崇雅中学高中部2015届文科数学周末训练题答卷

崇雅中学高中部崇雅中学高中部 20152015 届文科数学周末训练题答卷届文科数学周末训练题答卷 2014 年 6 月 1 日 班级 姓名 分数 一 选择题 题 号12345678910 选 项 二 填空题 11 12 13 14 15 16 本小题满分 12 分 设为 ABC 的内角 A B C 所对的边 复数 cba iaAz sin3 1 若iBcAz cos 4 cos 22 2 21 zz 1 求 的值 2 求的值 AA AA cossin5 cos2sin3 Bcos 17 本题满分 12 分 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名 高二年级学生有 460 名 高三年级学生有 500 名 为了解学校食堂的服务质量情况 用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样 调查 把学生对食堂的 服务满意度 与 价格满意度 都分为五个等级 1 级 很不满 意 2 级 不满意 3 级 一般 4 级 满意 5 级 很满意 其统计结果如下表 服 务满意度为 价格满意度为 xy 价格满意度人数 y x12345 111220 221341 337884 414641 服 务 满 意 度 501231 1 求高二年级共抽取学生人数 2 求 服务满意度 为 3 时的 5 个 价格满意度 数据的方差 3 为提高食堂服务质量 现从且的所有学生中随机抽取两人征求意见 3x 24y 求至少有一人的 服务满意度 为 1 的概率 18 本题 14 分 在直角梯形中 ABCD 点 为中点 将沿折90ADC CDAB 1 2 2 ADCDAB EACADC AC 起 使平面平面 得到几何体 ADC ABCDABC 1 求证 DABC 2 在上找一点 使平面 CDF ADEFB 3 求点到平面 BCD 的距离 A 19 14 分 已知各项均为正数的等比数列的首项 为其前项和 若 n a 1 2a n Sn 1 5S 成等差数列 1 求数列的通项公式 3 S 2 3S n a 2 设 记数列的前项和 若对 2 log nn ba 1 1 n nn c b b n cn n TnN 恒成立 求实数的取值范围 4 n Tk n k B A CD 图图 1 E A B C D 图图 2 E 20 14 分 已知椭圆的离心率为 且经过点 22 22 1 0 xy Cab ab 6 3 3 1 2 2 1 求椭圆的方程 C 2 过点的直线交椭圆于 两点 求为原点 面积的最大 0 2 PCAB AOB O 值 21 14 分 已知函数 且导函数的图像过原点 32 11 32 a f xxxbxa a b R fx 1 当时 求函数的图像在处的切线方程 1a f x3x 2 若存在 使得 求的最大值 0 x 9fx a 3 当时 求函数的零点个数 0a f x 崇雅中学高中部 2015 届文科数学周末训练题参考答案 2014 年 6 月 1 日 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题号12345678910 答案AADCCBBCDB 9 解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组 合体 其体积 3 439 3 3 2 18 322 V 故选 D 10 解析 由题设 2 2 12 1 12 xx f x xxx 或 画出函数的图象 函数图象的四个端点 如图 为 从图象 2 1A 2 2B 1 1C 1 2D 中可以看出 直线穿过点 点之间时 直线yc BA 与图象有且只有两个公共点 同时 直线穿过点 点时 直线yc yc CD 与图象有且只有两个公共点 所以实数的取值范围是 故选 yc c 2 11 2 二 填空题 本大题每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题后的横线上 11 12 13 1 14 15 6 1 1 e 51 三 解答题 本大题共6小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 17 本题满分 12 分 解 1 共有 1400 名学生 高二级抽取的人数为 人 2 分 460 7023 1400 2 服务满意度为 3 时的 5 个数据的平均数为 3 分 37884 6 5 所以方差 6 分 2222 2 36762 8646 4 4 5 s 3 符合条件的所有学生共 7 人 其中 服务满意度为 2 的 4 人记为 a b c d 服务满意度为 1 的 3 人记为 9 分 x y z 在这 7 人中抽取 2 人有如下情况 a ba ca da xa ya z A B C D E F b cb db xb yb z c dc xc yc z d xd yd z 共 21 种情况 10 分 x yx zy z 其中至少有一人的 服务满意度为 1 的情况有 15 种 11 分 所以至少有一人的 服务满意度 为 1 的概率为 