2014高中数学 1-3-2 球的体积和表面积同步练习 新人教A版必修2

1 20142014 高中数学高中数学 1 3 21 3 2 球的体积和表面积同步练习球的体积和表面积同步练习 新人教新人教 A A 版必修版必修 2 2 一 选择题 1 两个球的体积之比为 8 27 则它的表面积之比为 A 2 3 B 4 9 C 1 2 D 1 3 答案 B 解析 由体积比知半径之比为 2 3 面积之比为 4 9 故选 B 2 两个球的体积之和是 12 大圆周长之和是 6 则两球半径之差是 A 1 B 2 C 3 D 3 2 答案 A 解析 设两球半径为r2 r1 r2 r1 则 r r 12 2 r2 r1 6 4 33 23 1 解得r1 1 r2 2 r2 r1 1 故选 A 3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积是 A 16 B 20 C 24 D 32 答案 C 解析 设正四棱柱底面边长为a 则S底 a2 V S底 h 4a2 16 a 2 又正四棱柱内接于球 设球半径为R 则 2R 2 22 22 42 24 R 球的表 6 面积为 4 R2 24 4 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何 体的体积是 2 A cm3 B cm3 4000 3 8000 3 C 2000cm3 D 4000cm3 答案 B 解析 由俯视图知此几何体的底面为一个边长为 20 的正方形 结合正视图 侧视图 知 此几何体为四棱锥 高为 20 所以其体积为 20 20 20 cm3 故选 B 1 3 8000 3 5 两个半径为 1 的铁球 熔化成一个大球 这个大球的半径为 A 2 B 2 C D 3 2 1 2 3 4 答案 C 解析 设大球半径为r 则 r3 2 4 3 4 3 r 故选 C 3 2 6 若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等 体积也相等 则它们的高度之比为 A 2 1 B 2 3 C 2 D 2 5 答案 A 解析 r2h r3 h 2r 故选 A 1 3 4 3 1 2 7 湖面上漂着一个球 湖面结冰后将球取出 冰面上留下了一个面直径为 24 深为 8 的空穴 则球的半径为 A 8 B 12 C 13 D 8 2 答案 C 解析 122 R 8 2 R2 R 13 故选 C 8 已知正方体的外接球的体积为 则该正方体的表面积为 32 3 A B 4 3 3 16 3 3 C D 32 64 3 答案 D 解析 设球半径为R 内接正方体棱长为a 则R3 R 2 4 3 32 3 又 3a2 2R 2 a2 V正方体 6a2 32 16 3 9 在 ABC中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 若将 ABC绕直线BC旋转一周 则 所形成的旋转体的体积是 A B C D 9 2 7 2 5 2 3 2 答案 D 解析 本题是旋转问题 考查锥体的体积公式和空间想像能力 如图所示 该旋转 体的体积为圆锥CD与圆锥BD体积之差 在 ABD中 AB 2 ABD 60 BD 1 AD 3 V V1 V2 2 1 1 5 2 1 1 33 1 33 3 2 10 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 4 D 12 答案 D 解析 本题是三视图还原为几何体的正投影问题 考查识图能力 空间想像能 力 由题设可知 该几何体是圆柱的上面有一个球 圆柱的底面半径为 1 高为 3 球的半 径为 1 该几何体的表面积为 2 1 3 2 12 4 12 12 二 填空题 11 已知某球体的体积与其表面积的数值相等 则此球体的半径为 答案 3 解析 R3 4 R2 R 3 4 3 12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 2 3 则此球的表面积为 答案 14 解析 球的直径d 12 22 3214 r S 4 r2 14 d 2 13 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上 且该六棱柱的高为 底面周长为 3 则这个球的体积为 3 答案 4 3 解析 如图所示的正六棱柱内接于球 则球心O在体对角线AD 上 正六边形周长为 3 其边长为 AD 1 1 2 又DD 3 AD 2 AD2 DD 2 球的体积V 3 4 3 AD 2 4 3 5 14 已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示 则四棱锥P ABCD的体积为 其外接球的表面积为 答案 6 2 3 解析 由俯视图知 四棱锥底面为边长为 1 的正方形 由正视图与侧视图知 该四 棱锥的高为 2 故其体积V 12 2 其外接球的直径为 2R 1 3 2 312 12 226 表面积为 4 R2 4 2 6 6 2 三 解答题 15 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面 它们的面积分别为 49 cm2和 400 cm2 求球的表面积 解析 如图为球的过球心的截面 由球的截面性质知 AO1 BO2 且O1 O2分别为 两截面圆的圆心 则OO1 AO1 OO2 BO2 设球的半径为R O2B2 49 O2B 7cm 同理 O1A2 400 O1A 20cm 设OO1 xcm 则OO2 x 9 cm 在 Rt OO1A中 R2 x2 202 在 Rt OO2B中 R2 x 9 2 72 x2 202 72 x 9 2 解得x 15 R2 x2 202 252 R 25cm S球 4 R2 2 500 cm 球的表面积为 2 500 cm2 6 16 一个长方体的全面积为 11 十二条棱长度之和为 24 求长方体外接球的表面积 解析 设长方体长 高 宽分别为x y z 则由已知条件知 Error 即Error 将 式两边平方与 式两边分别相减得 x2 y2 z2 25 长方体体对角线长为 5 x2 y2 z2 外接球半径r 面积为 4 r2 25 5 2 17 体积相等的正方体 球 等边圆柱的全面积分别是S1 S2 S3 试比较它们的大 小 解析 设正方体的棱长为a 球的半径为R 等边圆柱的底面半径为r 则 S1 6a2 S2 4 R2 S3 6 r2 由题意知 R3 a3 r2 2r 4 3 R a r a 3 3 4 3 1 2 S2 4 2 4 a2 a2 3 3 4 a 3 9 16 2 3 36 S3 6 2 6 a2 a2 3 1 2 a 3 1 4 2 3 54 S23a2 a2 即S1 S3 3 2 3 54 S1 S2 S3的大小关系是S2 S3 S1 18 一试管的上部为圆柱形 底部为与圆柱底面半径相同的半球形 圆柱形部分的高 为h cm 半径为r cm 试管的容量为 108 cm3 半球部分容量为全试管容量的 1 6 1 求r和h 2 若将试管垂直放置 并注水至水面离管口 4 cm 处 求水的体积 解析 1