2004年全国初中数学竞赛试题-6

20042004 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题一 选择题 1 已知实数 a b 且满足 a 1 2 3 3 a 1 3 b 1 3 b 1 2 则 b a 的值为 a b b a A 23 B 23 C 2 D 13 2 若直角三角形的两条直角边长为 a b 斜边长为 c 斜边上的高为 h 则有 A ab h B C D a2 b2 2h2 a 1 b 1 h 1 2 1 a 2 1 b 2 1 h 3 一条抛物线 y ax2 bx c 的顶点为 4 11 且与 x 轴的两个交点的横坐标为一正一负 则 a b c 中为正数的 A 只有 a B 只有 b C 只有 c D 只有 a 和 b 4 如图所示 在 ABC 中 DE AB FG 且 FG 到 DE AB 的距离之比为 1 2 若 ABC 的面积为 32 CDE 的面 积为 2 则 CFG 的面积 S A 6 B 8 C 10 D 12 5 如果 x 和 y 是非零实数 使得 x y 3 和 x y x3 0 那么 x y 等于 A 3 B C D 4 13 2 131 13 二 填空题二 填空题 6 如图所示 在 ABC 中 AB AC AD AE BAD 600 则 EDC 度 7 据有关资料统计 两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口数 m n 单位 万人 以及两个城市间的距 离 d 单位 km 有 T 的关系 k 为常数 现测得 A B C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示 且已知 2 d kmn A B 两个城市间每天的电话通话次数为 t 那么 B C 两个城市间每天的电话次数为 次 用 t 表示 8 已知实数 a b x y 满足 a b x y 2 ax by 5 则 a2 b2 xy ab x2 y2 9 如图所示 在梯形 ABCD 中 AD BC BC AD D 900 BC CD 12 ABE 45 若 AE 10 则 CE 的长度为 10 实数 x y z 满足 x y z 5 xy yz zx 3 则 z 的最大值是 三 解答题三 解答题 11 通过实验研究 专家们发现 初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的 讲课开始时 学生的 兴趣激增 中间有一端时间 学生的兴趣保持平稳的状态 随后开始分散 学生注意力指标数 y 随时间 x 分钟 变化的 函数图象如图所示 y 越大表示学生注意力越集中 当 0 x 10 时 图象是抛物线的一部分 当 10 x 20 和 20 x 40 时 图象是线段 1 当 0 x 10 时 求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式 2 一道数学竞赛题 需讲解 24 分钟 问老师能否经过适当安排 使学生在听这道题时 注意力的指标数都不低于 36 D E C B A F D E G C B A D E C B A 160km 320km 240km 100 80 50 CB A y x 48 39 20 40 20105 O 12 已知 a b 是实数 关于 x y 的方程组 有整数解 求 a b 满足的关系式 bxaxxy baxy 23 13 D 是 ABC 的边 AB 上的一点 使得 AB 3AD P 是 ABC 外接圆上一点 使得 ADP ACB 求的值 PD PB O D P C B A 14 已知 a 0 b 0 c 0 且 b 2ac 求 b2 4ac 的最小值 acb4 2 数学奥林匹克竞赛题 数学奥林匹克竞赛题 例例 1 1 平面上有 n 条直线 它们中任意两条都不平行 且任意三条都不交于一点 这 n 条直线可以把平面分割 成多少个部分 此问题的变例 即特殊情况 变例 1 十刀最多可以把一张饼分成多少块 变例 2 一个圆形纸片 切 100 刀 最多可以将它分割为多少块 对变例 2 我们首先猜测其结论 令 S1 S2 Sn分别表示将圆形纸片切一刀 二刀 n 刀所得块数 则有 S1 2 1 1 S2 4 1 1 2 S3 7 1 1 2 3 S4 11 1 1 2 3 4 Sn 1 1 2 3 4 n 1 n 1 n 当 n 100 时 有 S100 1 100 1 100 5051 块 解 解 设 bn表示一条直线被 n 个不同的点分割后所得的分段数 则有 bn n 1 设 an 1 为平面被符合条件的 n 1 条直线分割成的部分数 则当平面上插入符合条件的第 n 条直线时 前 n 1 条直线与第 n 条直线相交于 n 1 个不同的点 这 n 1 个点分第 n 条直线为 bn 1段 而每一分段恰分平面 上一个已存在的部分为两个部分 于是 有 an an 1 bn 1 n 1 n N 又 bn 1 n an an 1 n an 2 n 1 n n n 1 n 2 2 a1 又 a1 2 1 1 an n n 1 n 2 2 1 1 例例 2 2 有 10 级台阶 小王从下向上走 若每次只能跨一级或两级 他走上去共有多少种不同的走法 解 解 考虑更一般的情况 在同样条件下走 n 级台阶 情况如何 设 an为上 n 级台阶的所有不同的走法数目 若第一次走一级 则余下的 n 1 级有 an 1 种走法 若第一次 走两级 则余下的 n 2 级有 an 2 种走法 an an 1 an 2 n 2 n N 显然 a1 1 a2 2 a3 a1 a2 3 a4 a3 a2 5 a5 a4 a3 8 a6 a5 a4 13 a7 a6 a5 21 a8 a7 a6 34 a9 a8 a7 55 a10 a9 a8 89 思考题 思考题 用 8 张 1 2 的方格纸覆盖 2 8 的方格纸 共有多少种不同的覆盖方式 解题新思路 解题新思路 探究数学问题解决的新思路 对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的 下面一道例题 是从多维度角度出发来探究解题新思路的 例 例 如图 1 在梯形 ABCD 中 AB CD 四边形 ACED 是平行四边形 延长 DC 交 BE 于 F 求证 EF FB 分析 分析 这个题目本身不难 求证也容易 但通过对题设和结论的深入 挖掘与探索 我们可以得出许多好的证法 总结如下 证明一 证明一 如图所示 作 BQ AD 交 DF 延长线于 Q 点 则四边形 ABQD 是 平行四边形 从而 BQ AD 再由题设可证 CEF QBF 得证 EF FB 证明二证明二 如左图所示 作 FM DA 交 AB 于 M 则四边形 ADFM 是平行四 边形 从而 FM DA 再证 CEF MFB 从而结论可得证 证明三证明三 作 CN EB 交 AB 于 N 则四边形 CNBF 是 从而 CN FB 再证 ANC DFE 可得 CN EF 即 EF FB 证明四证明四 作 DP FB 交 AB 于 P 证明 ADP CEF 从而得出结论 证明五 证明五 延长 EC 交 AB 于 G 则四边形 ADCG 是 CE AD GC 即 C 是 EG 中点 又 CF GB F 是 EB 中点 结论得证 证明六 证明六 连结 AE 交 CD 于 O 点 则 O 是 AE 中点 又 OF AB F 是 AB 中点 得证 证明七 证明七 延长 ED 交 BA 延长线于 H 点 则 HACD 是 CA DH ED D 是 EH 中点 又 DF HB F 是 EB 中点 得证 证明八证明八 作 ES CD 交 AD 延长线于 S 则 CDSE 是 DS CE AD D 是 AS 中点 又 SE CD AB F 是 EB 中点 得证 证