA 2cos2B 1 2 7 所以 4cos2B 4cosB 1 0 于是 cosB 2 1 B 60 例例 4 4 化简 sin2 sin2 cos2 cos2 2 1 cos2 cos2 解解 方法一方法一 复角 单角 从 角 入手 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2 1 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 2 1 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 1 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 2 1 sin2 cos2 2 1 1 2 1 2 1 方法二方法二 从 名 入手 异名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 2 1 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 2 1 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 2cos 2 1 sin2 2 2cos1 cos2 sin21 2 1 sin 22 2 2cos1 2 1 cos2 2 1 方法三方法三 从 幂 入手 利用降幂公式先降次 原式 2 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 2 1 cos2 cos2 4 1 1 cos2 cos2 cos2 cos2 4 1 1 cos2 cos2 cos2 cos2 2 1 cos2 cos2 2 1 方法四方法四 从 形 入手 利用配方法 先对二次项配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos 2 1 cos2 cos2 用心 爱心 专心 cos2 2 1 sin2 sin2 2 1 cos2 cos2 cos2 2 1 cos 2 2 cos2 2 1 2cos2 1 2 1 变式训练变式训练 4 4 化简 1 2sin x 4 6cos x 4 2 4 sin 4 tan2 1cos2 2 2 解解 1 原式 22 xx 4 cos 2 3 4 sin 2 1 22 xx 4 cos 6 cos 4 sin 6 sin 22cos x 46 22cos x 12 2 原式 2 2 cos1 tan1 tan1 2cos 2sin1 2sin1 2cos 2cos 1 1 三角函数式的化简 求值 证明等是三角变形常见的题型 三角函数式变形的过程就是 分析矛盾 发现差异 进而消除差异的过程 在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角 函数名称及运算式子的差异 找出特征 从中找到解题的突破口 对于角与角之间的关系 要充分应用角的恒等变换 以整体角来处理和解决有关问题 这样可以避免一些较复杂的计 算 如 2 等 2 在应用过程中要能灵活运用公式 并注意总结公式的应用经验 对一些公式不仅会正用 还要会逆用 变形用 如正切的和角公式的变形用 正 余弦的和 差角公式的逆用 另外 还要能对形如 sinx 3cosx sinx cosx 的三角函数式要创造条件使用公式 第第 4 4 课时课时 二倍角的正弦 余弦 正切二倍角的正弦 余弦 正切 1 1 基本公式 sin2 cos2 tan2 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 2 2 公式的变用 1 cos2 1 cos2 例例 1 1 求值 140cos40cos2 40cos21 40sin 2 解 原式 80cos40cos 80sin40sin 2060cos 2060cos 2060sin 2060sin 3 变式训练变式训练 1 1 12 sin 12 cos cos 12 sin 12 A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 解 D 例例 2 2 已知 为锐角 且 2 1 tan 求 2cos2sin sincos2sin 的值 解 解 为锐角 2cos2sin sincos2sin 2coscossin2 1cos2 sin 2 cos 1 2 tan1 4 5 变式训练变式训练 2 2 化简 4 sin 4 tan 2 1cos2 2 2 解 解 原式 4 cos 4 cos 4 sin 2 2cos 2 1 例例 3 3 已知xxxxfcossinsin3 2 1 求 6 25 f的值 2 设 2 3 4 1 2 0 f 求 sin 的值 解 解 1 2 3 6 25 cos 2 1 6 25 sin 0 6 25 cos 6 25 sin 6 25 cos3 6 25 2 f 2 xxxf2sin 2 1 2 3 2cos 2 3 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 2 3 4 1 2 3 sin 2 1 cos 2 3 2 a f 16sin22 4sin 11 0 解得 8 531 sin 0sin 0 2 故 8 531 sin 变式训练变式训练 3 3 已知 sin 6 3 1 求 cos 2 3 2 的值 解 解 cos 3 2 2 2cos2 3 1 2sin2 6 1 9 