2012届高考数学一轮复习 7.5 圆的方程教案

1 7 57 5 圆的方程圆的方程 知识梳理 1 圆的方程 1 圆的标准方程 圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 说明 方程中有三个参量a b r 因此三个独立条件可以确定一个圆 2 圆的一般方程 二次方程x2 y2 Dx Ey F 0 将 式配方得 x 2 y 2 2 D 2 E 4 4 22 FED 当D2 E2 4F 0 时 方程 表示圆心 半径r 的 2 D 2 E 2 1 FED4 22 圆 把方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 叫做圆的一般方程 说明 1 圆的一般方程体现了圆方程的代数特点 a x2 y2项系数相等且不为零 b 没有xy项 2 当D2 E2 4F 0 时 方程 表示点 当D2 E2 4F 0 时 方程 2 D 2 E 不表示任何图形 3 据条件列出关于D E F的三元一次方程组 可确定圆的一般方程 3 圆的参数方程 圆心在O 0 0 半径为r的圆的参数方程为 x rcos y rsin 圆心在O1 a b 半径为r的圆的参数方程为 x a rcos y b rsin 说明 在 中消去 得x2 y2 r2 在 中消去 得 x a 2 y b 2 r2 把这两个 方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程 2 二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆 则有A C 0 B 0 这仅是二元二次方程表示圆的必要条 件 不充分 在A C 0 B 0 时 二元二次方程化为x2 y2 x y 0 A D A E A F 仅当 2 2 4 0 即D2 E2 4AF 0 时表示圆 A D A E A F 故Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是 A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 点击双基 1 方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 t R R 表示圆方程 则t的取值范围是 A 1 t B 1 t 7 1 2 1 为参数 为参数 2 C t 1 D 1 t0 得 7t2 6t 1 0 即 t0 下列结论错误的是 A 当a2 b2 r2时 圆必过原点 B 当a r时 圆与y轴相切 C 当b r时 圆与x轴相切 D 当b r时 圆与x轴相交 解析 已知圆的圆心坐标为 a b 半径为r 当b r时 圆心到x轴的距离为 b 只有当 b r时 才有圆与x轴相交 而b r不能保证 b 0 为两定点 动点P到A 点的距离与到B点的距离的比为定值a a 0 求P点的轨迹 剖析 给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一 其基本方法就是把几何条件代 数化 主要问题之二是根据方程研究曲线的形状 性质 即用代数的方法研究几何问题 3 解 设动点P的坐标为 x y 由 a a 0 得 a 化简 得 PB PA 22 22 ycx ycx 1 a2 x2 2c 1 a2 x c2 1 a2 1 a2 y2 0 当a 1 时 方程化为x 0 当a 1 时 方程化为 x c 2 y2 2 1 1 2 2 a a 1 2 2 a ac 所以当a 1 时 点P的轨迹为y轴 当a 1 时 点P的轨迹是以点 c 0 为圆心 为半径的圆 1 1 2 2 a a 1 2 2 a ac 评述 本题主要考查直线 圆 曲线和方程等基本知识 考查运用解析几何的方法解决 问题的能力 对代数式的运算化简能力有较高要求 同时也考查了分类讨论这一数学思想 例 2 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0 上 且直线y x截圆所得弦长为 2 求此圆的方程 7 剖析 利用圆的性质 半弦 半径和弦心距构成的直角三角形 解 因圆与y轴相切 且圆心在直线x 3y 0 上 故设圆方程为 x 3b 2 y b 2 9b2 又因为直线y x截圆得弦长为 2 则有 2 2 9b2 7 2 3 bb 7 解得b 1 故所求圆方程为 x 3 2 y 1 2 9 或 x 3 2 y 1 2 9 评述 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几点 1 确定圆方程首先明确 是标准方程还是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得 a b r或D E F 