2012届高考数学一轮复习 4.1 三角函数的概念教案

1 第四章第四章 三角函数三角函数 网络体系总览 定义公式 解三角形 和 差 倍 半角公式 图象 四种基本函数及其 变形 平移 翻转 伸缩等 性质 如y A B sin w j 研究定义域 值域 奇 偶性 单调性 周期性等 单位圆与三角函数线 诱导公式 a a a a 22 等六种三角函数 x 角的概念推广 考点目标定位 1 理解任意角的概念 弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 2 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正 弦 余弦和正切 了解任意角的余切 正割 余割的定义 掌握同角三角函数的基本关系式 掌握正弦 余弦的诱导公式 3 掌握两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 通过公式的推导 了解它们的内在联系 从而培养逻辑推理能力 能正确运用三角公式 进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 包括引出积化 和差 和差化积 半角公式 但不要求记忆 4 会用正弦线 正切线画出正弦函数 正切函数的图象 并在此基础上由诱导公式画出 余弦函数的图象 理解周期函数与最小正周期的意义 并通过它们的图象理解正弦 余弦 正切函数的性质 会用 五点法 画正弦函数 余弦函数和函数y Asin x 的简图 理解A 的物理意义 5 了解反正弦 反余弦 反正切的概念 会用反三角表示角 复习方略指南 本部分内容历来为高考命题的热点 其分值约占 20 一般都是三或四个小题 一个大 题 小题主要考查三角函数的基本概念 图象 性质及 和 差 倍角 公式的运用 大题则 着重考查y Asin x 的图象和性质及三角函数式的恒等变形 试题大都来源于课本中 的例题 习题的变形 一般为容易题或中档题 因此复习时应 立足于课本 着眼于提高 本章内容公式多 三角函数作为工具 和其他知识间的联系密切 因此复习中应注意 1 弄清每个公式成立的条件 公式间的内在联系及公式的变形 逆用等 切不可死记硬 背 要在灵 活 巧上下功夫 2 本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向 在本章复习中 应深刻 理解数与形的内在联系 理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简 求值 证明等无一 不体现等价转化思想 3 通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法 并从中体会 变换美 2 4 有关三角函数方面的应用题 大都需要用 辅助角公式 asinx bcosx 22 ba sin x 其中角所在象限由a b的符号确定 角的值由 tan 确定 将函数化 a b 成y Asin x h的形式 再求其最值或周期等 3 4 1 三角函数的概念 同角三角函数的关系 诱导公式 知识梳理 1 任意角的三角函数 设 是一个任意角 的终边上任意一点P x y 与原点的距离是 r r 0 则 sin cos tan 22 yx r y r x x y 上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变 2 同角三角函数关系式 sin2 cos2 1 平方关系 tan 商数关系 cos sin tan cot 1 倒数关系 3 诱导公式 2k k Z Z 2 的三角函数值 等于 的同名函数值 前面 加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 另外 sin cos cos sin 2 2 点击双基 1 已知 sin cos 那么 的终边在 2 5 3 2 5 4 A 第一象限B 第三或第四象限 C 第三象限D 第四象限 解析 sin 2sincos 0 cos cos2 sin2 0 2 2 25 24 2 2 25 7 终边在第四象限 答案 D 2 设 cos t 则 tan 等于 A B C D t t 2 1 t t 2 1 t t 2 1 2 1t t 解析 tan tan cos sin cos t 又 sin tan 2 1t t t 2 1 答案 C 3 是第二象限角 P x 为其终边上一点且 cos x 则x的值为5 4 2 A B C D 3332 解析 cos x x 0 舍去 或x 舍去 或x r x 5 2 x x 4 2 33 4 答案 C 4 若 则 的取值范围是 sin sin1 cos sin1 解析 sin sin1 cos sin1 cos sin1 cos 0 2k 2k k Z Z 2 2 答案 2k 2k k Z Z 2 2 5 化简 8sin1 解析 sin4 cos4 sin4 cos4 8sin1 2 4cos4sin 答案 sin4 cos4 典例剖析 例 1 1 若 是第二象限的角 则的符号是什么 2sincos cossin 2 求 2 的范围 3 4 3 剖析 1 确定符号 关键是确定每个因式的符号 而要分析每个因式的符号 则关 键看角所在象限 2 可以把 与 看成两个变量 整体思想 然后把 2 用这两个变 量表示出来即可 解 1 2k 2k k Z Z 2 1 cos 0 4k 2 4k 2 1 sin2 0 sin cos 0 cos sin2 0 0 2sincos cossin 2 设x y 2 mx ny 则 2 m m n n m n m n m n 2 x y 1 2 nm nm 2 1 2 3 2 1 2 3 x y 3 4 3 x y 2 2 1 3 2 2 3 2 3 2 x y 2 1 2 3 6 评述 1 解此题的常见错误是 5 3 4 3 得 0 2 由 得 3 得 2 3 4 3 7 3 2 6 7 6 7 3 2 得 2 6 7 3 2 本题可用线性规划求解 不妨一试 例 2 已知 cos 且 0 3 1 2 求的值 tancos 2sin cot 剖析 从 cos 中可推知 sin cot 的值 再用诱导公式即可求之 3 1 解 