7 例例 4 4 已知 sin2 2 sin2 cos cos2 1 0 2 求 sin tan 的值 解 解 由已知得 sin22 sin2 cos 2cos2 0 即 sin2 2cos sin2 cos 0 cos2 1 sin 2sin 1 0 0 2 cos 0 sin 1 2sin 1 sin 2 1 tan 3 3 变式训练变式训练 4 4 已知 r 是公比为 2 的等比数列 2 0 且 sin sin sinr 也 成等比数列 求 r 的值 解 解 r 成公比为 2 的等比数列 2 r 4 sin sin sinr 成等比数列 12cos2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2 r 即01cos2cos2 2 解得 cos 1 或 2 1 cos 当 cos 1 时 sin 0 与等比数列首项不为零矛盾故 cos 1 舍去 当 2 1 cos 时 2 0 2 3 2 2 或 3 2 2 3 8 3 4 3 2 r或 3 16 3 8 3 4 r 1 二倍角公式是和角公式的特殊情况 在学习时要注意它们之间的联系 2 要理解二倍角的相对性 能根据公式的特点进行灵活应用 正用 逆用 变形用 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 3 对三角函数式的变形有以下常用的方法 降次 常用降次公式 消元 化同名或同角的三角函数 消去常数 1 或用 1 替换 角的范围的确定 第第 5 5 课时课时 三角函数的化简和求值三角函数的化简和求值 1 1 三角函数式的化简的一般要求 函数名称尽可能少 项数尽可能少 尽可能不含根式 次数尽可能低 尽可能求出值 2 2 常用的基本变换方法有 异角化同角 异名化同名 异次化同次 3 3 求值问题的基本类型及方法 给角求值 一般所给的角都是非特殊角 解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间 的关系 通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解 给值求值 即给出某些角的三角函数 式 的值 求另外的一些角的三角函数值 解 题关键在于 变角 使其角相同 给值求角 关键也是 变角 把所求的角用含已知角的式子表示 由所求得的函数值 结合该函数的单调区间求得角 4 4 反三角函数 arcsin arccos arctan 分别表示 2 2 0 2 2 的 角 例例 1 1 1 化简 40cos170sin 10tan31 50sin40cos 2 化简 xx xx 44 66 cossin1 cossin1 解 解 10cos 10sin310cos 10tan31 10cos 50cos2 10cos 1060cos 2 原式 20cos2 20cos2 20cos2 140cos 20cos270sin 10cos 50cos50sin2 40cos 2 2 2 2 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 变式训练变式训练 1 1 已知 x x xf 1 1 若 2 则 cos f cos f可化简为 解 解 sin 2 例例 2 2 已知0cos2cossinsin6 22 2 求sin 2 3 的值 解法一 解法一 由已知得 3sin 2cos 2sin cos 0 3sin 2cos 0 或 2sin cos 由已知条件可知 cos 0 2 即 2 tan 3 2 sin 2 3 sin2 cos 3 cos2 sin 3 sin cos 2 3 cos2 sin2 22 22 22 sincos sincos 2 3 sincos cossin 2 2 2 tan1 tan1 2 3 tan1 tan 26 35 13 6 解法二 解法二 由已知条件可知 cos 0 则 2 从而条件可化为 6 tan2 tan 2 0 2 解得 tan 3 2 下同解法一 变式训练变式训练 2 2 在 ABC 中 2 2 cossin AA 2 AC 3 AB 求tanA 的值和 ABC 的面积 解 解 sinA cosA 2 2 2sinAcosA 2 1 从而 cosA 0 A 2 sinA cosA AAAAcossin4 cos sin 2 2 6 据 可得 sinA 4 26 cosA 4 26 tanA 2 3 用心 爱心 专心 S ABC 4 26 3 例例 3 3 已知 tan 2 1 tan 7 1 且 0 求 2 的值 解 解 由 tan 7 1 0 得 2 由 tan tan 3 1 0 得 0 2 0 2 由 tan2 4 3 0 知 0 2 2 tan 2 tan2tan1 tan2tan 1 由 知 2 0 2 4 3 或利用 2 2 求解 变式训练变式训练 3 3 已知 为第二象限角 且 sin 4 15 求 12cos2sin 4 sin 的值 解 解 由 sin 4 15 为第二象限角 cos 4 1 cos sincos2 4 sin 12cos2sin 4 sin cos22 1 2 例例 4 4 已知 3 10 cottan 4 3 1 求 tan 的值 2 求 2 sin 2 8 2 cos11 2 cos 2 sin8 2 sin5 22 的值 解 解 1 1 由 3 10 cottan 得03tan102tan3 2 解得 tan 3 或 3 1 tan 用心 爱心 专心 又 4 3 所以 3 1 tan 为所求 2 原式 cos2 8 2 