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 例 3 已知 O的半径为 3 直线l与 O相切 一动圆与l相切 并与 O相交的公 共弦恰为 O的直径 求动圆圆心的轨迹方程 剖析 问题中的几何性质十分突出 切线 直径 垂直 圆心 如何利用这些几何性 质呢 解 取过O点且与l平行的直线为x轴 过O点且垂直于l的直线为y轴 建立直角坐 标系 设动圆圆心为M x y O与 M的公共弦为AB M与l切于点C 则 MA MC A B C M O x y l AB为 O的直径 MO垂直平分AB于O 由勾股定理得 MA 2 MO 2 AO 2 x2 y2 9 而 MC y 3 y 3 9 22 yx 4 化简得x2 6y 这就是动圆圆心的轨迹方程 评述 求轨迹的步骤是 建系 设点 找关系式 除瑕点 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 表示的曲线关于x y 0 成轴对称图形 则 A D E 0B B D F 0 C E F 0 D D E F 0 解析 曲线关于x y 0 成轴对称图形 即圆心在x y 0 上 答案 A 2 2004 年全国 8 在坐标平面内 与点A 1 2 距离为 1 且与点B 3 1 距 离为 2 的直线共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析 分别以A B为圆心 以 1 2 为半径作圆 两圆的公切线有两条 即为所求 答案 B 3 2005 年黄冈市调研题 圆x2 y2 x 6y 3 0 上两点P Q关于直线kx y 4 0 对称 则k 解析 圆心 3 在直线上 代入kx y 4 0 得k 2 2 1 答案 2 4 2004 年全国卷 16 设P为圆x2 y2 1 上的动点 则点P到直线 3x 4y 10 0 的 距离的最小值为 解析 圆心 0 0 到直线 3x 4y 10 0 的距离d 2 5 10 再由d r 2 1 1 知最小距离为 1 答案 1 5 2005 年启东市调研题 设O为坐标原点 曲线x2 y2 2x 6y 1 0 上有两点P Q 满足关于直线x my 4 0 对称 又满足 0 OPOQ 1 求m的值 2 求直线PQ的方程 解 1 曲线方程为 x 1 2 y 3 2 9 表示圆心为 1 3 半径为 3 的圆 点P Q在圆上且关于直线x my 4 0 对称 圆心 1 3 在直线上 代入得m 1 2 直线PQ与直线y x 4 垂直 设P x1 y1 Q x2 y2 PQ方程为y x b 将直线y x b代入圆方程 得 2x2 2 4 b x b2 6b 1 0 4 4 b 2 4 2 b2 6b 1 0 得 2 3 b 2 3 22 由韦达定理得x1 x2 4 b x1 x2 2 16 2 bb y1 y2 b2 b x1 x2 x1 x2 4b 2 16 2 bb 0 x1x2 y1y2 0 即b2 6b 1 4b 0 OPOQ 5 解得b 1 2 3 2 3 22 所求的直线方程为y x 1 6 已知实数x y满足x2 y2 2x 2y 0 求x y的最小值 3 解 原方程为 x 1 2 y 2 4 表示一个圆的方程 可设其参数方程为3 x 1 2cos y 2sin 3 2sin 当 即x 1 y 时 x y的最小值为2 4 4 5 232 1 2 32 培养能力培养能力 7 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 x y 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 解 1 如图 方程x2 y2 4x 1 0 表示以点 2 0 为圆心 以为半径的圆 3 x y O P C 2 0 设 k 即y kx 由圆心 2 0 到y kx的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最 x y 大 最小值 由 解得k2 3 1 02 2 k k 3 所以kmax kmin 33 也可由平面几何知识 有OC 2 OP POC 60 直线OP的倾斜角为 60 直线3 OP 的倾斜角为 120 解之 2 设y x b 则y x b 仅当直线y x b与圆切于第四象限时 纵轴截距b取最小 值 由点到直线的距离公式 得 即b 2 2 02 b 36 故 y x min 2 6 为参数 0 2 则 x y 1 2 sin cos 3 13 6 3 x2 y2是圆上点与原点距离之平方 故连结OC 与圆交于B点 并延长交圆于C 则 x2 y2 max OC 2 3 x2 y2 min OB 2 3 8 文 求过两点A 1 4 B 3 2 且圆心在直线y 0 上的圆的标准方程 并判断 点M1 2 3 M2 2 4 与圆的位置关系 解 根据圆的标准方程 只要求得圆心坐标和圆的半径即可 因为圆过A