2012年中考数学一轮复习精品讲义 相似 人教新课标版

用心 爱心 专心1 第二十七章第二十七章 相似相似 本章小结 小结 1 本章概述 本章内容是对三角形知识的进一步认识 是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形 在全等三角形的 基础上 总结出相似三角形的判定方法和性质 使学过的知识得到巩固和提高 在学习过程中 通过大量的实 践活动来探索三角形相似的条件 并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题 在研究相似三 角形的基础上学习位似图形 知道位似变换是特殊的相似变换 小结 2 本章学习重难点 本章重点 通过具体实例认识图形的相似 探索相似图形的性质 掌握相似多边形的对应角相等 对 应边成比例 面积的比等于相似比的平方 了解两个三角形相似的概念 探索两个三角形相似的条件 本章难点 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似 利用图形的相似解决一些实际问题 学习本章应注意的问题 通过生活中的实例认识物体和图形的相似 探索并认识相似图形的特征 掌握相似多边形的对应角相等 对应边成比例以及面积的比与相似比的关系 能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题 了解图形的 位似 能利用位似将一个图形放大或缩小 会建立坐标系描述点的位置 并能表示出点的坐标 小结 3 中考透视 图形的相似在中考中主要考查 1 了解比例的基本性质 了解线段的比及成比例线段 2 认识相似图形 了解相似多边形的对应角相等 对应边成比例 面积比等于相似比的平方 3 了解两个三角形相似的概念 掌 握两个三角形相似的条件 能利用图形的相似解决一些实际问题 4 了解图形的位似 能利用位似将一个图形 放大或缩小 相似是平面几何中重要的内容 在近几年的中考中题量有所增加 分值有所增大 且题型新颖 如阅读题 开放题 探究题等 由于相似图形应用广泛 且与三角形 平行四边形联系紧密 估计在今后中考的填空题 选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查 并在解答题中加大知识的横向与纵向联系 具 体考查的知识点有相似三角形的判定 相似三角形的性质 相似三角形的实际应用 图形的放大与缩小等 知识网络结构图 专题总结及应用 一 知识性专题 专题 1 比例线段 专题解读 解决有关比例线段的问题时 常常利用三角形相似来求解 例 1 如图 27 96 所示 A B D E四点在 O上 AE BD的延长线相交于点 C AE 8 OC 12 EDC BAO 用心 爱心 专心2 1 求证 CDCE ACCB 2 计算CD CB的值 并指出CB的取值范围 分析 利用 CDE CAB 可证明 CDCE ACCB 证明 1 EDC BAO C C CDE CAB CDCE ACCB 解 2 AE 8 OC 12 AC 12 4 16 CE 12 4 8 又 CDCE ACCB CD CB AC CE 16 8 128 连接OB 在 OBC中 OB 1 2 AE 4 OC 12 8 BC 16 解题策略 将证 CDCE ACCB 转化为证明 CDE CAB 专题 2 乘积式或比例式的证明 专题解读 证明形如 2 2 ac bd 3 3 ac bd 或 abc def 1 的式子 常将其转化为若干个比例式之积来解决 如 要证 2 2 ac bd 可设法证 ac bx ax bd 然后将两式相乘即可 这里寻找线段x便是证题的关键 例 2 如图 27 97 所示 在等腰三角形ABC中 过A作AD BC 过C作CE AB 又作DF CE FG AD 求证 2 3 FGBD AGAD 分析 欲证 2 3 FGBD AGAD 可将其分成三个比例式 BDFG ADx BDy ADAG BDx ADy 再将三式相乘即 可 不难得知x就是CD 而线段y在原图中没有 由相似关系可延长FG交AB于K 则y就是GK 只要证明 BDGD ADGK 就可以了 证明 延长FG交AB于K 连接DK DF EC BE EC DF BE AB AC AD BC BD DC EF CF FG BC 1 2 Rt FDC Rt EKF KF DC 3 4 四边形 KFCD是平行四边形 2 5 EKD 3 5 