2012高考数学新题分类汇编 推理与证明（高考真题+模拟新题）

用心 爱心 专心1 20122012 高考数学新题分类汇编高考数学新题分类汇编 推理与证明 高考真题推理与证明 高考真题 模拟新题 模拟新题 课标理数 10 M110 M1 D2D2 B11B11 2011 福建卷 已知函数f x ex x 对于曲线y f x 上横坐标成等差数列的三个点A B C 给出以下判断 ABC一定是钝角三角形 ABC可能是直角三角形 ABC可能是等腰三角形 ABC不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 课标理数 10 M110 M1 D2D2 B11B11 2011 福建卷 B 解析 解法一 1 设A B C三点 的横坐标分别为x1 x2 x3 x1 x20 f x 在 上是增函数 f x1 f x2 f x3 且f x1 x3 2 f x1 f x3 2 x1 x2 f x1 f x2 x3 x2 f x3 f x2 BA BC x1 x2 x3 x2 f x1 f x2 f x3 f x2 0 BA BC ABC为钝角 判断 正确 错 2 若 ABC为等腰三角形 则只需AB BC 即 x1 x2 2 f x1 f x2 2 x3 x2 2 f x3 f x2 2 x1 x2 x3成等差数列 即 2x2 x1 x3 且f x1 f x2 f x3 只需 f x2 f x1 f x3 f x2 即 2f x2 f x1 f x3 即 f 这与f 相矛盾 x1 x3 2 f x1 f x3 2 x1 x3 2 f x1 f x3 2 ABC不可能是等腰三角形 判断 错误 正确 故选 B 解法二 1 设A B C三点的横坐标为x1 x2 x3 x1 x20 f x 在 上是增函数 画出f x 的图象 大致 f x1 f x2 f x3 且f x1 x3 2 f x1 f x3 2 如图 1 2 设直线AB BC的倾斜角分别为 和 由 0 kAB kBC 得 故 ABC 为钝角 判断 正确 错误 2 由x1 x2 x3成等差数列 得x2 x1 x3 x2 若 ABC为等腰三角形 只需AB BC 则 f x2 f x1 f x3 f x2 由 0 kAB0 观察 x x 2 f1 x f x x x 2 f2 x f f1 x x 3x 4 f3 x f f2 x x 7x 8 f4 x f f3 x x 15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 当n N N 且n 2 时 fn x f fn 1 x 课标理数 15 M115 M1 2011 山东卷 x 2n 1 x 2n 解析 观察 1 3 7 15 与对应项的关系 显然满足 2n 1 观察 2 4 8 16 与对应项的关系 显然满足 2n 故fn x x 2n 1 x 2n 课标理数 13 M113 M1 2011 陕西卷 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 课标理数 13 M113 M1 2011 陕西卷 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 解析 由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大 1 再对每一行的第 一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大 1 对每一行的最后一个数分析找规律 为 1 4 7 10 3n 2 对结果找规律为 12 32 52 2n 1 2 所以第n个等式为 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 课标文数 13 M113 M1 2011 陕西卷 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 用心 爱心 专心4 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 课标文数 13 M113 M1 2011 陕西卷 5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 解析 因 为 1 1 第一个式子左边 1 个数 右边 1 2 3 4 9 第二个式子左边 2 个数 从 2 开始加 加 3 个数 右边 3 的平方 3 4 5 6 7 25 第三个式子左边 5 个数 从 3 开始加 加 5 个数 右边 5 的平方 4 5 6 7 8 9 10 49 第四个左边 7 个数 从 4 开始加 加 7 个数 右边 7 的平方 故第五项为 5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 用心 爱心 专心5 课标理数 22 B922 B9 M3M3 2011 湖南卷 已知函数f x x3 g x x x 1 求函数h x f x g x 的零点个数 并说明理由 2 设数列 an n N N 满足a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数M 使得对 于任意的n N N 都有an M 课标理数 22 B922 B9 M3M3 2011 湖南卷 解答 1 由h x x3 x 知 x x 0 而h 0 0 且h 1 10 则x 0 为h x 的一个零 2 点 且h x 在 1 2 内有零点 因此 h x 至少有两个零点 解法一 h x 3x2 1 x 记 x 3x2 1 x 则 x 6x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 当x 0 时 x 0 因此 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 又因为 1 0 0 则 x 在内有零点 3 3 3 3 1 所以 x 在 0 内有且只有一个零点 记此零点为x1 则当x 0 x1 时 x x1 0 所以 当x 0 x1 时 h x 单调递减 而h 0 0 则h x 在 0 x1 内无零点 当x x1 时 h x 单调递增 则h x 在 x1 内至多只有一个零点 从 而h x 在 0 内至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 解法二 由h x x 记 x x2 1 x 则 x 2x x x2 1 x 1 2 1 2 1 2 3 2 当x 0 时 x 0 从而 x 在 0 上单调递增 则 x 在 0 内至多只有一个零点 因此h x 在 0 内也至多只有一个零点 综上所述 h x 有且只有两个零点 2 记h x 的正零点为x0 即x x0 3 0 x0 i 当a x0时 由a1 a 即a1 x0 而a a1 x0 x 因此a2 x0 由此猜测 an x0 下面用数学归纳法证明 3 2a1x03 0 当n 1 时 a1 x0显然成立 假设当n k k 1 时 ak x0成立 则当n k 1 时 由 a ak x0 x知 ak 1 x0 3k 1akx03 0 因此 当n k 1 时 ak 1 x0成立 故对任意的n N N anb 1 记An为满足a b 3 的点P的个数 求An 2 记Bn为满足 a b 是整数的点P的个数 求Bn 1 3 课标数学 23 M423 M4 2011 江苏卷 解答 1 点P的坐标满足条件 1 b a 3 n 3 所以An n 3 2 设k为正整数 记fn k 为满足题设条件以及a b 3k的点P的个数 只要讨论 fn k 1 的情形 由 1 b a 3k n 3k知fn k n 3k 且k n 1 3 设n 1 3m r 其中m N N r 0 1 2 则k m 所以Bn fn k n 3k mn m k 1 m k 1 3m m 1 2 m 2n 3m 3 2 将m 代入上式 n 1 r 3 化简得Bn n 1 n 2 6 r r 1 6 所以Bn Error 2011 福州一模 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b