cos1 11sin4 2 cos1 5 cos22 16cos1111sin8cos55 6 25 22 6tan8 cos22 cos66sin8 变式训练变式训练 4 4 已知k tan1 2sinsin2 2 4 0 的图象 令 x x 转化为 y sinx 作图象用五点法 通过列表 描点后作图象 函数 y Asin x 的图象与函数 y sinx 的图象关系 振幅变换 y Asinx A 0 A 1 的图象 可以看做是 y sinx 的图象上所有点的纵坐标都 A 1 或 0 A0 1 的图象 可以看做是把 y sinx 的图象上各点的横坐标 1 或 0 0 的周期为 相位变换 y sin x 0 的图象 可以看做是把 y sinx 的图象上各点向 0 或向 0 或向右 0 或向右 0 0 若 A 3 2 1 3 作出函数在一个周期内的简图 若 y 表示一个振动量 其振动频率是 2 当 x 24 时 相位是 3 求 和 解 解 1 y 3sin 32 x 列表 略 图象如下 32 x 02 2 3 2 x3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 y030 3 0 2 依题意有 324 2 2 f 6 4 变式训练变式训练 1 1 已知函数 y 2sin 3 2 x 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图象 3 说明 y 2sin 3 2 x的图象可由 y sinx 的图象经过怎样的变换而得到 解解 1 y 2sin 3 2 x的振幅 A 2 周期 T 2 2 初相 3 2 令 X 2x 3 则 y 2sin 3 2 x 2sinX 列表 并描点画出图象 x 6 12 3 12 7 6 5 y sinx 相位 变换 周期 变换 振幅 变换 y sinx 周期 变换 相位 变换 振幅 变换 3 2 1 1 2 3 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y 0 用心 爱心 专心 X0 2 2 3 2 y sinX010 10 y 2sin 2x 3 020 20 3 方法一方法一 把 y sinx 的图象上所有的点向左平移 3 个单位 得到 y sin 3 x的图象 再把 y sin 3 x的图象上的点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 y sin 3 2 x的图象 最后把 y sin 3 2 x上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 即可得到 y 2sin 3 2 x的图象 方法二方法二 将 y sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 y sin2x 的图象 再将 y sin2x 的图象向左平移 6 个单位 得到 y sin2 6 x sin 3 2 x的图象 再将 y sin 3 2 x的图象上每一点的横坐标保持不 变 纵坐标伸长为原来的 2 倍 得到 y 2sin 3 2 x的图象 例例 2 2 已知函数 y 3sin 42 1 x 1 用五点法作出函数的图象 2 说明此图象是由 y sinx 的图象经过怎么样的变化得到的 3 求此函数的振幅 周期和初相 4 求此函数图象的对称轴方程 对称中心 解解 1 列表 x 2 2 3 2 5 2 7 2 9 用心 爱心 专心 42 1 x 0 2 2 3 2 3sin 42 1 x 030 30 描点 连线 如图所示 2 方法一方法一 先平移 后伸缩 先把 y sinx 的图象上所有点向右平移 4 个单位 得到 y sin 4 x的图象 再把 y sin 4 x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y sin 42 1 x的图象 最后将 y sin 42 1 x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 横 坐标不变 就得到 y 3sin 42 1 x的图象 方法二方法二 先伸缩 后平移 先把 y sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y sin 2 1 x 的图 象 再把 y sin 2 1 x 图象上所有的点向右平移 2 个单位 得到 y sin 2 1 x 2 sin 42 x 的图象 最后将 y sin 42 x 的图象上所有点的纵坐标伸长 到原来的 3 倍 横坐标不变 就得到 y 3sin 42 1 x的图象 3 周期 T 2 2 1 2 4 振幅 A 3 初相是 4 4 令 42 1 x 2 k k Z Z 得 x 2k 2 3 k Z Z 此为对称轴方程 令 2 1 x 4 k k Z Z 得 x 2 2k k Z Z 对称中心为 0 2 2 k k Z Z 变式训练变式训练 2 2 已知函数 2 3 cossin3 2 xxxcoxxf RxR 的最小正周期为 且图象 关于 6 x对称 1 求 f x 的解析式 2 若函数 y 1 f x 的图象与直线 y a 在 2 0 上中有一个交点 求实数 a 的范围 解 解 1 2 3 2 2cos1 2sin 2 3 wx wxxf 用心 爱心 专心 12cos 2 1 2sin 2 3 wxwx 1 6 2sin wx w R 1 2 2 w w T 当 w 1 时 1 6 2sin xxf 此时 6 x不是它的对称轴 