2013届高考数学一轮复习 第33讲 圆锥曲线方程及性质精品学案

1 20132013 年普通高考数学科一轮复习精品学案年普通高考数学科一轮复习精品学案 第第 3333 讲讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质 一 课标要求 一 课标要求 1 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几何图形及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 二 命题走向二 命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容 也是高考重点考查的内容 在每年的高考试卷中一 般有 2 3 道客观题 难度上易 中 难三档题都有 主要考查的内容是圆锥曲线的概念和 性质 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质 圆锥曲线在高考试题中占有 稳定的较大的比例 且选择题 填空题和解答题都涉及到 客观题主要考察圆锥曲线的基 本概念 标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能 基本方法 对于本讲内容来讲 预测 2013 年 1 1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题 主要是求值问题 2 可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用 结合三种形式的圆锥曲线的定义 三 要点精讲三 要点精讲 1 1 椭椭圆圆 1 1 椭椭圆圆概概念念 平平面面内内与与两两个个定定点点 的的距距离离的的和和等等于于常常数数 大大于于 的的点点的的轨轨迹迹 1 F 2 F 21 FF 叫叫做做椭椭圆圆 这这两两个个定定点点叫叫做做椭椭圆圆的的焦焦点点 两两焦焦点点的的距距离离叫叫椭椭圆圆的的焦焦距距 若若 为为椭椭圆圆上上任任意意一一点点 则则有有 M 21 2MFMFa 椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为 焦焦点点在在x x 轴轴上上 或或 22 22 1 xy ab 0ab 焦焦点点在在y y 轴轴上上 1 2 2 2 2 b x a y 0ab 注注 以以上上方方程程中中的的大大小小 其其中中 a b0ab 222 cab 2 在在和和两两个个方方程程中中都都有有的的条条件件 要要分分清清焦焦点点的的 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 0ab 位位置置 只只要要看看和和的的分分母母的的大大小小 例例如如椭椭圆圆 2 x 2 y 22 1 xy mn 0m 0n 当当时时表表示示焦焦点点在在轴轴上上的的椭椭圆圆 当当时时表表示示焦焦点点在在轴轴上上mn mn xmn y 的的椭椭圆圆 2 2 椭椭圆圆的的性性质质 范范围围 由由标标准准方方程程知知 说说明明椭椭圆圆位位于于直直线线 22 22 1 xy ab xa yb 所所围围成成的的矩矩形形里里 xa yb 对对称称性性 在在曲曲线线方方程程里里 若若以以代代替替方方程程不不变变 所所以以若若点点在在曲曲y y x y 线线上上时时 点点也也在在曲曲线线上上 所所以以曲曲线线关关于于轴轴对对称称 同同理理 以以代代替替 xy xx 方方程程不不变变 则则曲曲线线关关于于轴轴对对称称 若若同同时时以以代代替替 代代替替方方程程也也xyx xy y 不不变变 则则曲曲线线关关于于原原点点对对称称 所所以以 椭椭圆圆关关于于轴轴 轴轴和和原原点点对对称称 这这时时 坐坐标标轴轴是是椭椭圆圆的的对对称称轴轴 原原点点xy 是是对对称称中中心心 椭椭圆圆的的对对称称中中心心叫叫椭椭圆圆的的中中心心 顶顶点点 确确定定曲曲线线在在坐坐标标系系中中的的位位置置 常常需需要要求求出出曲曲线线与与轴轴 轴轴的的交交xy 点点坐坐标标 在在椭椭圆圆的的标标准准方方程程中中 令令 得得 则则 0 x yb 1 0 Bb 是是椭椭圆圆与与轴轴的的两两个个交交点点 同同理理令令得得 即即 2 0 Bby0y xa 1 0 Aa 是是椭椭圆圆与与轴轴的的两两个个交交点点 2 0 A ax 所所以以 椭椭圆圆与与坐坐标标轴轴的的交交点点有有四四个个 这这四四个个交交点点叫叫做做椭椭圆圆的的顶顶点点 同同时时 线线段段 