2012高中数学 4-2.2课后练习同步导学 北师大版选修1-1

用心 爱心 专心 1 第第 4 4 章章 2 22 2 本栏目内容 在学生用书中以活页形式分册装订 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 下列结论正确的是 A 若f x 在 a b 上有极大值 则极大值一定是f x 在 a b 上的最大值 B 若f x 在 a b 上有极小值 则极小值一定是f x 在 a b 上的最小值 C 若f x 在 a b 上有极大值 则极大值一定在x a或x b时取得 D 若f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上存在最大值和最小值 解析 根据极值与最值的区别与联系作出判断 答案 D 2 函数f x x2 4x 1 在 1 5 上的最大值和最小值分别是 A f 1 f 2 B f 2 f 5 C f 1 f 5 D f 5 f 2 解析 f x 2x 4 令f x 2x 4 0 x 2 f 1 2 f 2 3 f 5 6 最大值f 5 最小值f 2 答案 D 3 函数y 的最大值为 lnx x A e 1 B e C e2 D 10 3 解析 令y 0 得x e 当x e 时 y 0 当 lnx x lnx x x2 1 lnx x2 x0 y极大值 f e 在定义域内只有一个极值 所以ymax 1 e 1 e 答案 A 4 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 用心 爱心 专心 2 C 9 万件 D 7 万件 解析 因y x2 81 令y 0 得x 9 当 09 时 y 0 f x 为减函数 当x 9 时 y有最大值 故选 C 答案 C 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 函数y xex的最小值为 解析 y x 1 ex 0 x 1 当x 1 时 y 1 时 y 0 ymin f 1 1 e 答案 1 e 6 已知f x x2 mx 1 在区间 2 1 上的最大值就是函数f x 的极大值 则 m的取值范围是 解析 f x m 2x 令f x 0 则x m 2 由题设得 2 1 故m 4 2 m 2 答案 4 2 三 解答题 每小题 10 分 共 20 分 7 已知函数f x x3 4x 4 1 3 1 求函数的极值 2 求函数在区间 3 4 上的最大值和最小值 解析 1 f x x2 4 解方程x2 4 0 得x1 2 x2 2 当x变化时 f x f x 变化情况如下表 x 2 2 2 2 2 2 f x 0 0 f x 28 3 4 3 从上表看出 当x 2 时 函数有极大值 且极大值为 28 3 而当x 2 时 函数有极小值 且极小值为 4 3 用心 爱心 专心 3 2 f 3 3 3 4 3 4 7 f 4 43 4 4 4 1 3 1 3 28 3 与极值点的函数比较 得函数在区间 3 4 上的最大值是 最小值是 28 3 4 3 8 已知函数f x 4x3 ax2 bx 5 的图像在x 1 处的切线方程为y 12x 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解析 1 f x 12x2 2ax b f 1 12 2a b 12 又x 1 y 12 在f x 的图像上 4 a b 5 12 由 得a 3 b 18 f x 4x3 3x2 18x 5 2 f x 12x2 6x 18 0 得x 1 或 f 1 16 3 2 f 3 2 61 4 f 3 76 f 1 12 f x 的最大值为 16 最小值为 76 尖子生题库 9 10 分 已知某工厂生产x件产品的成本为C 25 000 200 x x2 元 问 1 40 1 要使平均成本最低 应生产多少件产品 2 若产品以每件 500 元出售 要使利润最大 应生产多少件产品 解析 1 设平均成本为y元 则 y 25 000 200 x 1 40 x2 x 200 x 0 25 000 x x 40 y 令y 0 得x 1 000 或x 1 000 舍去 当 0 x 1 000 时 25 000 x2 1 40 y 1 000 时 y 0 故当x 1 000 时 y取极小值 而只有一个点使y 0 故函数在该点处取得最小值 因此 要使平均成本最低 应生产 1 000 件产品 2 利润函数为S x 500 x 25 000 200 x x2 40 用心 爱心 专心 4 300 x 25 000 x2 40 S x 300 令S x 0 得x 6