4 2 90 DK AB 用心 爱心 专心3 DF AB BAD FDG Rt ADB Rt DGF BDFG ADGD GK BD AKG ABD BDKG ADAG 在 ABD中 ADB 90 DK AB ADB AKD 又 AKD KGD ADB KGD BDCD ADKG 由 得 3 3 BDFG ADAG 例 3 如图 27 98 所示 在 ABC中 已知 A B C 1 2 4 求证 111 ABACBC 分析 原式等价于 BCBC ABAC 1 也就是 BCACBC ABAC 在CA上取一点D 使 CD BC 原式就变成 BCAD ABAC 要证明这个比例式 需要构造相似三角形 为此作 ACB的平分线CE 交AB 于点E 连接DE 显然有 BCE DCE 从而易证AD DE CE 于是只需证 BCCE ABAC 即可 证明 A B C 1 2 4 设 A x 则 B 2x C 4x 作CE平分 BCA 交AB于E 在AC边上取一点D 使CD CB 连接DE DCE BCE CDE B 2x DEC BEC 3x 又 CDE A DEA DEA x AD DE 又 DE EC AD CE 在 ABC和 ACE中 CAB CAE ACE B 2x ABC ACE BCCE ABAC 即 BCADACCDACBC ABACACAC BCACBC ABACAC BCBC ABAC 1 即 111 ABACBC 二 规律方法专题 专题 3 相似三角形的性质 专题解读 相似三角形是初中数学重要的内容之一 其应用广泛 可以证明线段相等 平行 垂直 也可以计算图形的面积及线段的比值等 解题的关键是识别 或构造 相似三角形的基本图形 例 4 如图 27 99 所不 在 ABC中 看DE BC 1 2 AD BD DE 4 cm 则BC的长为 用心 爱心 专心4 A 8 cm B 12 cm C 11 cm D 10 cm 分析 由DE BC 可得 ADE ABC DEAD BCAB 因为 1 2 AD BD 所以 1 3 AD AB 所以 1 3 DE BC 因为DE 4 cm 所以BC 12 cm 故选 B 例 5 如图 27 100 所示 在 ABC中 AB BC 12 cm ABC 80 BD是 ABC的平分线 DE BC 1 求 EDB的度数 2 求DE的长 分析 1 由DE BC 得 EDB DBC 1 2 ABC 可求 EDB 2 由DE BC 得 ADE ACB 则 DEAE BCAB 再证出BE DE 可求DE 解 1 DE BC EDB DBC BD平分 ABC DBC 1 2 ABC 1 2 80 40 EDB 40 2 BD平分 ABC ABD DBC DE BC EDB DBC EDB EBD BE DE DE BC ADE ACB DEAEABBEABDE BCABABAB 12 1212 DEDE DE 6 cm 解题策略 将比例式中的AE转化为AB DE 逐步由未知转化为已知 建立关于DE的关系式来求解 例 6 如图 27 101 所示 点D E在BC上 且FD AB FE AC 求证 ABC FDE 分析 由已知可证 FDE B FED C 从而可证 ABC FDE 证明 FD AB FE AC FDE B FED C ABC FDE 例 7 08 无锡 如图 27 102 所示 已知点正是矩形ABCD的边CD上一点 BF AE于点F 求证 ABF EAD 分析 由矩形的性质可知 BAD D 90 再由BF AE可证 AFB D和 DAE FBA 从而证明 ABF EAD 证明 在矩形ABCD中 BAD D 90 BF AE AFB D 90 ABF BAE 90 用心 爱心 专心5 又 DAE BAE BAD 90 ABF EAD ABF EAD 三 思想方法专题 专题 4 分类讨论思想 专题解读 分类讨论思想是一种重要的数学思想 我们在研究问题的解法时 应把可能出现的各种情况都加以考虑 这样才能全面 严谨地思考问题 例 8 在 ABC中 AB BC AC D是AC的中点 过点D作直线l 使截得的三 角形与原三角形相似 这样的直线l有 条 分析 如图 27 103 所示 过点D作AB的平行线 或过点D作DF BC 或作 CDH B 或作 ADG B 故填 4 专题 5 建模思想 专题解读 本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形 