分分别别叫叫做做椭椭圆圆的的长长轴轴和和短短轴轴 它它们们的的长长分分别别为为 21 A A 21 B B 和和 和和分分别别叫叫做做椭椭圆圆的的长长半半轴轴长长和和短短半半轴轴长长 2a2bab 由由椭椭圆圆的的对对称称性性知知 椭椭圆圆的的短短轴轴端端点点到到焦焦点点的的距距离离为为 在在中中 a 22 Rt OB F 且且 即即 2 OBb 2 OFc 22 B Fa 222 2222 OFB FOB 222 cac 离离心心率率 椭椭圆圆的的焦焦距距与与长长轴轴的的比比叫叫椭椭圆圆的的离离心心率率 c e a 0ac 3 且且越越接接近近 就就越越接接近近 从从而而就就越越小小 对对应应的的椭椭圆圆越越扁扁 反反之之 01e e1cab 越越接接近近于于 就就越越接接近近于于 从从而而越越接接近近于于 这这时时椭椭圆圆越越接接近近于于圆圆 当当e0c0ba 且且仅仅当当时时 两两焦焦点点重重合合 图图形形变变为为圆圆 方方程程为为 ab 0c 222 xya 2 2 双双曲曲线线 1 1 双双曲曲线线的的概概念念 平平面面上上与与两两点点距距离离的的差差的的绝绝对对值值为为非非零零常常数数的的动动点点轨轨迹迹是是双双曲曲线线 12 2PFPFa 注意 式中是差的绝对值 在条件下 时 12 02 aFF 12 2PFPFa 为双曲线的一支 含的一支 时为双曲线的另一支 含的一支 2 F 21 2PFPFa 1 F 当时 表示两条射线 当时 12 2 aFF 12 2PFPFa 12 2 aFF 不表示任何图形 两定点叫做双曲线的焦点 叫做焦 12 2PFPFa 12 F F 12 FF 距 椭圆和双曲线比较 椭 圆双 曲 线 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 1212 2 2 PFPFaaFF 方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 焦点 0 Fc 0 Fc 0 Fc 0 Fc 注意 如何有方程确定焦点的位置 2 2 双双曲曲线线的的性性质质 范围 从标准方程 看出曲线在坐标系中的范围 双曲线在两条直线1 2 2 2 2 b y a x 的外侧 即 即双曲线在两条直线的外侧 ax 22 ax ax ax 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的 这时 坐标轴是1 2 2 2 2 b y a x 双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线1 2 2 2 2 b y a x 4 的中心 顶点 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点 在双曲线的方程里 1 2 2 2 2 b y a x 对称轴是轴 所以令得 因此双曲线和轴有两个交点 x y0 yax x 他们是双曲线的顶点 0 0 2 aAaA 1 2 2 2 2 b y a x 令 没有实根 因此双曲线和 y 轴没有交点 0 x 1 注意 双曲线的顶点只有两个 这是与椭圆不同的 椭圆有四个顶点 双曲线的 顶点分别是实轴的两个端点 2 实轴 线段叫做双曲线的实轴 它的长等于叫做双曲线的实半轴长 2 AA2 a a 虚轴 线段叫做双曲线的虚轴 它的长等于叫做双曲线的虚半轴长 2 BB2 b b 渐近线 注意到开课之初所画的矩形 矩形确定了两条对角线 这两条直线即称为 双曲线的渐近线 从图上看 双曲线的各支向外延伸时 与这两条直线逐渐1 2 2 2 2 b y a x 接近 等轴双曲线 1 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 定义式 ab 2 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为 2 渐近线互相垂直 xy 注意以上几个性质与定义式彼此等价 亦即若题目中出现上述其一 即可推知双曲线 为等轴双曲线 同时其他几个亦成立 3 注意到等轴双曲线的特征 则等轴双曲线可以设为 ab 0 22 yx 当时交点在轴 当时焦点在轴上 0 x0 y 注意与的区别 三个量中不同 互换 相同 1 916 22 yx 22 1 916 yx a b c a bc 还有焦点所在的坐标轴也变了 3 抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直 5 线l上 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 