2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷II含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷 IIII 含 含 答案 答案 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件AB 互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件AB 相互独立 那么 其中R表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 复数 2 3 1 i i A 34i B 34i C 34i D 34i 2 函数 1ln 1 1 2 x yx 的反函数是 A 21 1 0 x yex B 21 1 0 x yex C 21 1 R x yex D 21 1 R x yex 3 若变量 x y满足约束条件 1 325 x yx xy 则2zxy 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 2 5 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 6 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则 a A 64 B 32 C 16 D 8 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 第第 卷卷 注意事项 3 1 用 0 5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答 2 本卷共 10 小题 共 90 分 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 已知a是第二象限的角 4 tan 2 3 a 则tana 14 若 9 a x x 的展开式中 3 x的系数是84 则a 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M且斜率为3的直线与l相 交于点A 与C的一个交点为B 若AMMB 则p 16 已知球O的半径为 4 圆M与圆N为该球的两个小圆 AB为圆M与圆N的公共 弦 4AB 若3OMON 则两圆圆心的距离MN 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求 AD 18 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和 2 3n n Snn A 求lim n n n a S 证明 12 222 3 12 n n aaa n 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面 角 111 AACB 的大小 20 本小题满分 12 分 如图 由M到N的电路中有 4 个组件 分别标为T1 T2 T3 T4 电流能通过 4 T1 T2 T3的概率都是p 电流能通过T4的概率是 0 9 电流能否通过各组件相互独立 已 知T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求p 求电流能在M与N之间通过的概率 表示T1 T2 T3 T4中能通过电流的组件个数 求 的期望 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C 22 22 100 xy ab ab 相交于B D两点 且 BD的中点为 1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DF BF A 证明 过A B D三点的圆 与x轴相切 22 本小题满分 12 分 设函数 1 x f xe 证明 当x 1时 1 x f x x 设当0 x 时 1 x f x ax 求a的取值范围 5 参考答案 18 解 1 limlim nnn nn nn aSS SS 1 lim 1 n n n S S 1 1 lim n n n S S 1 1 11 limlim 1 33 n nn n Sn Sn 所以 2 lim 3 n n n a S 当1n 时 1 1 2 63 1 a S 当1n 时 12 222 12 n aaa n 1121 222 12 nn SSaSS n 6 19 解法一 连接 1 AB 记 1 AB与 1 AB的交点为 F 因为面 11 AAB B为正方形 故 11 ABAB 且 1 AFFB 又 1 3AEEB 所以 1 FEEB 又 D 为 1 BB的中点 故 DEBF 1 DEAB 作CGAB G 为垂足 由ACBC 知 G 为 AB 中点 又由底面ABC 面 11 AAB B 得CG 面 11 AAB B 连接 DG 则 1 DGAB 故DEDG 由三垂线定理 得 DECD 所以 DE 为异面直线 1 AB与 CD 的公垂线 因为 1 DGAB 故CDG 为异面直线 1 AB与 CD 的夹角 45CDG 设2AB 则 1 2 2 2 2 3ABDGCGAC 作 111 B HAC H 为垂足 因为底面 111 ABC 面 11 AAC C 故 1 B H 面 11 AAC C 又 作 1 HKAC K 为垂足 连接 1 B K 由三垂线定理 得 11 B KAC 因此 1 B KH 为二 面角 111 AACB 的平面角 22 111111 1 11 1 2 2 2 3 ABACAB B H AC 22 1111 3 3 HCBCB H 22 1 2 3 7AC 11 1 2 3 3 7 AAHC HK AC 7 因为 1 B A DC 等于异面直线 1 AB与 CD 的夹角 故 11 cos45B A DCB ADC 即 2 2 2 224 2 c 解得2c 故 1 0 2 AC 又 11 0 2 0 AABB 所以 11 1 2 2 ACACAA 设平面 11 AAC的法向量为 mx y z 则 11 0 0m ACm AA 即220 xyz 且20y 令2x 则 1 0zy 故 2 0 1 m 设平面 11 ABC的法向量为 np q r 则 11 0 0n ACn B A 即220 220pqrpq 令2p 则2 1qr 故 2 2 1 n 所以 1 cos 15 m n m n m n 由于 m n等于二面角 111 AACB 的平面角 8 所以二面角 111 AACB 的大小为 15 arccos 15 由于电流能通过各元件的概率都是 0 9 且电流能否通过各元件相互独立 故 4 0 9 B 4 0 93 6E 21 解 由题设知 l的方程为 2yx 代入 C 的方程 并化简 得 2222222 440baxa xaa b 设 11 B x y 22 D xy 则 2222 1212 2222 44 aaa b xxxx baba 由 1 3 M为 BD 的中点知 12 1 2 xx 故 2 22 14 1 2 a ba 即 22 3ba 故 22 2caba 所以 C 的离心率2 c e a 9 由 知 C 的方程为 222 33xya 2 1212 43 0 2 0 2 0 2 a A aFaxxx x 故不妨设 12 xa xa 22222 11111 2 2 332BFxayxaxaax 22222 22222 2 2 332FDxayxaxaxa 12 2 2 BFFDaxxa 2 1212 42 x xa xxa 2 548aa 又17BFFD 故 2 54817aa 解得1 a 或 9 5 a 舍去 故 2 121212 22 46BDxxxxx x 连接 M