高中数学应用题

1 高中应用题专题复习高中应用题专题复习 例 1 建筑一个容积为 48 米 3 深为 3 米的长方体蓄水池 池壁每平方米的造价为 a 元 池底每平方米的 造价为 2a 元 把总造价 y 表示为底的一边长 x 米的函数 并指出函数的定义域 解 容积 底面积 高 48 底面积 3 48 底面另一边长 m x 16 池壁造价 池壁面积 a 2 3x 3m a 6 x a 6 x a x 16 x 16 池底造价 底面积 2a 16 2a 32a y 6 x a 32a x 0 x 16 例 2 有根木料长为 6 米 要做一个如图的窗框 已知上框架与下框架的高的比为 1 2 问怎样利用木料 才能使光线通过的窗框面积最大 中间木档的面积可忽略不计 解 如图设 x 则竖木料总长 3x 4x 7x 三根横木料总长 6 7x 窗框的高为 3x 宽为 3 76x 即窗框的面积 y 3x 7x2 6x 0 x 3 76x 7 6 配方 y 0 x 1020 炮弹爆炸点的轨迹是以 A B 为焦点的双曲线 以 AB 为 x 轴 AB 中点为原点建立直角坐标系 如图 A 700 0 B 700 0 c 700 且 2a 1020 a 510 b2 229900 炮弹爆炸的轨迹方程是 x 0 1 229900260100 22 yx 例 19 如图 某灾区的灾民分布在一个矩形地区 现要将救灾物资从 P 处紧急运往灾区 P 往灾区有两条 道路 PA PB 且 PA 110 公里 PB 150 公里 AB 50 公里 为了使救灾物资尽快送到灾民手里 需要 在灾区划分一条界线 使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近 求出该界线的方程 解 要使沿 PA PB 两条线路到救灾地点都比较近 有三种情况 1 沿 PA 线路 2 沿 PB 线路 3 沿 PA PB 线路都相同 故分界线以第 3 种情况划分 即 PA MA PB MB 110 MA 150 MB MA MB 40 即知分界线是以 A B 为焦点的双曲线 AB 50 2c 50 c 25 2a 40 a 20 b2 225 若以 AB 为 x 轴 AB 的中点为原点建立直角坐标系 则分界线方程是 在矩形内的一段 1 225400 22 yx 注意 确定分界线的原则是 从 P 沿 PA PB 到分界线上点的距离 3 练习 练习 1 某森林出现火灾 火势正以每分钟的速度顺风蔓延 消防站接到警报立即派消防队员 2 m100 前去 在火灾发生后五分钟到达救火现场 已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 所消耗的灭 2 m50 火材料 劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元 另附加每次救火所耗损的车辆 器械和装备等费用平均 每人 100 元 而烧毁一平方米森林损失费为 60 元 1 设派x名消防队员前去救火 用t分钟将火扑灭 试建立 与的函数关系式 tx 2 问应该派多少消防队员前去救火 才能使总损失最少 2 有一座大桥既是交通拥挤地段 又是事故多发地段 为了保证安全 交通部门规定 大桥上的车距 d m 与 车速 v km h 和车长 l m 的关系满足 k 为正的常数 假定车身长为 4m 当车速为llkvd 2 1 2 60 km h 时 车距为 2 66 个车身长 1 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式 2 应规定怎样的车速 才能使大桥上每小时通过的车辆最多 3 电信局根据市场客户的不同需求 对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案 则两种方案付电话 费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 MN 平行 CD 1 若通话时间为两小时 按方案 A B 各付话费多少元 2 方案 B 从 500 分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案 B 比方案 A 优惠 5 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场 如图 运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD BC 为 直径的两个半圆组成 跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道 运动场除跑道外 其他地方均铺设草皮 已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元 草皮每平方米造价为 30 元 1 设半圆的半径 OA r 米 试建立塑胶跑道 面积 S 与r的函数关系 S r 2 由于条件限制 30 40r 问当r取何值时 运动场 造价最低 精确到元 10 某厂家拟在 2008 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促 销费用m万元 1 3 0 m k xm满足 