12 分 155 217 p 18 本题满分 14 分 如图 1 在直角梯形中 点ABCD90ADC CDAB 1 2 2 ADCDAB 为中点 将沿折起 使平面平面 得到几何体 EACADC ACADC ABCDABC 如图 2 所示 1 求证 DABC 2 在上找一点 使平面 CDF ADEFB 3 求点到平面 BCD 的距离 A 解解 1 在图 1 中 可得 从而 22 2ACBC 222 ACBCAB ACBC 分 平面平面 面面 面ADC ABCADC ABCAC BC ABC 平面 又面 4 分 BC ADCAD ADC BC DA 2 取的中点 连结 CDFEFBF 在中 分别为 的中点ACD EFACDC 为的中位线 EFACD ADEF 平面EF EFB 平面 平面 8 分AD EFB ADEFB 3 设点到平面 BCD 的距离为Ah 平面 又面 BC ADCCD ADC BC DC 11 2 222 2 22 BCD SBC CD 三棱锥的高 11 分BACD 2 2BC 2 ACD S 13 分 A BCDB ACD VV 11 2 22 2 2 33 h 2h B A CD 图图 1 E A B C D 图图 2 E 19 14 分 已知各项均为正数的等比数列的首项 为其前项和 若 n a 1 2a n Sn 1 5S 成等差数列 1 求数列的通项公式 3 S 2 3S n a 2 设 记数列的前项和 若对 2 log nn ba 1 1 n nn c b b n cn n TnN 恒成立 求实数的取值范围 4 n Tk n k 解 1 成等差数列 1 分 1 5S 3 S 2 3S 312 253SSS 即 2 111111 2 53 aa qa qaaa q 化简得 解得 或 3 分 2 260qq 2q 3 2 q 因为数列的各项均为正数 所以不合题意 4 分 n a 3 2 q 所以的通项公式为 5 分 n a2n n a 2 由得 6 分 2 log nn ba 2 log 2n n b n 7 分 1 1 n nn c b b 111 1 1n nnn 8 分 11111 1 2231 n T nn 1 1 1n 1 n n 由 11 分 4 1 n k n n 1 4 n k nn 2 54 n nn 1 4 5n n 当且仅当 即时等号成立 12 分 44 5259nn nn 4 n n 2n 13 分 的取值范围 14 分 11 4 9 5n n k 20 本小题满分 14 分 1 解 由得 222 2 22 2 1 3 aba e ab 1 3 b a 2 分 由椭圆经过点 C 3 1 2 2 得 3 分 22 91 1 44ab 联立 解得 4 分 1 3ba 所以椭圆C的方程是 5 分 2 2 1 3 x y 2 解 易知直线的斜率存在 设其方程为 AB2ykx 将直线的方程与椭圆的方程联立 消去得 7 分ABCy 22 1 3 1290kxkx 令 得 22 14436 1 3 0kk A 2 1k 设 则 9 分 11 A x y 22 B xy 12 2 12 1 3 k xx k 12 2 9 1 3 x x k 所以 10 分 1212 1 2 2 AOBPOBPOA SSSxxxx 因为 2 2 22 1212122 22 2 361 1236 4 1 31 3 1 3 k k xxxxx x kk k 设则 13 分 2 1 0 kt t 2 122 3636363 16 416 34 924 2 924 t xx t t t t t 当且仅当 即时等号成立 此时面积取得最大值 14 16 9t t 4 3 t AOB 3 2 分 21 本小题满分 14 分 解 32 11 32 a f xxxbxa 2 1 fxxaxb 由得 2 分 0 0 f 0b 1 fxx xa 1 当时 1a 32 1 1 3 f xxx 2 fxx x 3 1f 3 3 f 所以函数的图像在处的切线方程为 即 4 分 f x3x 13 3 yx 380 xy 2 存在 使得 0 x 1 9fxx xa 999 1 2 6axxx xxx 7a 当且仅当时 所以的最大值为 9 分3x 7 a a7 3 当时 的变化情况如下表 0a x fxf x 11 分 的极大值 的极小值 f x 0 0fa f x 332 1111 1 1 3 0 6624 f aaaaa 又 14 2 0 3 fa 2 13 1 32 f xxxaa 3 1 0 2 faa 所以函数在区间内各有一个零点 f x 3 2 0 0 1 1 1 2 aaa 故函数共有三个零点 14 分 f x 注 证明的极小值也可这样进行 f x 3 1 1 1 0 0 6 f aaaa 设 332 11 1 361 66 g aaaaaa 则 2 11 366 3 1 62 g aaaaa 当时 当时 01a 0g a 1a 0g a 函数在区间上是增函数 在区间上是减函数 g a 0 1 1 x 0 0 1 a 1a 1 a fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 故函数在