【教学设计】《平面直角坐标系中的距离公式》（北师大版）

平面直角坐标系中的距离公式平面直角坐标系中的距离公式 距离问题是本节教材 两直线的位置关系 的最后一个内容 在解决实际生活问题中 以及代数 解析几何 立体几何中都有着重要而广泛的应用 两点间的距离与点到直线的 距离在直线方程中占有重要位置 在使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系同时 同时迈出探究几何学知识的第一步 在 数 和 形 之间建立联系 知识与能力目标 了解平面直角坐标系中两点间的距离和点到直线距离公式的推导过程 理解平面直角 坐标系中两点间的距离公式和和点到直线距离公式 能熟练应用公式解决相关问题 过程与方法目标 通过公式的推导过程 让学生领会 数形结合 的数学思想与方法和从特殊到一般的 认知规律 来源 情感态度价值观目标 让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣 提高学生的数学素养 教材分析教材分析 教学目标教学目标 教学重点 两点间的距离和点到直线距离公式 教学难点 两点间的距离和点到直线距离公式的应用 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 导入部分 在某铁路的附近 有一大型仓库 现要修建一条公路将两者连接起来 那么怎样设计 才能使公路最短 最短路程又是多少呢 从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短 将铁路看作一条直线 l 仓库看作点 P 最短路程 是点 P 到直线 l 的距离 二 研探新知 建构概念 1 电子白板投影出上面实例 2 教师组织学生分组讨论 先让学生分析 师生一起归纳 1 两点间的距离公式 若两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 特别地 原 1 2 2 1 2 2 1 2 点 O 0 0 与任一点 P x y 的距离 2 2 2 点到直线的距离公式 点 P x0 y0 到直线 l Ax By C 0 的距离 0 0 2 2 注意 直线方程应为一般式 若给出其他形式 应先化成一般式再用公式 例如求 P x0 y0 到直线 y kx b 的距离 应先把直线方程化为 kx y b 0 得 0 0 2 1 点 P 在直线 l 上时 点到直线的距离为零 公式仍然适用 故应用公式时不必判定 点 P 与直线 l 的位置关系 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 直线方程 Ax By C 0 中 A 0 或 B 0 时 公式也成立 也可以用下列方法求点 到直线的距离 点 P x0 y0 到 x 轴的距离 d y0 点 P x0 y0 到 y 轴的距 离 d x0 点 P x0 y0 到与 x 轴平行的直线 y a 的距离 d y0 a 点 P x0 y0 到与 y 轴平行的直线 x b 的距离 d x0 b 3 求两条平行直线间的距离 有两种思路 转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离 利用公式求解 但需注意两直线方程都化为一般式 且 x y 的系数对应相等 1 2 2 2 三 质疑答辩 发展思维 1 举例 举例 一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位 它的一个端点是 A 2 1 则它的另一个端 点 B 的坐标是 A 3 1 或 7 1 B 2 3 或 2 7 C 3 1 或 5 1 D 2 3 或 2 5 解析 解析 设 B 点坐标为 x 1 则 AB x 2 5 x 7 或 3 答案 答案 A 2 思考 思考 两点间距离公式的适用范围是什么 解 解 两点间距离公式虽然适用于任意两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 但对于特殊情况 结合 图形求解会更便捷 P1P2平行于 x 轴时 y1 y2 P1P2 x2 x1 P1P2平行于 y 轴 时 x1 x2 P1P2 y2 y1 P1 P2在直线 y kx b 上时 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 例题 例例 1 1 已知 ABC 中 A 2 1 B 3 3 C 2 6 试判断 ABC 的形状 解 解 3 2 2 3 1 2 41 2 2 2 6 1 2 41 又 3 2 2 3 6 2 82 41 2 41 2 82 2 即 AB 2 AC 2 BC 2且 AB AC 因此 ABC 是等腰直角三角形 例例 2 2 用解析法证明 ABCD 为矩形 M 是任一点 求证 AM 2 CM 2 BM 2 DM 2 解析 解析 分别以 AB AD 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 如图 设 M x y B a 0 C a b 则 D 0 b 又 A 0 0 则 AM 2 CM 2 x2 y2 x a 2 y b 2 BM 2 DM 2 x a 2 y2 x2 y b 2 AM 2 CM 2 BM 2 DM 2 例例 3 3 求点 P0 1 2 到下列直线的距离 1 2x y 10 0 2 x 2 3 y 1 0 解析 解析 1 由点到直线的距离公式知 2 1 2 10 22 12 10 5 2 5 2 法一 直线方程化为一般式 x 2 0 由点到直线的距离公式知 1 0 2 2 12 02 3 法二 直线 x 2 与 y 轴平行 由图 知 d 1 2 3 3 法一 由点到直线的距离公式 得 0 1 2 1 02 12 1 法二 直线 y 1 0 与 x 轴平行 由图 知 d 2 1 1 例例 4 4 求两平行线 的距离 1 l0832 yx 2 l01032 yx 解法一 解法一 在直线上取一点 因为 所以点到的距离等于 1 l 0 4 P 1 l 2 lP 2 l 与的距离 于是 1 l 2 l13 13 2 13 2 32 100342 22 d 解法二 解法二 又 1 l 2 l10 8 21 CC 由两平行线间的距离公式得 13 32 32 10 8 22 d 4 巩固练习 1 在直线 l 3x y 1 0 上求一点 P 使点 P 到两点 A 1 1 B 2 0 的距离相等 解析 设 P 点坐标为 x y 由点 P 在 l 上和点 P 到 A B 两点距离相等建立方程组 解得 所以 P 点坐标为 0 1 3 1 0 1 2 1 2 2 2 2 0 1 2 用解析法证明 等腰梯形的对角线相等 解析 已知等腰梯形 ABCD AB DC AD BC 求证 AC BD 证明 以 AB 所在直线为 x 轴 以 AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 设 A a 0 D b c 由等腰梯形的性质知 B a 0 C b c 则 AC 2 0 2 2 2 BD AC BD 2 0 2 2 2 即等腰梯形的对角线相等 3 直线 l 经过点 P 2 5 且与点 A 3 2 和点 B 1 6 的距离之比为 1 2 求直线 l 的方程 解析 由题意知 直线 l 的斜率存在 设斜率为 k 点 A B 到直线 l 的距离分别为 d1 d2 直线 l 过点 P 2 5 直线 l 的方程为 y 5 k x 2 即 kx y 2k 5 0 点 A 到直线 l 的距离为 1 3 2 2 5 2 1 3 1 2 点 B 到直线 l 的距离为 2 1 6 2 5 2 1 3 11 1 2 又 d1 d2 1 2 3 3 11 1 2 化简得 k2 18k 17 0 解得 k 1 或 k 17 所求直线 l 的方程为 x y 3 0 或 17x y 29 0 4 求两条平行直线 3x 4y 0 与 3x 4y 5 0 间的距离 解析 由两平行线间的距离