k为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量是 1 万件 已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 厂家将 每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 不 包括促销费用 1 将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用m万元的函数 2 该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 13 某民营企业生产 A B 两种产品 根据市场调查与预测 A 产品的利润与投资成正比 其关系如图甲 B 产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图乙 注 利润与投资单位 万元 甲 乙 1 分别将 A B 两种产品的利润表示为投资 万元 的函数关系式 x 2 该企业已筹集到 10 万元资金 并全部投入 A B 两种产品的生产 问 怎样分配这 10 万元投资 才能使企业获得最大利润 其最大利润为多少万元 16 某厂家拟在 2009 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 万件与年促x 销费用万元满足 为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量是 1 万0 m m 3 1 k x m k 4 件 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 厂家将每 件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 不 包括促销费用 1 将 2009 年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数 m 2 该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 17 某商场在促销期间规定 商场内所在商品按标价的 80 出售 同时 当顾客在该商场内消费一定金额 后 按以下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 的 范围 400 200 500 400 700 500 900 700 获得奖券的金 额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价为 400 元的商品 则消 费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元 设购买商品得到的优惠率 试问 商品的标价 购买商品得到的优惠额 1 购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 2 对于标价在 500 800 元 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可得到不小于的优 3 1 惠率 18 如图所示 将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园 要求 B 在上 D 在上 ABCDAMPNAMAN 且对角线过 C 点 已知 AB 3 米 AD 2 米 MN 1 要使矩形的面积大于 32 平方米 则的长应在什么范围内 AMPNAN 2 当的长度是多少时 矩形的面积最小 并求最小面积 ANAMPN 3 若的长度不少于 6 米 则当的长度是多少时 矩形的面积最小 并求出最小面积 ANANAMPN 19 已知某食品厂需要定期购买食品配料 该厂每天需要食品配料 200 千克 配料的价格为元 千8 1 克 每次购买配料需支付运费 236 元 每次购买来的配料还需支付保管费用 其标准如下 7 天以内 含 7 天 无论重量多少 均按 10 元 天支付 超出 7 天以外的天数 根据实际剩余配料的重量 以每天 0 03 元 千克支付 高考资源网 1 当 9 天购买一次配料时 求该厂用于配料的保管费用P是多少元 高考资源网 2 设该厂天购买一次配料 求该厂在这天中用于配料的总费用 元 关于的函数关系式 xxyx 并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少 高考资源网 20 假设 A 型进口车关税税率在 2003 年是 100 在 2008 年是 25 在 2003 年 A 型进口车每辆价格为 64 万元 其中含 32 万元关税税款 1 已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车 2003 年每辆价格为 46 万元 若 A 型车的价格只受关税降 低的影响 为了保证 2008 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90 B 型车价格要逐年等额降低 问每 年至少下降多少万元 2 某人在 2003 年将 33 万元存入银行 假设银行扣利息税后的年利率为 1 8 5 年内不变 且每 年按复利计算 上一年的利息计入第二年的本金 那么 5 