然后根据相似的性质解决问题 例 9 如图 27 104 所示 小明想用皮尺测量池塘A B间的距离 但现有皮尺无法直接 测量池塘A B间的距离 学习有关的数学知识后 他想出了一个主意 先在地面上取一个可 以直接到达A B两点的点O 连接OA OB 分别在OA OB上取中点C D 连接CD 并测得 CD a 由此他知道A B间的距离是 A 1 2 a B 2a C a D 3a 分析 D C分别为OB OA的中点 CD是 ABO的中位线 CD 1 2 AB AB 2CD 2a 故选 D 解题策略 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决 例 10 如图 27 105 所示 九年级 1 班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度 已知标杆高度CD 3 m 标杆与旗杆的水平距离BD 15 m 人的眼睛与地面的高度 EF 1 6 m 人与标杆CD的水平距离DF 2 m 求旗杆AB的高度 分析 利用相似三角形得比例式 构建线段关系求线段长 解 因为CD FB AB FB 所以CD AB 所以 CGE AHE 所以 CGEG AHEH 即 CDEFFD AHFDBD 所以 3 1 62 215AH 解得AH 11 9 所以AB AH HB AH EF 11 9 1 6 13 5 m 故旗杆AB的高度为 13 5 m 专题 6 转化思想 专题解读 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题 例 11 如图 27 106 所示 已知E为ABCD的边CD延长线上的一点 连接BE交AC于O 交AD于F 求 证BO2 OF OE 用心 爱心 专心6 分析 要证BO2 OF OE 只需证 OFOB OBOE 而OB OE OF在一条直线上 因此不能通过三角形相似证得 于是想到要用中间比 而由已知可证 AOF COB和 AOB COE 即有 OFAO OBOC OBAO OEOC 从而得证 证明 在ABCD中 AB CE AD BC AOF COB AOB COE AOOF OCOB AOOB OCOE OFOB OBOE OB2 OF OE 例 12 在 ABC和 DEF中 AB 2DE AC 2DF A D 如果 ABC的周长是 16 面积是 12 那么 DEF的周长 面积依次为 A 8 3 B 8 6 C 4 3 D 4 6 分析 由AB 2DE AC 2DF A D 得 ABC DEF 且相似比为 2 则 4 1 ABC DEF S S 所以S DEF 12 4 3 DEF的周长为 16 2 8 故选 A 例 13 已知 ABC与 DEF相似且面积比为 4 25 则 ABC与 DEF的相似比为 分析 利用相似三角形的性质求解 故填 2 5 例 14 已知 ABC A B C 且S ABC S A B C 1 2 则AB A B 分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方 且S ABC S A B C 1 2 得AB A B 1 2 故 填 1 2 2011 中考真题精选 1 2010 广东 3 3 分 将左下图中的箭头缩小到原来的 2 1 得到的图形是 考点 相似图形 分析 根据相似图形的定义 结合图形 对选项一一分析 排除错误答案 解答 解 图中的箭头要缩小到原来的 2 1 箭头的长 宽都要缩小到原来的 2 1 选项 B 箭头大小不变 选项 C 箭头扩大 选项 D 的长缩小 而宽没变 故选 A 点评 本题主要考查了相似形的定义 联系图形 即图形的形状相同 但大小不一定相同的变换是相似变换 2 2011 台湾省 22 5 分 某校每位学生上 下学期各选择一个社团 下表为该校学生上 下学期各社团 的人数比例 若该校上 下学期的学生人数不变 相较于上学期 下学期各社团的学生人数变化 下列叙述何 者正确 舞蹈社溜冰社魔術社 上學期 345 A B D C 题 3 图 用心 爱心 专心7 下學期 432 A 舞蹈社不变 溜冰社减少B 舞蹈社不变 溜冰社不变 C 舞蹈社增加 溜冰社减少D 舞蹈社增加 溜冰社不变 考点 比例的性质 专题 计算题 分析 若甲 乙 丙 a b c 则甲占全部的 乙占全部的 丙占全部的 解答 解 由表得知上 下学期各社团人数占全部人数的比例如下 舞蹈社溜冰社魔術社 