2007年全国高中联赛一试 苏教版

用心 爱心 专心1 20072007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷年全国高中数学联合竞赛一试试卷 考试时间 上午 8 00 9 40 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 如图 在正四棱锥P ABCD中 APC 60 则二面角A PB C 的平面角的余弦值为 A 7 1 B 7 1 C 2 1 D 2 1 2 设实数a使得不等式 2x a 3x 2a a2对任意实数x恒成立 则满足条件的a所组成的集合是 A 3 1 3 1 B 2 1 2 1 C 3 1 4 1 D 3 3 3 将号码分别为 1 2 9 的九个小球放入一个袋中 这些小球仅号码不同 其余完全 相同 甲从袋中摸出一个球 其号码为a 放回后 乙从此袋中再摸出一个球 其号码为 b 则使不等式a 2b 10 0 成立的事件发生的概率等于 A 81 52 B 81 59 C 81 60 D 81 61 4 设函数f x 3sinx 2cosx 1 若实数a b c使得af x bf x c 1 对任意实数x恒 成立 则 a cbcos 的值等于 A 2 1 B 2 1 C 1D 1 5 设圆O1和圆O2是两个定圆 动圆P与这两个定圆都相切 则圆P的圆心轨迹不可能是 6 已知A与B是集合 1 2 3 100 的两个子集 满足 A与B的元素个数相同 且 为A B空集 若n A时总有 2n 2 B 则集合A B的元素个数最多为 A 62B 66C 68D 74 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 在平面直角坐标系内 有四个定点A 3 0 B 1 1 C 0 3 D 1 3 及一个动 点P 则 PA PB PC PD 的最小值为 8 在 ABC和 AEF中 B是EF的中点 AB EF 1 BC 6 33 CA 若2 AFACAEAB 则EF与BC的夹角的余弦值等于 9 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 以顶点A为球心 3 32 为半径作一个球 则球 面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 10 已知等差数列 an 的公差d不为 0 等比数列 bn 的公比q是小于 1 的正有理数 若 a1 d b1 d2 且 321 2 3 2 2 2 1 bbb aaa 是正整数 则q等于 11 已知函数 4 5 4 1 2 cos sin x x x x xf 则f x 的最小 值为 12 将 2 个a和 2 个b共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内 每个 小方格内至多填 1 个字母 若使相同字母既不同行也不同列 则不同的填 法共有 种 用数字作答 D AB C P 用心 爱心 专心2 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 13 设 n k n knk a 1 1 1 求证 当正整数n 2 时 an 10 成立的事件发生的概率等于 D A 81 52 B 81 59 C 81 60 D 81 61 解 甲 乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果 故基本事件总数为 92 81 个 由 不等式a 2b 10 0 得 2b a 10 于是 当b 1 2 3 4 5 时 每种情形a可取 1 2 9 中每一个值 使不等式成立 则共有 9 5 45 种 当b 6 时 a可取 3 4 9 中每一个值 有 7 种 当b 7 时 a可取 5 6 7 8 9 中每一个值 有 5 种 当b 8 时 a可取 7 8 9 中每一个值 有 3 种 当b 9 时 a只能取 9 有 1 种 于是 D AB C P M 用心 爱心 专心4 所求事件的概率为 81 61 81 135745 4 设函数f x 3sinx 2cosx 1 若实数a b c使得af x bf x c 1 对任意实数x恒 成立 则 a cbcos 的值等于 C A 2 1 B 2 1 C 1D 1 解 令c 则对任意的x R 都有f x f x c 2 于是取 2 1 ba c 则对任 意的x R af x bf x c 1 由此得1 cos a cb 一般地 由题设可得1 sin 13 xxf 1 sin 13 cxcxf 其中 2 0 且 3 2 tan 于是af x bf x c 1 可化为 1 sin 13 sin 