2011高考数学复习点拨 离散型随机变量及其分布列——知识导学

用心 爱心 专心 20112011 高考数学复习点拨 离散型随机变量及其分布列高考数学复习点拨 离散型随机变量及其分布列 知识导学知识导学 一 课标要求 通过实例 理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念 理解二点分 布 超几何分布 并能进行简单应用 二 要点清点 1 随机变量 在随机试验中 确定了一个对应关系 使得每一个试验结果都用一个确定的 数字表示 在这个对应关系下 数字随着试验结果的变化而变化 这种随着试 验结果的变化而变化的变量称为随机变量 随机变量常用大写字母X Y Z表示或 等表示 说明 1 随机试验中 可能出现的结果都可以用一个数表示 如掷一枚硬 币 正面向上 用数字 1 表示 即X 1 2 这个数在随机试验前是无法预先确定的 在不同的随机试验中 结果可 能有变化 说明随机试验的结果可以用一个变量来表示 如某人射击一次 可 能出现命中 0 环 命中 1 环 命中 10 环等结果 即可能结果用 0 1 2 10 这 11 个数表示 3 所谓随机变量不过是建立起基本事件空间与实数的一个对应关系 如设 随机变量X为骰子掷出的点数 于是X 1 2 3 4 5 6 或者说X的值域 为 1 2 3 4 5 6 4 随机变量是把随机试验的结果映射为实数 函数是把实数映射为实数 与函数概念本质上是相同的 在函数的概念中 函数 f x的自变量是实数x 随机变量的概念中 随机变量X的自变量是随机试验的结果 2 离散型随机变量 对于随机变量所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量 说明 随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的随机变量叫做连续型随 机变量 我们只研究离散型随机变量 3 离散型随机变量的分布列 用心 爱心 专心 一般地 若离散型随机变量X可能取的不同值为 1 x 2 x n x X取每一 个值 i x 1i 2 n 的概率 ii P Xxp 以表格的形式表示如下 X1 x 2 x i x n x P1 p 2 p i p n p 则称上表为离散型随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列 有时为了 表达简单 也用等式 ii P Xxp 1i 2 n表示X的分布列 说明 1 离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映了其所取的一切可能 的值 而且能清楚地看到每一个值的概率的大小 从而反映了随机变量在随机 试验中取值的分布状况 是进一步研究随机试验数量特征的基础 2 一般地 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内 各个值的概率之和 4 离散型随机变量分布列的性质 1 0 i p 1i 2 3 n 2 1 1 n i i p 说明 利用分布列和概率的性质 可以计算能由随机变量表示的事件的概率 5 求离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量X的分布列的步骤 1 确定X的可能取值 i x i 1 2 n 2 求出相应的概率 ii P Xxp 3 列成表格的形式 说明 在求概率 i p时 要用到互斥事件的概率 排列 组合 分类加法计 数原理 分步乘法计数原理等知识和方法 因此对学过的内容要多加复习 在求概率 i p时 要充分运用分布列的性质 一是可减少运算量 二是可验 证所求的分布列是否正确 用心 爱心 专心 6 两点分布 如果随机变量X的分布列为 X01 P 1 pp 称为两点分布 如果随机变量X的分布列为两点分布列 就称X服从两点分 布 而称 1pP X 为成功概率 说明 两点分布的试验结果只有两种可能性 且其概率之和为 1 7 超几何分布 一般地 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品数 则事件 Xk 发生的概率为 kn k MN M n N C C P Xk C k 0 1 2 m 其中 min mM n 且nN MN n M NN 称分布列 X01 m P 00n MN M n N C C C 11n MN M n N C C C mn m MN M n N C C C 为超几何分布 如果随机变量X的分布列为超几何分布列 则称随机变量X服 从超几何分布 说明 1 超几何分布列给出了求解这类问题的方法 可以通过公式直接运 用求解 但不能机械地去记忆公式 要在理解的前提下记忆 2 在超几何分布中 只要知道N M和n 就可以根据公式 求出X取 不同m值时的概率 P Xm 从而列出X的分布列 三 范例剖析 例 1 某座收费站一天经过的中华牌轿车的辆数为 某网站中歌曲 难忘今宵 一天内被点击的次数 一天内的温度 射手对目标进行 射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 用 表示该射手在一次射击中的 得分 上述问题中的 是离散型随机变量的是 A B C D 用心 爱心 专心 分析 中一天内的温度不能把其取值一一列出 是连续型随机变量 而非 离散型随机变量 解析 B 评注 该例主要考查了离散型随机变量的定义 分辨时要紧扣定义 是否能 一一列出 例 2 一袋中装有 6 个同样大小的黑球 编号分别为 1 2 3 4 5 6 现 从中随机取出 3 个球 以 表示取出球的最大号码 求 的分布列 分析 随机取出 3 个球的最大号码 所有可能取值为 3 4 5 6 3 对应事件 取出的 3 个球 编号为 1 2 3 4 对应事件 取出的 3 个球中恰取到 4 号球和 1 2 3 号球中的 2 个 5 对应事件 取出的 3 个球中恰取到 5 号球和 1 2 3 4 号球中的 2 个 6 对应事件 取出的 3 个球中恰取到 6 号球和 1 2 3 4 5 号球中的2 个 解析 随机变量 的取值为 3 4 5 6 从袋中随机地取出 3 个球 包含的 基本事件总数为 3 6 C 事件 3 包含的基本事件总数为 3 3 C 事件 4 包含的基本事件总数为 2 3 C 事件 5 包含的基本事件总数为 2 4 C 事件 6 包含的基本事件总数为 2 5 C 从而有 3 3 3 6 1 3 20 C P C 2 3 3 6 3 4 20 C P C 2 4 3 6 3 5 10 C P C 2 5 3 6 1 6 2 C P C 随机变量 的分布列为 3456 P 1 20 3 20 3 10 1 2 评注 确定随机变量 的分布列的关键是搞清 取每一个值对应的随机事件 进一步利用等可能事件的概率公式和排列组合的知识求出 取每一个值的概率 用心 爱心 专心 从而获得 的分布列 例 3 设随机变量 的分布列为 1 3 k Pa k 1 2 3 n 求 实数a的值 分析 利用离散型随机变量分布列的性质 12 1 n ppp 求值 解析 依题意 有 1 1 3 P a 2 1 2 3 Pa 1 3 n Pna 由 1 2 1PPPn 知 2 111 1 333n a 11 1 33 1 1 1 3 n a 解得 2 3 31 n n a 评注 该例在求a的值时 运用了等比数列的前n项和公式 例 4 从一批含有 13 件正品 2 件次品的产品中 不放回任取 3 件 求取得 次品数为 的分布列 分析 该例是超几何分布 可利用超几何分布的概率公式求解 解析 设随机变量 表示取出次品的个数 则 服从超几何分布 其中 15N 2M 3n 它的可能取值为 0 1 2 相应的概率依次为 03 213 3 15 22 0 35 C C P C 12 213 3 15