上學期 下學期 舞蹈社增加 溜冰社不变 故选 D 点评 本题考查了比例的性质 两内项之积等于两外项之积 3 2011 台湾省 33 5 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E F 两点分别在 AB DC 上 若 AE 4 EB 6 DF 2 FC 3 且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 相似 则 AD 与 BC 的长度比为何 A 1 2B 2 3 C 2 5D 4 9 考点 相似多边形的性质 分析 根据两个梯形相似 则对应边的比相等 即可求解 解答 解 梯形 AEFD 梯形 EBCF 且 DF FC 2 3 AD EF EF BC 2 3 AD EF BC 4 6 9 AD BC 4 9 故选 D 点评 本题主要考查了相似多边形的性质 正确理解性质是关键 4 2011 贵州毕节 7 3 分 两个相似多边形的面积比是16 9 其中较小多边形周长为 36cm 则较大多边 形周长为 A 48cm B 54cm C 56cm D 64cm 考点 相似多边形的性质 分析 根据相似多边形对应边之比 周长之比等于相似比 而面积之比等于相似比的平方计算即可 解答 解 两个相似多边形的面积比是 9 16 面积比是周长比的平方 则大多边形与小多边形的相似比 是 4 3 相似多边形周长的比等于相似比 因而设大多边形的周长为 x 则有 解得 x 48 大多边形的 用心 爱心 专心8 周长为 48cm 故选 A 点评 本题考查相似多边形的性质 相似多边形对应边之比 周长之比等于相似比 而面积之比等于相似 比的平方 2011 福建莆田 25 14 分 已知菱形ABCD的边长为 1 ADC 60 等边 AEF 两边分别交DC CB于点 E F 1 4 分 特殊发现 如图 1 若点E F分别是DC CB的中点 求证菱形ABCD对角母AC BD的交点O即 为等边 AEF的外心 2 若点E F始终分别在边DC CB上移动 记等边 AEF的外心为点P 4 分 猜想验证 如图 2 猜想 AEF的外心P落在哪一直线上 并加以证明 5 分 拓展运用 如图 3 猜想 AEF 面积最小时 过点P任作一直线分别交边DA于点M 交边DC的延 长线于点N 试判断 11 DMDN 是否为定值 若是 请求出该定值 若不是 请说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的外接 圆与外心 分析 1 首先分别连接OE 0F 由四边形ABCD是菱形 即可得AC BD BD平分 ADC AO DC BC 又由 E F分别为DC CB中点 即可证得0E OF OA 则可得点O即为 AEF的外心 2 首先分别连接PE PA 过点P分别作PI CD于I PJ AD于J 即可求得 IPJ的度数 又由点P是 等边 AEF的外心 易证得 PIE PJA 可得PI PJ 即点 P 在 ADC的平分线上 即点P落在直线DB上 当AE DC时 AEF面积最小 此时点E F分别为DC CB中点 连接 BD AC交于点P 由 1 可得点 P 即为 AEF的外心 由 GBP MDP 即可 为定值 2 解答 1 证明 如图 1 分别连接OE 0F 四边形ABCD是菱形 AC BD BD 平分 ADC AO DC BC COD COB AOD 90 ADO ADC 60 30 又 E F分别为DC CB中点 OE CD OF BC AO AD 0E OF OA A B C D 第 25 题 图 1 O F E 用心 爱心 专心9 点O即为 AEF 的外心 2 猜想 外心P一定落在直线DB上 证明 如图 2 分别连接PE PA 过点P分别作PI CD于 I PJ AD于J PIE PJD 90 ADC 60 IPJ 360 PIE PJD JDI 120 点P是等边 AEF的外心 EPA 120 PE PA IPJ EPA IPE JPA PIE PJA PI PJ 点 P 在 ADC 的平分线上 即点 P 落在直线 DB上 为定值 2 当AE DC时 AEF面积最小 此时点E F分别为DC CB中点 连接BD AC交于点P 由 1 可得点P即为 AEF的外心 如图 3 设MN交BC于点G 设DM x DN y x 0 y O 则CN y 1 BC DA GBP MDP BG DM x CG 1 x BC