2012高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（A）9(A)-7试题

用心 爱心 专心1 第九章 第九章 A A 第七讲第七讲 时间 60 分钟 满分 100 分 一 选择题 8 5 40 分 1 2009 河北唐山一模 球的一个截面是半径为 3 的圆 球心到这个截面的距离是 4 则该球的表面积是 A 100 B 50 C D 500 3 100 3 答案 A 解析 由已知得球的半径为 5 所以S 4 R2 100 故选 A 2 2009 黄冈一模 过半径为 2 的球O表面上一点A作球O的截面 若OA与该截面所 成的角是 60 则该截面的面积是 A B 2 C 3 D 2 3 答案 A 解析 如图 截面圆的半径r 1 S截面 r2 故选 A 3 2009 吉林长春一模 已知各顶点都在同一个球面上的正四锥棱高为 3 体积为 6 则这个球的表面积是 A 16 B 17 C 21 D 25 答案 A 解析 如图 设底面正方形的边长为a 球半径为x 则V a2 3 6 a 在 1 36 OCO 中 3 x 2 2 x2 x 2 3 所以S球 4 R2 4 x2 16 故选 A 4 正方体的内切球与外接球的半径之比为 A 2 B 2 C 3 D 3 2336 答案 C 解析 设内切球和外接球的半径分别为r和R 正方体的棱长为a 则 r R a r R 3 故选 C a 2 3 23 5 设地球的半径为R 若甲地位于北纬 35 东经 110 乙地位于南纬 85 东经 110 则甲 乙两地的球面距离为 A R B R C R D R 2 3 6 5 63 答案 A 解析 如图易得甲 乙两地所对的球心角为 故球面距离为R 2 3 2 3 用心 爱心 专心2 6 2009 南昌市三年级调研试卷 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切 已知这个球的体积为 36 那么这个正三棱柱的体积是 A 27 B 36 C 54 D 162 3333 答案 D 解析 设正三棱柱的底面边长是a 依题意得球的半径R 3 正三棱柱的高等于该球的 直径 即等于 6 且有 tan30 则a 6 因此该正三棱柱的体积等于 6 3 a 2 6 a3 3 43 2 6 162 选 D 3 7 四面体ABCD的外接球球心在CD上 且CD 2 AB 在外接球面上A B两点间 3 的球面距离是 A B C D 6 3 2 3 5 6 答案 C 解析 如图 球心O为CD中点 CD 2 R 1 在 OAB中 OA OB R 1 又 AB 3 AOB A B两点间的球面距离为 R 故选 C 2 3 2 3 2 3 8 如图所示 在正三棱锥S ABC中 M N分别是SC BC的中点 且MN AM 若侧棱 SA 2 则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 3 A 12 B 32 C 36 D 48 答案 C 解析 MN AM BS AM 又由题意可得SB AC SB 平面SAC SA SB SC两 两垂直 将S ABC补成正方体 则S ABC的外接球与正方体的外接球相同 球的直径等于 正方体的对角线长 2R 2 R 3 S 4 R2 4 9 36 故选 C 33 规律总结 有关立体几何问题的处理 通常结合已知条件 将相关的几何体转化到一个 用心 爱心 专心3 特殊的几何图形 或适当地构造相关的几何图形 中 通常转化到长方体或正方体中 从而将 问题解决 二 填空题 4 5 20 分 9 湖面上漂着一个小球 湖水结冰后将球取出 冰面上留下了一个直径为 12 cm 深 2cm 的空穴 则该球的半径是 cm 表面积是 cm2 答案 10 400 解析 由题意 设球半径为R 则R2 R 2 2 62 R 10 球表面积S 4 R2 400 10 已知A B C三点在球心为O 半径为 3 的球面上 且几何体O ABC为正四面体 那么A B两点的球面距离为 点O到平面ABC的距离为 答案 6 解析 AOB 60 那么A B两点的球面距离为 三角形ABC的外接圆的半径为 R 2R 2 R 则点O到平面ABC的距离为 故填 3 sin60 3332 R266 11 2009 全国 15 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球 面得到圆M 若圆M的面积为 3 则球O的表面积等于 答案 16 解析 由题意得圆M的半径r 又球心到圆M的距离为 由勾股定理得R2 r2 3 R 2 R 2 2 R 2 则球的表面积为 4 22 16 故填 16 12 2009 全国 15 设OA是球O的半径 M是OA的中点 过M且与OA成 45 角的 平面截球O的表面得到圆C 若圆C的面积等于 则球O的表面积等于 7 4 答案 8 解析 设圆C的半径为r 有 r2 得r2 又设球的半径为R 如图所示 有 7 4 7 4 OB R OC R CB r 在 Rt OCB中 有 OB 2 OC 2 CB 2 即 R 2 2 2 2 4 R2 R2 r2 R2 1 8 7 8 7 4 R2 2 S球 4 R2 8 三 解答题 4 10 40 分 13 把地球当作半径为R的球 地球上A B两地都在北纬 45 A B两点的球面距离 是R A点在东经 20 求B点的位置 3 解析 如图 求B点的位置即求B点的经度 设B点在东经 用心 爱心 专心4 A B两点的球面距离是R 3 AOB 因此三角形AOB是等边三角形 AB R 3 又 AO1B 20 经度差 问题转化为在 AO1B中借助AO1 BO1 AOcos45 R 2 2 求出 AO1B 90 则 110 同理 B点也可在西经 70 即B点在北纬 45 东 经 110 或西经 70 14 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面 它们的面积分别为 49 cm2和 400 cm2 求球的表面积和体积 解析 如图 两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1 BO2 则AO1 BO2 若O1 O2分别为两截面圆的圆心 则由等腰三角形性质易知OO1 AO1 OO2 BO2 设球半径为R O2B2 49 O2B 7cm 同理O1A 20cm 设OO1 xcm 则OO2 x 9 cm 在Rt OO1A中 R2 x2 202 在Rt OO2B中 R2 x 9 2 72 x2 202 72 x 9 2 解得x 15cm R 25cm S球 2500 cm2 V球 R3 cm3 4 3 62500 3 15 设A B C是半径为 1 的球面上的三点 B C两点间的球面距离为 点A与 3 B C两点间的球面距离均为 O为球心 求 2 1 AOB BOC的大小 2 球心O到截面ABC的距离 解析 1 如图 因为球O的半径为 1 B C两点间的球面距离为 3 点A与B C两点间的球面距离均为 所以 BOC AOB AOC 2 3 2 2 因为BC 1 AC AB 所以由余弦定理得 cos BAC sin BAC 设截面 2 3 4 7 4 圆的圆心为O1 连结AO1 则截面圆的半径r AO1 由正弦定理得r 所以OO1 BC 2sin BAC 2 7 7OA2 r2 21 7 16 如图四棱锥A BCDE中 AD 底面BCDE AC BC AE BE 1 求证 A B C D E五点共球 2 若 CBE 90 CE AD 1 求B D两点的球面距离 3 解析 1 证明 取AB的中点P 连