【教学设计】《解三角形的实际应用举例 》（北师大）

解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例 本节主要是正弦定理 余弦定理的进一步应用 利用正弦定理 余弦定理解决高度 距离 角度以及三角形的综合应用 通过运用正弦定 余弦定理解决工业 农业等方面的实际问题 使学生进一步体会数 学在实际问题中的应用 激发学生学习数学的兴趣 培养学生由实际问题抽象出数学问题 并加以解决的能力 知识与能力目标 通过回顾正弦定理 余弦定理的表达式及文字语言的叙述 进一步熟悉正 余弦定理 的内容 作用及所解三角形的类型 能够联系勾股定理 三角形面积定理及三角形内角和 公式等有关三角形问题灵活地解三角形 过程与方法目标 善于利用分类讨论的思想 先易后难 逐层推进的思想解决一些繁 难三角形问题 把对学生的思维训练贯穿整节课的始终 教材分析教材分析 教学目标教学目标 情感态度价值观目标 通过本节课的探究 培养学生勇于探索 勇于创新 善于分析以及具体问题具体分析 的科学精神和良好的学习习惯 并对正弦定理 余弦定理的反射美产生愉悦感 从而激发 学生热爱数学 热爱科学的追求精神 教学重点 灵活选用正弦定理 余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算 教学难点 利用正 余弦定理进行边角互化及正弦 余弦定理与三角形有关性质的综合应用 电子课件调整 相应的教具带好 熟悉学生名单 电子白板要调试好 一 一 新课导入新课导入 1 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 2 余弦定理 cos2 222 Abccba bc acb A 2 cos 222 cos2 222 Bcaacb ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 二 研探新知 建构概念二 研探新知 建构概念 1 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意 正确做出图形 把实际问题里 的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通过建立数学模型来求解 2 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语 1 方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2 仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在 水平线上方时叫仰角 目标视线在水平线下方时叫俯角 如下图所示 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 三 三 质疑答辩 发展思维质疑答辩 发展思维 例 1 如图 自动卸货汽车采用液压机构 设计时需要计算 油泵顶杆 BC 的长度 如图 已知车厢的最大仰角为 60 油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1 95m AB 与水平 线之间的夹角为 AC 长为 1 40m 计算 BC 的长 保 0 6 20 留三个有效数字 分析分析 这个问题就是在中 已知 AB 1 95m AC 1 4m ABC 求 BC 的长 由于已知的两边和它们的夹角 所以可 根据余弦定理求出BC 解解 由余弦定理 得 答答 顶杠 BC 长约为 1 89m 解斜三角形理论应用于实际问题应注意 解斜三角形理论应用于实际问题应注意 1 认真分析题意 弄清已知元素和未知元素 2 要明确题目中一些名词 术语的意义 如视角 仰角 俯角 方位角等等 3 动手画出示意图 利用几何图形的性质 将已知和未知集中到一个三角形 中解决 来源 Zx 变式训练变式训练 1 1 如图 一艘船以 32 海里 时的速度向正北航行 在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 30 分钟后航行到 B 处 在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 0 20 方向上 求灯塔 S 和 B 处的距离 保留到 0 1 0 65 2066 20660 BAC AACABACABBCcos2 222 89 1 571 3 2066cos40 1 95 1 240 1 95 1 22 mBC D C B A 1 40m 1 95m 6020 600 S B A 1150 450 650 200 解 16 AB 由正弦定理知 00 20sin45sin BSAB 海里7 7 45sin 20sin10 0 0 BS 答 灯塔 S 和 B 处的距离约为海里7 7 例 2 如图 要测底部不能到达的烟囱的高 AB 从 与烟囱底部在同一水平直线上的 C D 两处 测得烟 囱的仰角分别是和 间的距 0 45 0 60 离是 12m 已知测角仪器高 1 5m 求烟囱的高 分析 因为 又BAAAAB 11 mAA5 1 1 所以只要求出即可BA1 解 在中 11D BC 000 11 12060180 CBD 000 11 154560 BDC 由正弦定理得 11 1 11 11 sinsinCBD BC BDC DC m BDC CBDDC BC 66218 15sin 120sin12 sin sin 0 0 11 1111 1 从而 mBCBA392 283618 2 2 11 因此 mAABAAB89 29892 295 1392 28 11 答 烟囱的高约为m89 29 变式训练变式训练 2 2 在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角 BA 0 60 在塔底处测得点的俯角 已知铁塔部分高米 CA 0 45 BC32 求山高 CD 解 在解 在 ABC 中 中 ABC 30 30 A1 D1 C1 DC B A ACB 135 135 CAB 180 180 ACB ABC 180 180 135 30 15 135 30 15 又又 BC 32 32 来源来源 Com 由正弦定理由正弦定理 ABC AC BAC BC sinsin 得 得 m BAC ABCBC AC 26 16 4 26 16 15sin 30sin32 sin sin 0 0 四 四 课堂小结 课堂小结 1 本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用 掌握利用正弦定理及余弦定理 解任意三角形的方法 2 在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意 分清已知与所求 根据题意画出示意图 并正确运用正弦定理和余弦定理解题 3 在解实际问题的过程中 贯穿了数学建模的思想