w 1 6 2sin 11 6 2sin xxxf 2 6 2sin 1 xxfy 6 7 6 2 62 0 xx 如图 直线 y a 在 2 0 上与 y 1 f x 图象只有一个交点 2 1 2 1 a或 a 1 例例 3 3 如图为 y Asin x 的图象的一段 求其解析式 解解 方法一方法一 以 N 为第一个零点 则 A 3 T 2 36 5 2 此时解析式为 y 3sin 2x 点 N 0 6 6 2 0 3 所求解析式为 y 3sin 3 2 x 方法二方法二 由图象知 A 3 以 M 0 3 为第一个零点 P 0 6 5 为第二个零点 列方程组 6 5 0 3 解之得 3 2 2 0 2 1 2 1 y x 6 6 7 用心 爱心 专心 所求解析式为 y 3sin 3 2 2 x 变式训练变式训练 3 3 函数 y Asin x 0 2 x R R 的部分图象如图 则函数表达式 为 A y 4sin 48 x B y 4sin 48 x C y 4sin 48 x D y 4sin 48 x 答案答案 B 例例 4 4 设关于 x 的方程 cos2x 3sin2x k 1 在 0 2 内有两不同根 求 的值及 k 的取值范围 解 解 由 cos2x 3sin2x k 1 得 2sin 2x 6 k 1 即 sin 2x 6 2 1 k 设 c y sin 2x 6 l y 2 1 k 在同一坐标系中作出它们的图象 略 由图易知当 2 1 2 1 k 1 时 即 0 k 1 时 直线 l 与曲线 c 有两个交点 且两交点的横坐标为 从图象中还可以看出 关 于 x 6 对称 故 3 变式训练变式训练 4 4 已知函数 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于 点 M 4 3 0 对称 且在区间 0 2 上是单调函数 求 和 的值 解 解 由 f x 是偶函数 得 f x f x 即 sin x sin x cos sin x cos sin x 对任意 x 都成立 且 0 cos 0 依题意设 0 2 由 f x 的图象关于点 M 对称 得 f 4 3 x f 4 3 x 取 x 0 得 f 4 3 f 4 3 f 4 3 0 f 4 3 sin 4 3 2 cos 4 3 0 又 0 得 4 3 2 k 3 2 2k 1 k 0 1 2 用心 爱心 专心 当 k 0 时 3 2 f x sin 23 2 x 在 0 2 上是减函数 当 k 1 时 2 f x sin 2x 2 在 0 2 上是减函数 当 k 2 时 3 10 f x sin x 2 在 0 2 上不是减函数 3 2 或 2 1 图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换 y sinx y sin x y sin x 先周期变换后相位变换 y sinx y sin x y sin x 2 给出图象求解析式 y Asin x B 的难点在于 的确定 本质为待定系数法 基本方法是 五点法 运用 五点 中的一点确定 图像变换法 即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的 通常可由零点或最值点 确定 T 第第 8 8 课时课时 三角函数的性质三角函数的性质 1 1 三角函数的性质 函 数y sinxy cosxy tanx 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性 最大 小 值 基础过关基础过关 小结归纳小结归纳 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 2 2 函数 y sinx 的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为 x a 和 x b 则 T 若相邻两对称点 a 0 和 b 0 则 T 若有一个对称点 a 0 和它相邻的一条对称轴 x b 则 T 注 该结论可以推广到其它任一函数 例例 1 1 化简 f x cos x k 2 3 16 cos x k 2 3 16 23sin 3 2x x R k Z 并求 f x 的值域和最小正周期 解 解 1 f x 2sin ax 3 0 a 1 由于 f x g x 最小正周期相同 得 a 2 m 即 a 2m 又 f 1 2g 1 即 2sin a 3 2tan m 6 把 a 2m 代入得 sin 2m 3 tan m 6 2sin m 6 cos m 6 6 cos 6 sin m m sin m 6 0 或 cos m 6 2 2 当 sin m 6 0 时 m k 6 k z 这与 0 m 1 矛盾 当 cos m 6 2 2 时 m k 12 或 m k 12 5 k z 现由 0 m 1 时得 m 12 故 a b f x 2sin 6 x 3 g x tan 12 x 6 2 由 2k 2 6 x 3 2k 2 得 x 12k 5 12k 1 f x 的单调递增区间为 12k 5 12k 1 k z 变式训练变式训练 1 1 已知函数 12 sin2 6 2sin 3 2 xxxf Rx 1 求函数 f x 的最小正周期 2 求使函数 f x 取得最大值的 x 的集合 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 解 解 1 1 12 2cos 12 2sin3 xxxf 1 12 2cos 2 1 12 2sin 2 3 2 xx 1 