DA GBP NDM 第 25 题 图 3 B A C D E F M N P 第 25 题 图 2 A BC D E F I J P 用心 爱心 专心10 x y 2xy 2 即 2 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 三角形的外心的判定与性质 以及菱形的性质等知识 此题综合 性很强 图形也比较复杂 解题的关键是方程思想与数形结合思想的应 2011 甘肃兰州 27 12 分 已知 如图所示的一张矩形纸片ABCD AD AB 将纸片折叠一次 使点A与点 C重合 再展开 折痕EF交AD边于点E 交BC边于点F 分别连结AF和CE 1 求证 四边形AFCE是菱形 2 若AE 10cm ABF的面积为 24cm2 求 ABF的周长 3 在线段AC上是否存在一点 P 使得 2AE2 AC AP 若存在 请说明点P的位置 并予以证明 若不存在 请说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 矩形的性质 翻折变换 折叠问 题 分析 1 通过证明 AOE COF 可得四边形AFCE是平行四边形 由折叠的性质 可得AE EC 即可 证明 2 由勾股定理得AB2 FB2 100 ABF的面积为 24cm2可得 AB BF 48 变换成完全平方式 即可解 答 3 过点E作AD的垂线 交AC于点P 通过证明 AOE AEP 即可证明 解答 1 证明 由题意可知OA OC EF AO AD BC AEO CFO EAO FCO AOE COF AE CF 又AE CF 四边形AECF是平行四边形 AC EF 四边形AECF是菱形 2 四边形AECF是菱形 AF AE 10cm 设AB a BF b ABF的面积为 24cm2 a2 b2 100 ab 48 a b 2 196 a b 14 或a b 14 不合题意 舍去 ABF的周长为 14 10 24cm A BC D E F O 用心 爱心 专心11 3 存在 过点 E 作AD的垂线 交AC于点P 点P就是符合条件的点 证明 AEP AOE 90 EAO EAP AOE AEP AE AP AO AE AE2 AO AP 四边形AECF是菱形 AO 1 2 AC AE2 1 2 AC AP 2AE2 AC AP 点评 本题考查了相似和全等三角形的判定和性质 勾股定理及矩形的性质 考查了知识点较多 综合性 较强 考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力 2011 湖南益阳 21 12 分 如图是小红设计的钻石形商标 ABC是边长为 2 的等边三角形 四边形ACDE是 等腰梯形 AC ED EAC 60 AE 1 1 证明 ABE CBD 2 图中存在多对相似三角形 请你找出一对进行证明 并求出其相似比 不添加辅助线 不找全等的相似三 角形 3 小红发现AM MN NC 请证明此结论 4 求线段BD的长 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定理 等腰梯形的 性质 专题 证明题 分析 1 由 ABC是等边三角形 得AB BC BAC BCA 60 由四边形ACDE是等腰梯形 得 AE CD ACD CAE 60 利用 SAS 判定 ABE CBD 2 存在 可利用AB CD或AE BC得出相似三角形 3 由 2 的结论得 AN CN AB CD 2 即CN 1 3 AC 同理 得AM 1 3 AC 可证AM MN NC 4 作DF BC交BC的延长线于F 在 Rt CDF中 由 CDF 30 CD AE 1 可求CF DF 在 Rt BDF中 由勾股定理求BD 解答 1 证明 ABC是等边三角形 AB BC BAC BCA 60 1 分 四边形ACDE是等腰梯形 EAC 60 AE CD ACD CAE 60 BAC CAE 120 BCA ACD 即 BAE BCD 2 分 在 ABE和 BCD中 AB BC BAE BCD AE CD ABE CBD 3 分 用心 爱心 专心12 2 存在 答案不唯一 如 ABN CDN 证明 BAN 60 DCN ANB DNC ANB CND 5 分 其相似比为 AB CD 2 1 2 6 分 3 由 2 得 AN CN AB CD 2 CN 1 2 AN 1 3 AC 8 分 