B两点 所以圆心在线段AB的垂直平分线上 由kAB 1 31 24 AB的中点为 2 3 故AB的垂直平分线的方程为y 3 x 2 即x y 1 0 又圆心在直线y 0 上 因此圆心坐标是方程组 x y 1 0 y 0 半径r 22 40 11 20 所以得所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 20 因为M1到圆心C 1 0 的距离为 M1C 所以M2在圆C外 22 04 12 2520 理 已知动圆M x2 y2 2mx 2ny m2 1 0 与圆N x2 y2 2x 2y 2 0 交于A B两点 且这两点平分圆N的圆周 1 求动圆M的圆心的轨迹方程 2 求半径最小时圆M的方程 解 1 如图所示 坐标系省略了 圆心N 1 1 为弦AB的中点 在Rt AMN中 A B M N AM 2 AN 2 MN 2 m 1 2 2 n 2 故动圆圆心M的轨迹方程为 x 1 2 2 y 2 2 由 式 知 m 1 2 2 n 2 0 于是有n 2 而圆M半径r 1 2 n5 当r 时 n 2 m 1 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 5 探究创新探究创新 9 2005 年黄冈市调研考试题 如图 在平面斜坐标系xOy中 xOy 60 平面上任 一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的 的解 即圆心坐标为 1 0 7 若 xe e1 ye e2 其中e e1 e e2分别为与x轴 y轴同方向的单位向量 则P点斜坐标为OP x y O x y 60 o 1 若P点斜坐标为 2 2 求P到O的距离 PO 2 求以O为圆心 1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程 解 1 P点斜坐标为 2 2 2e e1 2e e2 2 2e e1 2e e2 2 8 8e e1 e e2 8 8 cos60 4 OPOP 2 即 OP 2 OP 2 设圆上动点M的斜坐标为 x y 则 xe e1 ye e2 OM xe e1 ye e2 2 1 x2 y2 2xye e1 e e2 1 x2 y2 xy 1 故所求方程为x2 y2 xy 1 思悟小结 1 不论圆的标准方程还是一般方程 都有三个字母 a b r或D E F 的值需要确 定 因此需要三个独立的条件 利用待定系数法得到关于a b r 或D E F 的三个方程 组成的方程组 解之得到待定字母系数的值 2 求圆的方程的一般步骤 1 选用圆的方程两种形式中的一种 若知圆上三个点的坐标 通常选用一般方程 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系 通常选用标准方程 2 根据所给条件 列出关于D E F或a b r的方程组 3 解方程组 求出D E F或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所 求圆的方程 3 解析几何中与圆有关的问题 应充分运用圆的几何性质帮助解题 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x y项只是表示圆的必要条件而不是 充分条件 2 如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时 一般用标准方程 如 果给出圆上的三个点的坐标 一般用一般方程 3 在一般方程中 当D2 E2 4F 0 时 方程表示一个点 当D2 E2 4F 0 2 D 2 E 时 无轨迹 4 在解决与圆有关的问题时 要充分利用圆的特殊几何性质 这样会使问题简单化 5 数形结合 分类讨论 函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用 应熟练 掌握 拓展题例拓展题例 8 例 1 圆x2 y2 1 内有一定点A 0 圆上有两点P Q 若 PAQ 90 求过点 2 1 P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程 分析 先求出PQ中点E的轨迹方程为x2 y2 x 0 2 1 8 3 AO P M Q x y 再求切点弦PQ所在直线的方程 解 设P x1 y1 Q x2 y2 则过P Q的切线方程分别是 x1x y1y 1 x2x y2y 1 又M m n 在这两条切线上 有mx1 ny1 1 mx2 ny2 1 P Q两点的坐标满足方程mx ny 1 又两点确定唯一一条直线 PQ所在直线的方程是mx ny 1 又 E为直线OM与PQ之交点 解方程组 mx ny 1 y x m n x y 22 nm m 22 nm n 将 代入中点E的轨迹方程得x2 y2 x 0 2