年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按 1 中所述降价后的 B 型车一辆 参考数据 1 0185 1 093 参考答案参考答案 1 解 1 5 分 2 10 10050 1005 xx t 2 总损失为y 则y 灭火劳务津贴 车辆 器械装备费 森林损失费 y 125tx 100 x 60 500 100t 9 分 5 2 60000 30000100 2 10 125 x x x x 2 6000 30000 22 100 2 22 1250 x x x x 11 分 2 62500 2 10031450 x x 13 分3645062500100231450 当且仅当 即x 27 时 y有最小值 36450 14 分 2 62500 2 100 x x 2 因为当时 所以 4 分60v ld66 2 0006 0 60 16 2 60 2 1 66 2 22 l ll k 6 分 2 0 00242dv 设每小时通过的车辆为 则 即 12 分Q 1000 4 v Q d Q 2 10001000 6 0 00246 0 0024 v v v v 66 0 00240 00240 24vv vv 2 当且仅当 即时 取最大值 100012500 0 243 Q 6 0 0024v v 50v Q 12500 3 答 当时 大桥每小时通过的车辆最多 16 分 50v km h 3 设通话 x 分钟时 方案 A B 的通话费分别为 AB fxfx 1 当 x 120 时 A fx 116 元 B fx 168 元 若通话时间为两小时 方案 A 付话费 116 元 方案 B 付话费 168 元 2 980601680500 33 806018500 1010 AB xx fxfx xxxx 当500 x 时 1 B fx B fx 0 3 方案 B 从 500 分钟以后 每分钟收费 0 3 元 3 当500 x 时 AB fxfx 060 x AB fxfx 60500 x 由 AB fxfx 得 880 3 x 综合 通话时间在 880 3 内方案 B 较优惠 5 解 1 塑胶 跑道面积 2 22 10000 8 824 2 80000100 864 0 6 r Srr r rr r 分 分 2 设运动场造价为y xO y 6 8000080000 150 864 30 10000864 10 80000 300000 120 8 768012 30 40 yrr rr r r ryr 分 分 函数是的减函数 当r 40 运动场造价最低为636510元 14分 6 1 依题意 50 8 1 100 10 1 100 x x y 又售价不能低于成本价 所以080 10 1 100 x 所以 850 10 20 xxxfy 定义域为 2 0 2 10260 850 10 20 xx 化简得 013308 2 xx 解得 4 13 2 x 所以x的取值范围是2 2 1 x 10 解 1 由题意可知当0 m时 1 x 万件 k 31即2 k 2 分 1 2 3 m x 每件产品的销售价格为 168 5 1元 x x 5 分 2008 年的利润 168 168 5 1 mx x x xy m m mx 1 2 3 8484 0 29 1 1 16 mm m 8 分 2 8162 1 1 16 0 m m m时 21 31 1 16 21298 max ymm m y时万元当且仅当 万元 12 分 答 该厂家 2008 年的促销费用投入 3 万元时 厂家的利润最大 最大为 21 万元 14 分 11 因为tanBDa 所以ABD 的面积为 2 1 tan 2 a 0 2 2 分 设正方形BEFG的边长为t 则由 FGDG ABDB 得 tan tan tat aa 解得 tan 1tan a t 则 22 2 2 tan 1tan a S 6 分 所以 22 22 12 2 11tan tantan 22 1tan a SaSa 则 2 1 2 1tan 1 2tan S y S 9 分 因为tan 0 所以 1111 tan2 1 tan 2tan2tan y 1 13 分 当且仅当tan1 时取等号 此时 2 a BE 所以当BE长为 2 a 时 y有最小值 1 15 分 13 1 设投资为 x 万元 A 产品的利润为 f x 万元 B 产品的利润为 g x 万元 由题设xkxgxkxf 21 由图知 f 1 故 k1 又 4 1 4 1 4 5 2 5 4 2 kg 7 从而 7 分 0 4 5 0 4 1 xxxgxxxf 2 设 A 产品投入 x 万元 则 B 产品投入 10 x 万元 设企业利润为 y 万元 100 10 4 5 4 1 10 xxxxgxfy 令则xt 10 100 16 65 2 5 4 1 4 5 4 10 2 2 ttt t y 当75 3 16 65 2 5 max xyt时时时 答 当 A 产品投入 3 75 万元 则 B 产品投入 6 25 万元 企业最大利润为万元 15 分 16 65 16 1 由题意可知 当时 即 0 m1 x13k 2 k 每件产品的销售价格为元 2 3 1 x m 8 16 1 5 x x 2009 年的利润 168 168 5 1 mx x x xy 8 分m m mx 