13 bacxbxa 即 0 1 cos sin13cos sin 13 sin 13 baxcbcxbxa 所以 0 1 cos sin13 sin cos 13 baxcbxcba 由已知条件 上式对任意x R恒成立 故必有 3 01 2 0sin 1 0cos ba cb cba 若b 0 则由 1 知a 0 显然不满足 3 式 故b 0 所以 由 2 知 sinc 0 故 c 2k 或c 2k k Z 当c 2k 时 cosc 1 则 1 3 两式矛盾 故 c 2k k Z cosc 1 由 1 3 知 2 1 ba 所以1 cos a cb 5 设圆O1和圆O2是两个定圆 动圆P与这两个定圆都相切 则圆P的圆心轨迹不可能是 A 解 设圆O1和圆O2的半径分别是r1 r2 O1O2 2c 则一般地 圆P的圆心轨迹是焦点 为O1 O2 且离心率分别是 21 2 rr c 和 2 21 rr c 的圆锥曲线 当r1 r2时 O1O2的中垂线是轨 迹的一部份 当c 0 时 轨迹是两个同心圆 当r1 r2且r1 r2 2c时 圆P的圆心轨迹如选项 B 当 0 2c r1 r2 时 圆P的圆心轨迹如 选项 C 当r1 r2且r1 r2 2c时 圆P的圆心轨迹如选项 D 由于选项 A 中的椭圆和双曲 线的焦点不重合 因此圆P的圆心轨迹不可能是选项 A 6 已知A与B是集合 1 2 3 100 的两个子集 满足 A与B的元素个数相同 且 为A B空集 若n A时总有 2n 2 B 则集合A B的元素个数最多为 B A 62B 66C 68D 74 解 先证 A B 66 只须证 A 33 为此只须证若A是 1 2 49 的任一个 34 元 子集 则必存在n A 使得 2n 2 B 证明如下 将 1 2 49 分成如下 33 个集合 1 4 3 8 5 12 23 48 共 12 个 2 6 10 22 14 30 18 38 共 4 个 25 27 29 49 共 13 个 26 34 42 46 共 4 个 由于A是 1 2 49 的 34 元子集 从而由抽屉原理 用心 爱心 专心5 可知上述 33 个集合中至少有一个 2 元集合中的数均属于A 即存在n A 使得 2n 2 B 如取A 1 3 5 23 2 10 14 18 25 27 29 49 26 34 42 46 B 2n 2 n A 则A B满足题设且 A B 66 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 在平面直角坐标系内 有四个定点A 3 0 B 1 1 C 0 3 D 1 3 及一个动点P 则 PA PB PC PD 的最小值为 5223 解 如图 设AC与BD交于F点 则 PA PC AC FA FC PB PD BD FB FD 因此 当动点P与F点重合时 PA PB PC PD 取到最小值5223 BDAC 8 在 ABC和 AEF中 B是EF的中点 AB EF 1 BC 6 33 CA 若2 AFACAEAB 则EF与BC的夹角的余弦值等于 3 2 解 因为2 AFACAEAB 所以2 BFABACBEABAB 即 2 2 BFACABACBEABAB 因为1 2 AB 1 1332 36133 133 ABAC BFBE 所以21 1 ABACBF 即 2 BCBF 设EF与BC的夹角为 则有2cos BCBF 即 3cos 2 所 以 3 2 cos 9 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 以顶点A为球心 3 32 为半径作一个球 则球面与正方体的表面相交所得到的曲 线的长等于 6 35 解 如图 球面与正方体的六个面都相交 所得的交线分为两 类 一类在顶点A所在的三个面上 即面AA1B1B 面ABCD和面 AA1D1D上 另一类在不过顶点A的三个面上 即面BB1C1C 面 CC1D1D和面A1B1C1D1上 在面AA1B1B上 交线为弧EF且在过球心A的大圆上 因为 3 32 AE AA1 1 则 6 1 AEA 同理 6 BAF 所以 6 EAF 故弧EF的长 为 9 3 63 32 而这样的弧共有三条 在面BB1C1C上 交线为弧FG且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上 此时 小圆的圆心为 B 半径为 3 3 2 FBG 所 以弧FG的长为 6 3 23 3 这样的弧也有三条 于是 所得的曲线长为 6 35 6 3 3 9 3 3 10 已知等差数列 an 的公差d不为 0 等比数列 bn 的公比q是小于 1 的正有理数 若 a1 d b1 d2 且 321 2 3 2 2 2 1 bbb aaa 是正整数 