同理AM 1 3 AC AM MN NC 9 分 4 作DF BC交BC的延长线于F BCD 120 DCF 60 1O分 在 Rt CDF中 CDF 30 CF 1 2 CD 1 2 DF 22 CDCF 22 1 1 2 3 2 11 分 在 Rt BDF中 BF BC CF 2 1 2 5 2 DF 3 2 BD 22 BFDF 22 53 22 7 12 分 点评 本题考查了相似三角形 全等三角形的判定与性质 特殊三角形 等腰梯形的性质 勾股定理的运 用 关键是根据等边三角形 等腰梯形的特殊性质得出平行线 构造直角三角形 利用勾股定理解题 2011 江西 25 10 某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨 定义 如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上 那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方 用心 爱心 专心13 形 结论 在探讨过程中 有三位同学得出如下结果 甲同学 在钝角 直角 不等边锐角三角形中分别存在 个 个 个大小不同的内接正方 形 乙同学 在直角三角形中 两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大 丙同学 在不等边锐角三角形中 两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小 任务 1 填充甲同学结论中的数据 2 乙同学的结果正确吗 若不正确 请举出一个反例并通过计算给予说明 若正确 请给出证明 3 请你结合 2 的判定 推测丙同学的结论是否正确 并证明 考点 相似三角形的判定与性质 正方形的性质 分析 1 分别画一下即可得出答案 2 先判断 再举一个例子 例如 在 Rt ABC 中 B 90 AB BC 1 则2AC 3 先判断 再举一个例子 设 ABC 的三条边分别为 a b c 不妨设 a b c 三条边上的对应高分别为 ha hb hc 内接正方形的边长分别为 xa xb xc 解答 解 1 1 2 3 3 分 2 乙同学的结果不正确 4 分 例如 在 Rt ABC 中 B 90 AB BC 1 则2AC 如图 四边形 DEFB 是只有一个顶点在斜边上的内接正方形 设它的边长为 a 则依题意可得 1 11 aa 1 2 a 如图 四边形 DEFH 两个顶点都在斜边上的内接正方形 设它的边长为 b 则依题意可得 2 2 22 2 b b 2 3 b a b 7 分 3 丙同学的结论正确 设 ABC的三条边分别为 a b c不妨设abc 三条边上的对应高分别为 abc h h h 内接正方形的边长分别为 abc xxx 依题意可得 aaa a xhx ah a a a ah x ah 同理 b b b bh x bh 用心 爱心 专心14 2211 2 2 ab ab ababab ba ab ahbhSS xxS ahbhahbhahbh S bhah ahbh 222 ab SSS ba ahbhba 22 1 ab SS ba ahbhab 2 1 a ab hS ba ahbhb 又 a ba hb 10 a h ba b ab xx 即 22 ab xx 在不等边锐角三角形中 两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小 10 分 点评 本题是一道难度较大的题目 考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质 举出例子是解此题的 关键 2011 年江西省 25 10 分 某数学兴趣小组开展了一次活动 过程如下 设 BAC 0 90 小棒依次摆放在两射线之间 并使小棒两端分别落在两射线上 活动一 如图甲所示 从点 A1开始 依次向右摆放小棒 使小棒与小棒在端点处互相垂直 A1A2为第 1 根小棒 数学思考 1 小棒能无限摆下去吗 答 能 填 能 或 不能 2 设 AA1 A1A2 A2A3 1 22 5 度 若记小棒 A2n 1A2n的长度为 an n 为正整数 如 A1A2 a1 A3A4 a2 求出此时 a2 a3的值 并直接写出 an 用含 n 的式子表示 活动二 如图乙所示 从点 A1开始 用等长的小棒依次向右摆放 其中 