1 2 3 8484 0 29 1 1 16 mm m 2 时 0m 16 1 2 168 1 m m 当且仅当 即时 15 分82921y 16 1 1 m m 3m max 21y 答 该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时 厂家的利润最大 最大为 21 万元 17 1 购买一件标价为 1000 元的商品 顾客的消费金额为 元 8008 01000 获得奖券的金额为 130 元 得到的优惠率是 33 1000 1302 01000 2 设商品的标价为 x 元 则顾客消费金额 元 800500 x 满足当时 获得奖券的金额为 60 元 6408 0400 x 5008 0400 x 当时 获得奖券的金额为 100 元 由已知得6408 0500 x 1 或 2 5008 0400 3 1602 0 x x x 6408 0500 3 11002 0 x x x 不等式 1 无解 不等式 2 的解为 因此 当顾客购买标价在 625 750 元内的750625 x 商品 可得到不小于的优惠率 3 18 1 设米 则xAN 2 x2 xND AM AN DC ND AM xx 3 2 2 分 2 3 x x AM 8 32 2 3 x x x 4 分064323 2 xx 0 8 83 xx 或 5 分8 x 2 7 分 2 12 2 12 2 3 2 3 22 x xx x x SAMPN 12 2 12 2 3 2 12 2 12 2 3 2 x x x xx 2412362 此时 10 分4 x 3 12 2 12 2 3 x xSAMPN 6 x 令 11 分tx 2 4 t12 12 3 t ttf 2 12 3 t tf 当时 4 t0 t f 在上递增 13 分12 12 3 t ttf 4 27 4 min ftf 此时 14 分6 x 答 1 或 3 8 2 AN8 AN 2 当的长度是 4 米时 矩形的面积最小 最小面积为 24 平方米 ANAMPN 3 当的长度是 6 米时 矩形的面积最小 ANAMPN 最小面积为 27 平方米 15 分 19 当 9 天购买一次时 该厂用于配料的保管费用 P 70 88 元 4 分 21 20003 0 1 当x 7 时 y 360 x 10 x 236 370 x 236 5 分 2 当 x 7 时 y 360 x 236 70 6 2 1 7 x6 x 7 分4323213 2 xx 8 分 7 4323213 7 236370 2 xxx xx y 设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f x 元 11 分 7 4323213 7 236370 2 x x xx x x x xf 当 x 7 时 9 当且仅当 x 7 时 x xf 236 370 f x 有最小值 元 404 7 2826 当 x 7 时 393 x xx xf 4323213 2 321 144 3 x x 当且仅当 x 12 时取等号 393 404 当 x 12 时 f x 有最小值 393 元 16 分 20 1 2008 年 A 型车价格为 32 32 25 40 万元 设 B 型车每年下降 d 万元 2003 2003 2008 年 B 型车价格分别为 321 aaa 为公差是 d 的等差数列 6216 aaaa 9040 6 a 即36546 d 2 d 故每年至少下降 2 万元 2 2008 年到期时共有钱 33 5 8 11 万元 36069 36093 1 33 故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车 10 甲乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地 甲车一半时间的速度是 另一半时间的速度为 b 乙 a 车用速度行走了一半路程 用速度 b 行走了另一半路程 若 则两车到达 B 地的情况是 aba A 甲车先到达 B 地 B 乙车先到达 B 地 C 同时到达 B 地 D 不能判断 函数应用题的几种常见模型函数应用题的几种常见模型 函数应用题主要有以下几种常见模型 1 一次函数模型 一次函数模型 例 1 某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份 0 35 元 卖出的价格是每份 0 5 元 卖不掉的报纸 还可以以每份 0 08 元的价格退回报社 在一个月 30 天 里 有 20 天每天可以卖出 400 份 其余每天 只能卖出 250 份 设每天从报社买进的报纸的数量相同 则每天应从报社买进多少份 才能使每月所获 的利润最大 并计算该销售点一个月最多可赚多少元 注 注 现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示 例如 匀速直线运动的时间和位移的关系 弹 簧的伸长和拉力的关系等 对一次函数来说 当一次项系数为正时 表现为匀速增长 即为增函数 一次 项系数为负时为减函数 2 二次函数模型 二次函数模型 例 2 某工厂生产的商品 A 若每件定价为 80 元 则每年可销售 80 万件 政府税务部门对市场销售 的商品 A 要征收附加税 为增加国家收入又要有利于生产发展 