则q等于 2 1 P F D C B A 用心 爱心 专心6 解 因为 22 111 2 1 2 1 2 1 321 2 3 2 2 2 1 1 14 2 qqqbqbb dadaa bbb aaa 故由已知条件知道 1 q q2为 m 14 其中m为正整数 令 m qq 14 1 2 则 m m m q 4 356 2 1 1 14 4 1 2 1 由于q是小于 1 的正有理数 所以3 14 1 m 即 5 m 13 且 m m 4 356 是某个有理数的平方 由此可知 2 1 q 11 已知函数 4 5 4 1 2 cos sin x x x x xf 则f x 的最小值为 5 54 解 实际上 4 5 4 1 2 4 sin 2 x x x xf 设 4 5 4 1 4 sin 2 x xxg 则g x 0 g x 在 4 3 4 1 上是增函数 在 4 5 4 3 上 是减函数 且y g x 的图像关于直线 4 3 x对称 则对任意 4 3 4 1 1 x 存在 4 5 4 3 2 x 使g x2 g x1 于是 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 xf x xg x xg x xg xf 而f x 在 4 5 4 3 上是减函数 所以 5 54 4 5 fxf 即f x 在 4 5 4 1 上的最小值是 5 54 12 将 2 个a和 2 个b共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内 每个 小方格内至多填 1 个字母 若使相同字母既不同行也不同列 则不同的填 法共有 3960 种 用数字作答 解 使 2 个a既不同行也不同列的填法有C42A42 72 种 同样 使 2 个b 既不同行也不同列的填法也有C42A42 72 种 故由乘法原理 这样的填法 共有 722种 其中不符合要求的有两种情况 2 个a所在的方格内都填有b的情况有 72 种 2 个a所在的方格内仅有 1 个方格内填有b的情况有C161A92 16 72 种 所以 符合题设条 件的填法共有 722 72 16 72 3960 种 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 13 设 n k n knk a 1 1 1 求证 当正整数n 2 时 an 1 an 证明 由于 1 11 1 1 1 1 knknknk 因此 n k n kn a 1 1 1 2 于是 对任意的正 整数n 2 有 1 11 1 1 2 11 1 1 2 1 n k n k nn knkn aa 0 1 1 2 1 1 2 1 11 2 1 1 1 11 n k n k knnnnknn 即an 10 1 0 1 1 21 k xx 2 0 1 1 21 k xx 3 由此解得1 4 3 k 对 x xy 1 求导 得 2 1 1 x y 则 2 1 1 1 1 x y xx 2 2 1 1 2 x y xx 于是直线l1的方程为 1 1 1 2 1 1 xx x yy 即 1 1 1 1 2 11 1 xx xx xy 化简后得到直线l1的方程 为 1 2 1 2 1 1 x x x y 4 同理可求得直线l2的方程为 2 2 2 2 1 1 x x x y 5 4 5 得0 22 11 21 2 1 2 2 xx x xx p 因为x1 x2 故有 21 21 2 xx xx xp 6 将 2 3 两式 代入 6 式得xp 2 4 5 得 11 2 11 2 2 21 2 2 2 1 xx x xx y pp 7 其中 1 11 21 21 21 xx xx xx 12 1 21 2 2 11 21 2 21 21 2 2 2 1 21 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 kk xxxx xx xx xxxx xx xx xx 代入 7 式得 2yp 3 2k xp 2 而xp 2 得yp 4 2k 又由1 4 3 k得 2 5 2 p y 即点P的 轨迹为 2 2 2 2 5 两点间的线段 不含端点 15 设函数f x 对所有的实数x都满足f x 2 f x 求证 存在 4 个函数fi x i 1 2 3 4 满足 1 对i 1 2 3 4 fi x 是偶函数 且对任意的实数x 有 fi x fi x 2 对任意的实数x 有f x f1 x f2 x cosx f3 x sinx f4 x sin2x 证明 记 2 xfxf xg 2 xfxf xh 则f x g x h x 且g x 是 偶函数 h x 是奇函数 对任意的x R g x 2 g x h x 2 h x 令 2 1 x