A1A2为第 1 根小棒 且 A1A2 AA1 数学思考 3 若已经向右摆放了 3 根小棒 则 1 2 2 3 3 4 用含 的式子表示 用心 爱心 专心15 4 若只能摆放 4 根小棒 求 的范围 考点 相似三角形的判定与性质 一元一次不等式组的应用 平行线的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角 形 专题 规律型 分析 1 本题需先根据已知条件 BAC 0 90 小棒两端分别落在两射线上 从而判断出能继 续摆下去 2 本题需先根据已知条件 AA1 A1A2 A2A3 1 A1A2 A2A3 得出 A2A3和 AA3的值 判断出 A1A2 A3A4 A3A4 A5A6 即可求出 A AA2A1 AA4A3 AA6A 从而此时 a2 a3的值和出 an 3 本题需先根据 A1A2 AA1 得出 A1AA2和 AA2A1相等 即可得出 1的值 同样道理得出 2 3的值 4 本题需先根据已知条件 列出不等式组 解出 的取值范围 即可得出正确答案 解答 解 1 根据已知条件 BAC 0 90 小棒两端能分别落在两射线上 小棒能继续摆下去 2 A1A2 A2A3 A1A2 A2A3 A2A1A3 45 AA2A1 45 AA2A1 22 5 AA1 A1A2 A2A3 1 A1A2 A2A3 A2A3 AA3 1 又 A2A3 A3A4 A1A2 A3A4 同理 A3A4 A5A6 A AA2A1 AA4A3 AA6A5 AA3A3A4 AA5 A5A6 a2 A3A4 AA3 1 a3 AA3 A3A5 a2 A3A5 A3A5 a3 A5A6 AA5 a2 2a2 2 21 an 1 21 n 3 A1A2 AA1 A1AA2 AA2A1 用心 爱心 专心16 A2A1A3 1 1 2 同理可得 2 3 3 4 4 由题意得 905 906 15 18 点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质 在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相 结合是本题的关键 综合验收评估测试题 时间 120 分钟 满分 120 分 一 选择题 1 要做甲 乙两个形状相同 相似 的三角形框架 已知三角形框架甲的三边长分别为 50 cm 60 cm 80 cm 三角形框架乙的一边长为 20 cm 那么符合条件的三角形框架乙共有 A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种 2 如图 27 107 所示 在 ABC中 已知 AED B DE 6 AB 10 AE 8 则BC的长为 A 15 4 B 7 C 15 2 D 24 5 3 如图 27 108 所示 在 ABC中 D E分别为AB AC的中点 若 ABC的面积为 12cm2 则 ADE的面积为 A 2 cm2 B 3 cm2 C 4 cm2 D 6 cm2 4 厨房角柜的台面是三角形 如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石 如图 27 109 所示 其 余部分铺上白色大理石 那么黑色大理石与白色大理石的面积比为 A 1 4 B 4 1 C 1 3 D 3 4 5 如图 27 110 所示 D是 ABC的边AB上一点 过D作DE BC交AC于E 若AD DB 2 3 则S ADE S 四边形BCED等于 A 2 3 B 4 9 C 4 5 D 4 21 6 如图 27 111 所示 DE是 ABC的中位线 F是DE的中点 BF的延长线交AC于点H 则AH HE等于 A 1 1 B 2 1 C 1 2 D 3 2 7 ABC的三边长分别为2 6 2 A B C 的两边长分别为 1 和3 如果 ABC A B C 那 么 A B C 的第三边长应为 A 2 B 2 2 C 6 2 D 3 3 用心 爱心 专心17 8 如图 27 112 所示 在 ABC中 DE BC 且S ADE S四边形BDEC 则DE BC等于 A 1 2 B 2 2 C 1 4 D 2 3 9 如图 27 113 所示 在ABCD中 CE是 DCB的平分线 F是AB的中点 AB 6 BC 4 则AE EF FB等 于 A 1 2 3 B 2 1 3 C 3 2 1 D 3 1 2 10 