必须合理确定税率 根据市场调查 若 政府对商品 A 征收附加税率为时 每年销售额将减少万件 据此 试问 pp10 1 若税务部门对商品 A 征收的税金不少于 96 万元 求的范围 p 2 若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高 求此时的值 p 注 注 在第二问即二次函数求最值问题 一定要注意隐含条件 所以应用题中变量的取值范围是一个 10 非常值得重视的问题 3 指数函数模型 指数函数模型 例 3 某城市现有人口总数 100 万人 如果年自然增长率为 1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数 万人 与年份 年 的函数关系 yx 2 计算 10 年以后该城市人口总数 精确到 0 1 万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人 精确到 1 年 4 如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人 年增长率应该控制在多少 注 注 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示 通常可以表示为 的形式 为为增长率 为基础数 其中xpNpNy x 1 时间 4 分段函数模型 分段函数模型 例 4 通过研究学生的学习行为 专家发现 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化 讲课开 始时 学生的兴趣激增 中间有一段时间 学生的兴趣保持较理想的状态 随后学生的注意力开始分散 设表示学生注意力随时间 分钟 的变化规律 越大 表明学生注意力越大 经过实验分 tft tf 析得知 4020 3807 2010 240 10 0 10024 2 tt t ttt tf 1 讲课开始后多少分钟 学生的注意力最集中 能坚持多少分钟 2 讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较 何时学生的注意力更集中 3 一道数学难题 需要讲解 24 分钟 并且要求学生的注意力至少达到 180 那么经过适当安排 老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目 注 注 对于一些较复杂的问题 有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题 需先后或年同时构造 利用几个函数模型 即分段函数模型方可 5 幂函数模型 幂函数模型 例 5 在固定电压差 电压差为常数 下 当电流通过圆柱体电线时 其强度与电线半径的三次方Ir 成正比 1 写出函数解析式 2 若电流通过半径为 4 毫米的电线时 电流强度为 320 安 求电流通过半径为毫米的电线时 r 其电流强度的表达式 3 已知 2 中的电流通过的电线半径为 5 毫米 计算该电流的强度 解 解 1 为常数 3 krI k 2 由 1 知 3 4320 k 解得 5 k 所以 电流通过半径为毫米的电线时 其电流强度的表达式为 r 3 5rI 3 由 2 中电流强度的表达式 将代入得 安 5 r62555 3 I 注 注 本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题 关键是分清各个量的物理意义及相关关系 6 对数函数模型 对数函数模型 例 6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的专家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示 11 为函数 单位是 其中表示燕子的耗氧量 10 log5 2 O v sm O 1 计算 当燕子静止时的耗氧量是多少个单位 2 当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时 它的飞行速度是多少 一 选择题一 选择题 1 某工厂 10 年来某种产品总产量C与时间 t 年 的函数关系如下图所示 下列四种说法 其中说法正 确的是 前五年中产量增长的速度越来越快 前五年中产量增长的速度越来越慢 第五年后 这种 产品停止生产 第五年后 这种产品的产量保持不变 A B C D 2 如下图 ABC为等腰直角三角形 直线 l 与AB相交且 l AB 直线 l 截这个三角形所得的位于直线右 方的图形面积为y 点A到直线 l 的距离为x 则y f x 的图象大致为 3 用长度为 24 的材料围一个矩形场地 中间且有两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 A 3 B 4 C 6 D 12 4 已知镭经过 100 年 剩留原来质量的 95 76 设质量为 1 的镭经过x年的剩留量为y 则y与x的 函数关系是 A y 0 9576 100 x B y 0 9576 100 x C y 100 9576 0 x D y 1 0 0424 100 x 5 某人骑自行车沿直线匀速旅行 先前进了a千米 休息了一段时间 又沿原路返回b千米 b a 再 前进c千米 