2012高考数学总复习 第八、九模块　平面解析几何　立体几何初步 新人教版

用心 爱心 专心 1 第八 九模块第八 九模块 平面解析几何平面解析几何 立体几何初步立体几何初步 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若圆x2 y2 2x 4y 0 的圆心到直线x y a 0 的距离为 则a的值为 2 2 A 2 或 2 B 或 1 2 3 2 C 2 或 0 D 2 或 0 解析 圆x2 y2 2x 4y 0 的圆心 1 2 到直线x y a 0 的距离为 2 2 1 2 a 2 2 2 a 2 或 0 选 C 答案 C 2 一动圆圆心在抛物线x2 4y上 动圆过抛物线焦点F 并且恒与直线l相切 则直线 l的方程为 A x 1 B y 1 C x D y 1 16 1 16 解析 根据抛物线的定义 直线l为x2 4y的准线 所以l的方程为y 1 故 p 2 选 B 答案 B 3 已知双曲线 1 a 0 b 0 与直线y 2x有交点 则双曲线离心率的取值范围 x2 a2 y2 b2 是 A 1 B 1 555 C D 55 解析 双曲线与直线y 2x有交点 双曲线的一条渐近线的斜率 2 b a e 故选 C c a 1 b a 25 答案 C 4 若AB是过椭圆 1 中心的弦 F1为椭圆的焦点 则 F1AB面积的最大值为 x2 25 y2 16 A 6 B 12 用心 爱心 专心 2 C 24 D 48 解析 如图所示 S ABF1 OF1 yB yA OF1 2b 3 2 4 12 故 1 2 1 2 1 2 选 B 答案 B 5 已知椭圆 1 a b 0 A 2 0 为长轴的一个端点 弦BC过椭圆的中心O 且 x2 a2 y2 b2 则其焦距为 0 2 AC BCOCOBBCBA A A B 2 6 3 4 3 3 C D 4 6 3 2 3 3 解析 由题意可知且 a 2 1 2 OCOBBC 又 2 OCOBBCBA 又 0 2 BCACOCAC AC BC AAC BC OCAC 2 如图 在 Rt AOC 中 易求得 C 1 1 代入椭圆方程得 1 b2 12 4 1 2 b2 4 3 c2 a2 b2 4 4 3 8 3 用心 爱心 专心 3 c 2c 故选 C 2 6 3 4 6 3 答案 C 6 精选考题 南通模拟 如图所示 A是圆O内一定点 B是圆周上一个动点 AB的中 垂线CD与OB交于E 则点E的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 由题意知 EA EO EB EO R R为圆的半径 且R OA 故E的轨迹 为椭圆 故选 B 答案 B 7 下列四个命题中 真命题的个数为 如果两个平面有三个公共点 那么这两个平面重合 两条直线可以确定一个平面 若M M l 则M l 空间中 相交于同一点的三条直线在同一平面内 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 两个平面有三个公共点 若这三个公共点共线 则这两个平面相交 故 不正 确 两异面直线不能确定一个平面 故 不正确 在空间交于一点的三条直线不一定共面 如墙角 故 不正确 据平面的性质可知 正确 故选 A 答案 A 8 一个几何体的三视图如下 则此几何体的体积是 用心 爱心 专心 4 A 16 B 56 3 C 8 D 8 3 解析 由几何体的三视图可知 该几何体是一组合体 下部为圆柱 上部为圆锥 V Sh1 Sh2 1 3 r2 56 3 答案 B 9 利用斜二测画法 一个平面图形的直观图是边长为 1 的正方形 如图所示 则这个平 面图形的面积为 A B 2 3 C 2 D 4 2 解析 把斜二测画法得到的直观图还原 水平方向线段长度都不变 与y 轴平行的线 段方向变为竖直方向 长度变为原来的 2 倍 如图所示 面积S 2 2 用心 爱心 专心 5 答案 C 10 已知m n是两条不同直线 是三个不同平面 下面命题中正确的是 A 若 则 B 若m n 则m n C 若m n 则m n D 若m m 则 解析 当 时 与 可能相交 故 A 错 同理 C D 错 只有 B 正确 故选 B 答案 B 11 在正四棱锥P ABCD中 PA 2 直线PA与平面ABCD所成角为 60 则正四棱锥 P ABCD的体积为 A B 3 3 2 3 3 C D 2 4 3 3 3 解析 作PO 平面ABCD 连接AO 则 PAO是直线PA与平面ABCD所成的角 即 PAO 60 PA 2 PO AO 1 3 AB V PO SABCD 2 2 1 3 1 33 2 3 3 答案 B 12 已知正方形ABCD的边长为 4 