点P是 ABC中AB边上的一点 过点P作直线 不与直线AB重合 截 ABC 使截得的三角形与原三角形相 似 则满足这样条件的直线最多有 A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 5 条 二 填空题 11 如图 27 114 所示 在 ABC中 DE BC交AB于D 交AC于E 若 AD 3 2 DB 2 4 AE 2 8 则AC 12 一根 2 米长的竹竿直立在操场上 影长为 1 6 米 在同一时刻 测得旗杆的影长为 17 6 米 则旗杆高 米 13 若 ABC A B C AC 5 A C 8 则 S ABC S A B C 14 已知两个相似多边形的一组对应边长分别为 3 cm 和 4 cm 如果它们的面积和为 50 cm2 则较大多边形的 面积为 cm2 15 若一个多边形在图上的面积为4 cm2 比例尺为1 1000 则该多边形的实际面积为 m2 16 已知 ABC DEF 相似比为 3 ABC的周长为 54 cm 若 DEF的三边长之比为 2 3 4 则 DEF的最 短边长为 cm 三 解答题 17 如图 27 115 所示 在 ABC中 AB 8 AC 6 点D在AC上 且AD 2 在AB上找一点E 使得 ADE 与原三角形相似 这样的点 E 有几个 求出AE的长 18 如图 27 116 所示 已知在矩形ABCD中 AB 5 AD 20 点M分BC为BM MC 1 2 DE AM于点E 求DE的长 19 如图 27 117 所示 在矩形ABCD中 AB 4 BC 6 M是BC的中点 DE AM 垂足为E 求DE的长 20 如图 27 118 所示 在 ABC中 已知AB AC 8 BC 6 BD AC于D AE BC于E 求CD的长 21 如图 27 119 所示 已知CD是 Rt ABC的斜边AB上的高 若AD 10 BD 5 求CD的长 用心 爱心 专心18 22 如图 27 120 所示 在 ABC中 DE BC 且S ADE S四边形BCED 1 3 求AD DB 23 在 Rt ABC中 CD为斜边上的高 试确定AC是哪两条线段的比例中项 用比例式或等积式写出你的结论 并加以证明 24 如图 27 121 所示 在正方形ABCD中 E是AB上一点 EF CE交AD于F 1 求证 AEF BCE 2 求证 AEAF CDBE 25 如图 27 122 所示 已知 ABC CDB 90 AC a BC b 1 当BD与a b之间满足怎样的关系时 ABC CDB 2 过A作BD的垂线 与DB的延长线交于点E 若 ABC CDB 试判断四边形AEDC是什么四边形 26 如图 27 123 所示 在 ABC中 AB 5 BC 3 AC 4 PQ AB 点P在AC上 点Q在BC上 1 当 PQC 的面积与四边形PABQ的面积相等时 求CP的长 2 当 PQC 的周长与四边形PABQ的周长相等时 求CP的长 3 在AB上是否存在点M 使 PQM为等腰直角三角形 若存在 求出PQ的长 若不存在 请说明理由 参考答案 1 C 提示 由题意知两个三角形相似 三角形乙中 20 cm 的边可以和三角形甲中的三边任何一边是对应边 所 以符合条件的三角形共有 3 种 2 C 提示 A A AED B ADE ACB DEAE BCAB 68 10BC BC 15 2 故选 C 3 B 提示 D E分别为AB AC的中点 DE BC AED ACB 2 ADE ABC SAD SAB 1 124 ADE S S ADE 3 故选 B 用心 爱心 专心19 4 C 提示 由题意得被分割成的 4 个小三角形的面积相等 所以黑色大理石与白色大理石的面积比为 1 3 5 D 提示 DE BC ADE ABC ADE ABC S S 22 24 525 AD AB 4 21 ADE BCED S S 四边形 故选 D 6 B 提示 DE是 ABC的中位线 DE BC HFE HBC 1 4 EFHE BCHC 1 3 HE EC AE EC 1 3 HE AE AH HE 2 1 7 A 提示 26 13 2 设第三边长为x 2 2 x x 2 故选 A 8 B 提示 DE BC ADE ABC S ADE S四边形BDEC 1 2 ADE ABC S S 12 22 DE BC 9 B 提示 CE平分 DCB DCE BCE 又 DC AB DCE CEB CEB B