高中数学公式完整版-1

高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系 自己画图理解 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空的真子 12 n a aa 2n2n2n 集有 2 个 2n 6 二次函数的解析式的三种形式 一次函数的几种解析式也要记住 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 方程在上有且只有一个实根 与不等价 前者是后者的一个必要而不0 xf 21 kk0 21 kfkf 是充分条件 特别地 方程有且只有一个实根在内 等价于 0 0 2 acbxax 21 kk0 21 kfkf 或且 或且 0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 具体如下 1 当 0 时 若 则 a qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 则的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且 则的周期 T 4a 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 30 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 31 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 32 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数 指数幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 记 若的定义域为 则 且 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR0 a 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独检验 0 xfR0 a0 0 a 37 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有 pxy 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 48 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的周期sin yx cos yx 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T 51 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 58 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 59 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60 向量平行的坐标表示 设 a a b b 且 b b0 0 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos 61 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 则 11 x y 22 xy A A b bb b a a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 66 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 且的坐标为 F P x y PP h k 69 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象按向量 a a 平移后得到图象 则的函数解析式为 yf x C h k C C yf xhk 3 图象按向量 a a 平移后得到图象 若的解析式 则的函数解析式为 C h kCC yf x C yf xhk 4 曲线 按向量 a a 平移后得到图象 则的方程为 C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量 m m 按向量 a a 平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 70 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 72 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 73 一元二次不等式 如果与同号 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 则其解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根a 2 axbxc 之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 74 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 75 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 76 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 79 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 81 到的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1到 l2的角是 12 ll 2 82 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中是待 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 定的系数 经过定点的直线系方程为 其中是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系方程为 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 与直线ykxb 平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 0AxByC 0BxAy 是参变量 83 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 84 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若 当与同号时 表示直线 的上方的区域 当与异号时 表示直0B BAxByC lBAxByC 线 的下方的区域 简言之 同号在上 异号在下 l 若 当与同号时 表示直线 的右方的区域 当与异号时 表示直0B AAxByC lAAxByC 线 的左方的区域 简言之 同号在右 异号在左 l 85 或所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 86 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 87 圆系方程 1 过点 的圆系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中是直线的方程 是待定 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc AB 的系数 2 过直线 与圆 的交点的圆系方程是l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 3 过圆 与圆 的交点的圆系方程是 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 是待定的系数 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 88 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 89 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 90 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 91 圆的切线方程 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当圆外时 表示过两个切点的切点弦方程 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时必有两条切线 注意 00 yyk xx 不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 2 已知圆 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 92 椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 93 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 94 椭圆的的内外部 1