导数及其应用

大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 课题 导数及其应用 课题 导数及其应用 1 考试要求考试要求 求函数的导数 用导数判断或证明单调性 求函数的极值和最值 利用导数解决实际问题 导数的概念 A 级 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导 数在实际问题中的应用 B 级 基础自测基础自测 1 等比数列 an 中 a1 2 a8 4 函数 f x x x a1 x a2 x a8 则 f 0 2 已知函数在定义域内是增函数 则实数的取值范围为 xxmxxf2ln 2 m 3 若过原点作曲线 y ex的切线 则切点的坐标为 切线的斜率为 4 若曲线 f x ax5 ln x 存在垂直于 y 轴的切线 则实数 a 的取值范围是 5 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 则函数 xf ba x f ba 在开区间内有极小值点 个 xf ba a b x y xfy O a b x y xfy O 典例剖析 例 1 已知函数 3 f xxx 1 求曲线在点处的切线方程 yf x M tf t 2 设 如果过点可作曲线的三条切线 证明 0a ab yf x abf a 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 训练训练 1 已知函数 的图象为曲线 xxxxf32 3 1 23 Rx C 1 求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围 C 2 若曲线上存在两点处的切线互相垂直 求其中一条切线与曲线的切点的横坐CC 标的取值范围 3 试问 是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点 如果存在 求出符合条 件的所有直线方程 若不存在 说明理由 例 例 设函数 2 1 2 lnf xxkx 1 当 k 2 时 求函数 f x 的增区间 2 当 k 0 时 求函数 g x 在区间 0 2 上的最小值 fx 训练训练 2 设 2 0 1ln2 ln 0 af xxxax x 1 令讨论 F x 在内的单调性并求极值 F xxfx 0 2 求证 当 x 1 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 课题 导数及其应用 课题 导数及其应用 2 例 1 设函数 f x ex 1 x ax2 1 若 a 0 求 f x 的单调区间 2 若当 x 0 时 f x 0 求 a 的取值范围 解析 1 若 a 0 f x ex 1 x f x ex 1 当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 故 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 f x ex 1 2ax 由 1 知 ex 1 x 当且仅当 x 0时等号成立 故 f x x 2ax 1 2a x 从而当1 2a 0 即 a 1 2时 f x 0 x 0 f x 在 0 上单调增加 而 f 0 0 于是当 x 0时 f x 0 由 ex 1 x x 0 可得 e x 1 x x 0 从而当 a 1 2时 f x ex 1 2a e x 1 e x ex 1 ex 2a 令 e x ex 1 ex 2a 0 得1 ex 2a 0 x ln2a 故当 x 0 ln2a 时 f x 0 f x 在 0 2ln2a 上单调减少 而 f 0 0 于是当 x 0 ln2a 时 f x 0 不符合要求 综上 可得 a 的取值范围是 1 2 例例 2 已知 2 ln 3f xxx g xxax 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 1 求函数在上的最小值 f x 2 0 t tt 2 对一切 恒成立 求实数 a 的取值范围 0 x 2 f xg x 3 证明 对一切 都有成立 0 x 12 ln x x eex 训练训练 1 1 设 e 为自然对数的 2 ln 2 e p qeegxxfxf x q pxxg且其中 底数 1 求 p 与 q 的关系 2 若在其定义域内为增函数 求 p 的取值范围 xg 3 证明 n N n 2 1f xx 1 4 12ln 3 3ln 2 2ln 2 222 n nn n n 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 当堂反馈 1 已知函数 f x 的导函数 f x 2x 9 且 f 0 的值为整数 当 x n n 1 n N 时 f x 所有可能取的整数值有且只有 1 个 则 n 2 若 f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则 b 的取值范围是 1 2 3 当时 恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 x 32 1 2 2 xxxm 课后练习 1 已知曲线处切线的1 27 1 13 0 24 xffbxaxxxf则曲线在且 倾斜角为 2 函数在区间上的最小值是 3 12f xxx 33 3 已知直线与曲线有公共点 则的取值范围是 kxy xyln k 4 在上 函数与在同一点取得相同的最小 1 2 2 x 2 f xxPxq 33 22 x g x x 值 那么在上的最大值是 f x 1 2 2 x 5 已知函数有极大值和极小值 则 a 的取值范围 1 6 23 xaaxxxf 6 已知是 R 上的奇函数 在上有 且 xf 0 0 2 2 2 xfxfx0 2 f 则的解集为 0 2 xfx 7 设函数R 若上为增函数 aaxxaxxf其中 86 1 32 23 0 在xf 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲义 求 a 的取值范围 8 已知 直线 与函数 的图像都 lnf xx 2 17 22 g xxmx 0m l f x g x 相切 且与函数的图像的切点的横坐标为 1 则 f xm 9 已知函数上为增函数 2 3 1 2 1 3 1 23 在区间且xfkxxgx k xxf 1 求 k 的取值范围 2 若函数的图象有三个不同的交点 求实数 k 的取值范围 xgxf与 10 设函数 已知和为的极值点 2132 x f xx eaxbx 2x 1x f x 求和的值 ab 讨论的单调性 f x 设 试比较与的大小 32 2 3 g xxx f x g x 大江中学 2013 届高三数学二轮复习讲