对角线AC与BD交于点O 将正方形ABCD沿对角线BD 折成 60 的二面角 A到A 点 给出下列判断 A C BD A D CO A OC为正 用心 爱心 专心 6 三角形 cos A DC A 到平面BCD的距离为 其中正确判断的个数为 3 46 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 如图所示 折起后A到A 易知 A OC即为二面角A BD C的平面角 即 A OC 60 且A O OC A OC为正三角形 故 正确 又BD 平面A OC 故BD A C 即 正确 在 A DC中 A D DC 4 A C A O 2 2 由余弦定理知 cos A DC 故 正确 正 A OC的边OC上的高为A 到平面BCD 3 4 的距离 易知为 6 正确 而 不正确 正确的判断有 4 个 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 已知l1 2x my 1 0 与l2 y 3x 1 若两直线平行 则m的值为 解析 本题考查直线平行的条件 可以直接利用斜率的关系求解即可 已知 l1 2x my 1 0 与l2 y 3x 1 互相平行 根据A1B2 A2B1 0 B1C2 B2C1 0 即 2 1 3 m 0 m 1 1 1 0 解得m 2 3 用心 爱心 专心 7 答案 2 3 14 如图所示 椭圆 1 a b 0 与过点A 2 0 B 0 1 的直线有且只有一个公共 x2 a2 y2 b2 点T 且椭圆的离心率e 则椭圆方程是 3 2 解析 过A B的直线方程为 y 1 x 2 由题意得 1 x2 a2 y2 b2 y x 1 1 2 有唯一解 即x2 a2x a2 a2b2 0 有唯一解 所以 a2b2 a2 4b2 4 0 ab 0 故a2 4b2 4 0 又因为e 即 3 2 a2 b2 a2 3 4 所以a2 4b2 从而a2 2 b2 1 2 故所求的椭圆方程为 2y2 1 x2 2 答案 2y2 1 x2 2 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 解析 正四棱柱各顶点在球面上 正四棱柱的对角线长为球的直径 又 正四棱柱底面边长为 1 底面对角线长为 2 用心 爱心 专心 8 正四棱柱的高为 22 r 2 22 棱柱表面积为 4 2 2 答案 4 2 2 16 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出以下命 题 若m n m n 则 若 m n 则m n 若m m n 则n 若n n m 那么m n 其中正确命题的序号是 解析 当m与n相交时 才有 故 错 当m m n时 n 或 n 故 错 由面面垂直的性质定理知 正确 由线面平行的性质知 正确 答案 三 解答题 共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线y2 2px p 0 上横坐标为 4 的点到该 抛物线的焦点的距离为 5 1 求抛物线的标准方程 2 设点C是抛物线上的动点 若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为 4 求证 圆C 过定点 解 1 根据题意 抛物线y2 2px的准线方程为x 且p 0 p 2 因为抛物线上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5 所以该点到准线x 的距离也为 p 2 5 所以p 2 故所求抛物线的标准方程为y2 4x 2 证明 因为点C在抛物线上 故可设点C 所以点C到y轴的距离为 t2 4 因为圆C在y轴上截得的弦长为 4 所在圆C的半径r t2 4 2 22 1 4t4 64 所以圆C的方程为 2 y t 2 2 即x2 y2 x 2ty t2 4 0 t2 2 解法一 因为圆C是动圆 用心 爱心 专心 9 所以当t 0 时 圆C的方程为x2 y2 4 0 当t 2 时 圆C的方程为x2 y2 2x 4y 0 联立 得x2 y2 4 0 x2 y2 2x 4y 0 解得x 2 y 0 或x y 6 5 8 5 把 2 0 代入圆C的方程得 左边 22 02 2 2t 0 t2 4 0 右边 方程成立 t2 2 所以圆C恒过定点 2 0 把代入圆C的方程得 左边t2 t不恒为 0 即随着t的变化而变化 故点 8 5 16 5 可能不在圆C上 综上可知 圆C恒过定点 2 0 解法二 将方程x2 y2 x 2ty t2 4 0 整理得 t2 2 t2 2yt x2 y2 4 0 式对任意实数t都成立的充要条件是 1 0 2y 0 x2 