cos 且 0 sin cot 3 1 2 3 22 4 2 原式 cot tancos sincot sin sincot 4 2 评述 三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题 也是常考的问题之一 例 3 已知 sin sin 1 求 sin 2 的值 3 1 剖析 由已知 sin 1 则 2k 再将 2 改造成 2 2 即可求之 解 sin 1 2k 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 评述 整体代入是常用的技巧 这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函 数名称之间的关系 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 角 的终边过点P 8m 6cos60 且 cos 则m的值是 5 4 A B C D 2 1 2 1 2 3 2 3 解析 P 8m 3 cos 964 8 2 m m 5 4 6 m 或m 舍去 2 1 2 1 答案 A 2 设 是第二象限的角 且 sin sin 则下列不等式能成立的是 A cos cos B tan tan C cot cot D sec sec 解析 A 与 D 互斥 B 与 C 等价 则只要判断 A 与 D 对错即可 利用单位圆或特殊值法 易知选 A 答案 A 3 已知 tan110 a 则 tan50 解析 tan50 tan 110 60 60tan110tan1 60tan110tan a a 31 3 答案 a a 31 3 4 2004 年北京东城区二模题 已知 sin cos 那么角 是第 象限的 5 1 角 解析 两边平方得 1 2sin cos 25 1 sin cos 0 25 12 是第二或第四象限角 答案 第二或第四 5 若 sin cos 0 sin tan 0 化简 2 sin1 2 sin1 2 sin1 2 sin1 解 由所给条件知 是第二象限角 则是第一或第三象限角 2 原式 2 sin1 2 sin1 2 sin1 2 2 cos 2 22 sec2 22 sec2 是第三象限角 是第一象限角 6 化简 k Z Z cos sin 1cos 1sin kk kk 解 当k 2n n Z Z 时 7 原式 1 2cos 2sin 2cos 2sin nn nn cossin cossin 当k 2n 1 n Z Z 时 原式 1 2cos 2sin 22cos 22sin nn nn cossin cossin 综上结论 原式 1 培养能力 7 2005 年北京东城区模拟题 已知 tan 2 求 4 1 tan 的值 2 sin2 sin2 cos2 的值 1 解 tan 2 tan 4 tan tan1 3 1 2 解法一 sin2 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 2sin cos cos2 2 coscossin2 22 2 cossin coscossin2 2 tan tan2 2 3 解法二 sin2 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 2sin cos cos2 tan 为第一象限或第三象限角 3 1 当 为第一象限角时 sin cos 代入 得 10 1 10 3 2sin cos cos2 2 3 当 为第三象限角时 sin cos 代入 得 10 1 10 3 2sin cos cos2 2 3 综上所述 sin2 sin2 cos2 2 3 8 已知 sin cos 若 是第二象限角 求实数a的值 a a 1 1 a a 1 13 解 依题意得 1 1 13 1 1 0 1 13 1 1 1 1 0 22 a a a a a a a a 解得a 或a 1 舍去 9 1 8 故实数a 9 1 9 设 0 试证明 sin tan 2 证明 如下图 在平面直角坐标系中作单位圆 设角 以x轴正半轴为始边 终边与 单位圆交于P点 x y P OM T A a S OPA S扇形OPA S OAT MP AT 2 1 2 1 2 1 sin tan 探究创新探究创新 10 是否存在 0 使等式 sin 3 2 2 cos cos cos 同时成立 若存在 求出 2 2 32 的值 若不存在 请说明理由 解 由条件得 cos2cos3 sin2sin 2 2得 sin2 3cos2 2 cos2 2 1 或 2 2 4 4 将 代入 得 cos 又 0 代入 可知 符合 4 2 3 6 将 代入 得 代入 可知 不符合 4 6 综上可知 4 6 思悟小结 1 要熟悉任意角的概念 弧度制与角度制的互化 弧度制下的有关公式 任意角的三角 函数概念 2 在已知一个角的三角函数值 求这个角的其他三角函数值时 要注意题设中角的范围 并就不同的象限分别求出相应的值 3 注意公式的变形使用 弦切互化 三角代换 消元是三角变换的重要方法 要尽量减 少开方运算 慎重确定符号 4 注意 1 的灵活代换 如 1 sin2 cos2 sec2 tan2 csc2 cot2 tan cot 9 5 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正负号 的正确判断 一般常用 奇变偶不 变 符号看象限 的口诀 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 本课时概念多且杂 要求学生在预习的基础上 先准确叙述回忆 复习中注意 三基 的落实 2 利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简 求值 证明时 要细心观察题目的特 征 注意培养学生观察 分析问题的能力 并注意做题后的总结 引导学生总结一般规律 如 切割化弦 1 的巧代 sin cos sin cos sin cos 这三个式子间的 关系 拓展题例拓展题例 例 1 求 sin21 sin22 sin290 分析 sin21 cos21 sin21 sin289 1 故可倒序相加