则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是 二 填空题二 填空题 6 某工厂 1992 年底某种产品年产量为a 若该产品的年平均增长率为x 2000 年底该厂这种产品的年产 量为y 那么y与x的函数关系式是 7 周长为l的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 半径为r 若矩形底边长为 2x 此框架围 成的面积为y 则y与x的函数解析式是 8 某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比 且比例系数为a 其余费用与 船的航行速度无关 约为每小时b元 若该船以速度v千米 时航行 航行每千米耗去的总费用为 y 元 则y与v的函数解析式为 9 已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y a 0 5 x b 现已知该厂今年 1 月 2 月生产该产品分别为 1 万件 1 5 万件 则此厂 3 月份该产品的产量为 10 国家规定个人稿费纳税办法为 不超过 800 元的不纳税 超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元的 14 纳税 超过 4000 元的按全稿酬的 11 纳税 某人出版了一本书 共纳税 420 元 这个人的稿费 为 元 12 三 解答题三 解答题 11 一个体户有一种货 如果月初售出可获利 100 元 再将本利都存入银行 已知银行月息为 2 4 如 果月末售出可获利 120 元 但要付保管费 5 元 问这种货是月初售出好 还是月末售出好 12 某种商品现在定价每年p元 每月卖出n件 因而现在每月售货总金额np元 设定价上涨x成 卖 出数量减少y成 售货总金额变成现在的 z 倍 1 用x和y表示z 2 若y 3 2 x 求使售货总金额 有所增加的x值的范围 13 茜种商品定价为每件 60 元 不加收附加税时每年大约销售 80 万件 若政府征收附加税 每销售 100 元要征税 P 元 因此每年销售量将减少 20 3 P万件 1 将政府每年对该商品征收的总税金 y 万元表示为 P 的函数 并指出这个函数的定义域 2 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于 128 万元 问税率 P 应怎样确定 3 在可收税金不少于 128 万元的前提下 要让厂家获取最大销售金额 则如何确定 P 值 14 某工厂有一段旧墙长 14m 现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形 面积为 126m2的厂房 工程条件是 1 建 1m 新墙的费用为 a 元 2 修 1m 旧墙的费用为 4 a 元 3 拆去 1m 的旧墙 用可得的建 材建 1m 的新墙的费用为 2 a 元 经讨论有两种方案 利用旧墙一段 x m 0 x 14 为矩形一边 矩形厂房利用旧墙的一面边长 x 14 问如何利用旧墙建墙费用最省 试比较 两种方案哪个更好 函数应用题归类分析函数应用题归类分析 我们已经学过一次函数 二次函数及分段函数 应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题 现归类如下 一 能解决利润最大或效益最高问题 例 1 某售货点 从批发部批发某一种商品的进价是每份 0 35 元 卖不掉的商品还要以每份 0 08 元的价 格退回批发部 卖出的商品的价格是每份 0 5 元 在一个月 30 天 中 有 20 天每天可以卖出 400 份 其余 10 天每天只能卖出 250 份 假设每天从批发部买进的商品的数量相同 则每天从批发部进 货多少才能使每月所获得利润最大 最大利润是多少 分析 每月的利润 月总收入 月总成本 而月总收入有三部分 可每天卖出 400 份共 20 天的收入 可 每天卖出 250 份的共 10 天的收入 没有卖出而退回批发部的商品的收入 解 设每天从批发部买进的数量为份 易知x250400 x 设每月的纯收入为元 则由题意 得y 0 5200 5 250 10 250 0 08 100 35 30yxx 0 31050 x 250 400 x 因为一次函数在区间上为增函数 所以当0 31050yx 0 31050yx 250 400 x 13 时 函数取得最大值 元 400 x 0 31050yx 0 3 400 10501170y 答 当每天从批发部进货 400 分时 每月所获得利润最大 最大利润是 1170 元 点评 本题是一次函数模型的应用 对于利用一次函数来求最值 主要是利用其单调性来解决 例 2 旅行社为某旅游团包飞机去旅游 其中旅行社的包机费为 15000 元 旅游团中的每人的飞机票按以 下方式与旅行社结算 若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下 飞机票每张收费 900 元 若旅游团的 人数多于 30 人 则给与优惠 每多 1 人 机票费每张减少 10 元 但旅游团的人数最多有 75 人 那 么旅游团的人数为多少时 旅行社可获得的利润最大 解 设旅游团的人数为人 飞机票为元 依题意 xy 得当时 当时 130 x 900y 3075x 900 10 