y2 4 0 即 x 2 y 0 x 2 所以圆C恒过定点 2 0 18 12 分 设F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 过F2的直线l与 x2 a2 y2 b2 椭圆C相交于A B两点 直线l的倾斜角为 60 F1到直线l的距离为 2 3 1 求椭圆C的焦距 2 如果 2 求椭圆C的方程 AF2F2B 解 1 设椭圆C的焦距为 2c 由已知可得F1到直线l的距离c 2 故c 2 33 所以椭圆C的焦距为 4 2 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知y10 直线l的方程为y x 2 3 联立y x 2 1 3 x2 a2 y2 b2 得 3a2 b2 y2 4b2y 3b4 0 3 解得y1 y2 3b2 2 2a 3a2 b2 3b2 2 2a 3a2 b2 因为 2 所以 y1 2y2 AF2F2B 用心 爱心 专心 10 即 2 3b2 2 2a 3a2 b2 3b2 2 2a 3a2 b2 得a 3 而a2 b2 4 所以b 5 故椭圆C的方程为 1 x2 9 y2 5 19 12 分 已知抛物线C y 2x2 直线y kx 2 交C于A B两点 M是线段AB的中 点 过M作x轴的垂线交C于点N 1 证明 抛物线C在点N处的切线与AB平行 2 是否存在实数k使 0 若存在 求k的值 若不存在 说明理由 NANB 解 1 证明 如图 设A x1 2x B x2 2x 2 12 2 把y kx 2 代入y 2x2得 2x2 kx 2 0 故x1 x2 x1x2 1 k 2 所以xN xM x1 x2 2 k 4 所以N点的坐标为 设抛物线在点N处的切线l的方程为 y m k2 8 将y 2x2代入上式得 2x2 mx 0 mk 4 k2 8 因为直线l与抛物线C相切 所以 m2 8 m2 2mk k2 m k 2 0 所以 m k 即l AB 2 假设存在实数k 使 0 则NA NB NANB 又因为M是AB的中点 所以 MN AB 1 2 由 1 知yM y1 y2 1 2 kx1 2 kx2 2 1 2 用心 爱心 专心 11 k x1 x2 4 1 2 2 1 2 k2 4 因为MN x轴 所以 MN yM yN 2 k2 4 k2 8 k2 16 8 又 AB x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 k 2 2 4 1 1 2k2 1k2 16 所以 k2 16 8 1 4k2 1k2 16 解得k 2 即存在k 2 使 0 NANB 评析 本题与向量 一元二次方程等内容相结合 考查直线与圆锥曲线的位置关系 解 题时应借助图形 利用数形结合思想方便求解 20 12 分 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形 正视图是一个底面边长为 8 高 为 4 的等腰三角形 侧视图是一个底面边长为 6 高为 4 的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积 解 由题设可知几何体是一个高为 4 的四棱锥 其底面是长 宽分别为 8 和 6 的矩形 正侧面及相对侧面均为底边长为 8 高为h1的等腰三角形 左 右侧面均为底边长为 6 高为 h2的等腰三角形如图所示 1 几何体体积V S矩形 h 1 3 用心 爱心 专心 12 6 8 4 64 1 3 2 正侧面及相对侧面底边上的高为h1 5 42 32 左 右侧面的底边上的高为h2 4 42 422 故该几何体的侧面积为 S 2 40 24 2 21 12 分 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱AA1 底面 ABC AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 点D是AB的中点 1 求证 AC BC1 2 求证 AC1 平面CDB1 证明 1 AC2 BC2 AB2 AC BC 又 C1C AA1 AA1 底面ABC C1C 底面ABC AC CC1 又BC CC1 C AC 平面BCC1B1 而BC1 平面BCC1B1 AC BC1 2 设BC1 B1C O 则O为BC1的中点 连接OD 用心 爱心 专心 13 D为AB的中点 OD AC1 又 OD 平面CDB1 AC1 平面CDB1 AC1 平面CDB1 22 12 分 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 1 AC1 BD 2 平面