3 2sin 21 6 12 2sin2 xx 2 2 T 2 当 f x 取最大值时 sin 2x 3 1 有 2x 3 2k 2 即 x k 12 5 k z 故所求 x 的集合为 zkkxx 12 5 例例 2 2 已知函数 f x x x 2cos1 sin2 求 f x 的定义域 用定义判断 f x 的奇偶性 在 上作出函数 f x 的图象 指出 f x 的最小正周期及单调递增区间 解 解 1 由 1 cos2x 0 得 2cos2x 0 cosx 0 即 x k 2 k z 函数 f x 的定义域为 x x k 2 k z 2 定义域关于原点对称 且对任意的定义域中 x f x 2cos1 sin2 2cos 1 sin 2 xf x x x x f x 为奇函数 3 f x x x x x cos sin cos2 sin2 又 x 且 x 2 2 x f x 22 tan 22 tan xxx xx 或 f x 的图象如右 4 由图知 f x 的最小正周期为 2 x y 0 2 2 用心 爱心 专心 f x 的单调递增区间是 kk2 2 2 2 k z 变式训练变式训练 2 2 求下列函数的定义域 1 y lgsin cosx 2 y xxcossin 解解 1 要使函数有意义 必须使 sin cosx 0 1 cosx 1 0 cosx 1 方法一方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为 x 2 2k x 2 2k k Z Z 方法二方法二 利用单位圆中的余弦线 OM 依题意知 0 OM 1 OM 只能在 x 轴的正半轴上 其定义域为 Zkkxkx 2 2 2 2 2 要使函数有意义 必须使 sinx cosx 0 方法一方法一 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上 y sinx 和 y cosx 的图象 如图所示 在 0 2 内 满足 sinx cosx 的 x 为 4 4 5 再结合正弦 余弦函数的周期是 2 所以定义域为 Zkkxkx 2 4 5 2 4 方法二方法二 利用三角函数线 如图 MN 为正弦线 OM 为余弦线 要使 sinx cosx 即 MN OM 则 4 x 4 5 在 0 2 内 定义域为 Zkkxkx 2 4 5 2 4 方法三方法三 sinx cosx 2sin 4 x 0 将 x 4 视为一个整体 由正弦函数 y sinx 的图象和性质 用心 爱心 专心 可知 2k x 4 2k 解得 2k 4 x 4 5 2k k Z Z 所以定义域为 kkxkxx 2 4 5 4 2 例例 3 3 设函数 10 cos3sin aaxaxxf 10 6 tan mmxxg 已知 f x g x 的最 小正周期相同 且 2 g f 1 1 试确定 f x g x 的解的式 2 求函数 f x 的单调递增区间 解 解 1 当 a 1 时 f x 2cos2 2 x sinx b 1 4 sin 2 bx 递增区间为 2k 4 2 4 3 k k z 2 f x a sinx cosx a b baxa 4 sin 2 而 x 0 x 4 4 5 4 sin x 4 1 2 2 4 2 2 2 32 baa baa 4 21 b a 变式训练变式训练 3 3 已知函数 f x 2 1 log sinx cosx 求它的定义域和值域 求它的单调区间 判断它的奇偶性 判定它的周期性 如果是周期函数 求出它的最小正周期 解 解 1 由题意得 sinx cosx 0 即2sin x 4 从而得 2k 4 x 2k 4 5 函数的定义域为 4 5 2 4 2 kk k z 0 sin x 4 1 0 sinx cosx 2 即 2 1 log sinx cosx 2 1 log2 2 1 故函数 f x 的值域为 2 1 用心 爱心 专心 2 sinx cosx 2sin x 4 在 f x 的定义域上的单调递增区间为 4 5 2 4 3 2 kk k z 单调递减区间为 4 3 2 4 2 kk k z 3 f x 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f x 是非奇非偶函数 4 f x 2 2 1 log sin x 2 cos x 2 2 1 log sinx cosx f x f x 函数的最小正周期 T 2 例例 4 4 已知函数 y acosx b 的最大值为 1 最小值是 3 试确定 xf b sin ax 3 的单 调区间 解 解 1 若 a 0 则 a b 1 a b 3 a 2 b 1 此时 xf sin 2x 3 单调增区间为 k 12 k 12 7 k z 单调减区间为 k 12 5 k 12 k z 2 若 a 0 则 a b 1 a b 3 a 2 b 1 单调增区间为 k 12 k 12 5 k z 单调减区间为 k 12 5 k 12 11 k z 变式训练变式训练 4 4 某港口水的深度 y 米 是时间 t 0 t0 0 的单调区间的确定的基本思想是把 x 看作一个 整体 再利用正弦函数的单调区间解出 x 即为所求 若 0 a R 且 f x 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 6 1 求 的值 2 如果 xf在区间 6 5 3 x 的最小值为3 求 a 的值 解 解 1 f x 2 3 cos x 2 1 sin2 x 2 3 a sin 2 x 3 2 3 a 依题意得 2 6 3 2 解得 2 1 2 由