30 101200yxx 所以所求函数为 900 130 101200 3075 x y xx 设利润为 则Q 2 90015000 130 15000 10120015000 3075 xx Qyx xxx 当时 130 x max 900 30 1500012000Q 当时 3075x 22 1012001500010 60 21000Qxxx 所以当时 60 x max 21000Q 12000 答 当旅游团人数为人时 旅行社可获得最大利润元 6021000 点评 本题是由一段一次函数 一段二次函数构成的分段函数的最值问题 对于分段函数的最值 应先 在各自的定义域上求出各段的最值 然后加以比较 最后确定出最值 二 能帮助选择最佳方案 例 3 某企业买劳保工作服和手套 市场价每套工作服 53 元 手套 3 元一副 该企业联系了两家商店 由于用货量大 这两家商店都给出了优惠条件 商店一 买一赠一 买一套工作服赠一副手套 商店二 打折 按总价的 95 收款 该企业需要工作服 75 套 手套若干 不少于 75 副 若你是企业的老板 你选择哪一家商店省钱 分析 解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式 然后比较 当取相同值时 哪种函数值小 则哪种优惠条件最省钱 就选哪一家商店 解 设需要手套副 付款数为元 xy 商店一的优惠条件 75 533 75 33750f xxxx 商店二的优惠条件 75 533 5g xx 2 853776 25xx 令 即 解得 xg x 337502 853776 25xx x 175 即购买了 175 副手套时 两商店的优惠相同 令当 时 即 应选择商店一省钱 0 1526 25xg xx y 75175x y0 xg x 综上可知 当麦 175 套手套适量商店的优惠相同 当买的手套数多于 75 而少于 175 时 选商店一省钱 当买的手套数多 175 时 选商店二省钱 点评 给出几种方案 通过计算比较 确定出最佳方案是这类问题的特点 三 涉及几何问题中的最值 例 4 某单位计划用围墙围出一块矩形场地 现有材料可筑墙的总长度为 如果要使围墙围出一块矩形l 场地的面积最大 问矩形的长 宽各等于多少 分析 若设矩形的长为 则宽为 从而矩形的面积为 是关于x 2 2 l lx 2 2 22 ll Sxlxxx 的二次函数 x 解 设矩形的长为 则宽为 从而矩形的面积为x 2 2 l lx 2 2 22 ll Sxlxxx 2 2 416 ll x 0 2 l x 由此可得 函数在时取得最大值 且 这是矩形的宽为 4 l x 2 max 16 l S 2 24 lxl 即当这个矩形的边长为时 所围成的面积最大为 此时矩形为正方形 4 l 2 16 l 点评 对于求几何最值问题 应先建立函数关系式 然后再对函数求最值 还要回扣几何问题 特别应 注意的是不要忽略定义域 四 解决图表问题 例 5 如图所示是一次舞会的盈利额同收票数之间的关系图 其中保险部门规定 人数超过 150 人的pn 时候 须交纳公安保险费 50 元 请你写出它的函数表达式 并对图像加以解释 P n 200 100 50 n 100 150 200 100 200 解 从途中观察的 当时 图像通过和两点 则此时表达式为0150n 0 200 100 0 2200P nn 15 当时 图像右端点通过 左端点趋于点 则此时表达式为150200n 200 200 150 50 3400P nn 综上所述 得 2200 0150 3400 150200 nn P n nn 从不同角度剖析图像 可以得到不同地解释 1 当售票为零时舞场正常开放 要交付水电费 器材费等 200 元 2 当时 可达到不赔不赚 当时 要赔本 100n 100n 3 当时 利润与售票数呈直线上升 时 达到最大值 100 元 100150n 150n 4 当时 利润没有时多 即人数超过 166 人时 利润才能超过 100 元 5 150167n 150n 人数达到 200 人时 利润可达到最大值 200 元 点评 据图像建立关系式 再根据定义域与函数的单调性 将数学语言转化为实际问题中的个中情况进 行解决 高中高中数学数学会考会考排列 组合 概率专题训练专题训练 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 4 分 共 48 分 题号123456789101112得分 答案 1 已知集合 A 1 3 5 7 9 11 B 1 7 17 试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标 在同一直角 坐标系中所确定的不同点的个数是 A 32B 33C 34D 36 2 以 1 2 3 9 这九个数学中任取两个 其中一个作底数 另一个作真数 则可以得到不同 的对数值的个数为 A 64B 56C 53D 51 3 四名男生三名女生排成一排 若三名女生中有两名站在一起 但三名女生不能全排在一起 则不 同的排法数有A 3600B 3200C 3080D 2880 4 由展开所得 x 多项式中 系数为有理项的共有 100 3 2x3 A 50 项B 17 项C 16 项D 15 项 5 设有甲 乙两把不相同的锁 甲锁配有 2 把钥匙 乙锁配有 2 把钥匙 这 4 把钥匙与不能开