方程叫做抛物线的标准方程 02 2 ppxy 注意 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 焦点坐标是 F 0 它的准线 2 p 方程是 2 p x 2 抛物线的性质 一条抛物线 由于它在坐标系的位置不同 方程也不同 有四种不同的情况 所以抛 物线的标准方程还有其他几种形式 这四种抛物线pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 的图形 标准方程 焦点坐标以及准线方程如下表 标标准准方方程程 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 图图形形 焦焦点点坐坐标标 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 准准线线方方程程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范范围围0 x 0 x 0y 0y 对对称称性性轴轴x轴轴x轴轴y轴轴y 顶顶点点 0 0 0 0 0 0 0 0 离离心心率率1e 1e 1e 1e 说说明明 1 1 通通径径 过过抛抛物物线线的的焦焦点点且且垂垂直直于于对对称称轴轴的的弦弦称称为为通通径径 2 2 抛抛物物线线的的几几何何性性质质的的特特点点 有有一一个个顶顶点点 一一个个焦焦点点 一一条条准准线线 一一条条对对称称轴轴 无无对对称称中中心心 没没有有渐渐近近线线 3 3 注注意意强强调调的的几几何何意意义义 是是焦焦点点到到准准线线的的距距p 离离 四 典例解析四 典例解析 o Fx y l ox y F l x y o F l 6 题型 1 椭圆的概念及标准方程 例例 1 1 求求适适合合下下列列条条件件的的椭椭圆圆的的标标准准方方程程 1 1 两两个个焦焦点点的的坐坐标标分分别别是是 椭椭圆圆上上一一点点到到两两焦焦点点距距离离的的 4 0 4 0 P 和和等等于于 10 2 2 两两个个焦焦点点的的坐坐标标分分别别是是 并并且且椭椭圆圆经经过过点点 0 2 0 2 3 5 2 2 3 3 焦焦点点在在轴轴上上 x 2 1a b cb 4 4 焦焦点点在在轴轴上上 且且过过点点 y 22 5ab 2 0 5 5 焦焦距距为为 b1ab 6 6 椭椭圆圆经经过过两两点点 3 5 2 2 3 5 解析 1 椭圆的焦点在轴上 故设椭圆的标准方程为x 22 22 1 xy ab 0ab 210a 4c 222 9bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 259 xy 2 椭圆焦点在轴上 故设椭圆的标准方程为 y 22 22 1 yx ab 0ab 由椭圆的定义知 2222 353531 2 2 2 10102 10 222222 a 又 10a 2c 222 1046bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 106 yx 3 6c 222 6abc 又又由由代代入入 得得 2 1a b 22 46bb 又 焦点在轴上 2 2b 2 8a x 7 所以 椭圆的标准方程为 22 1 82 xy 4 设椭圆方程为 22 22 1 yx ab 2 2 1 b 2 2b 又 22 5ab 2 3a 所以 椭圆的标准方程为 22 1 32 yx 5 焦距为 63c 又 222 9abc 1ab 5a 4b 所以 椭圆的标准方程为或 22 1 2516 xy 22 1 2516 yx 6 设椭圆方程为 22 1 xy mn 0m n 由得 22 35 22 1 35 1 mn mn 6 10mn 所以 椭圆方程为 22 1 106 yx 点评 求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程 间的关系 例 2 1 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短轴长3 的 2 倍 则该椭圆的标准方程是 2 椭圆的中心为点 它的一个焦点为 相应于焦点的准线方 10 E 3 0 F F 程为 则这个椭圆的方程是 7 2 x 22 2 1 2 1 213 xy 22 2 1 2 1 213 xy 8 2 2 1 1 5 x y 2 2 1 1 5 x y 解析 1 已知为所求 2 2 2 2 222 4 2 2 3 161 164 2 3 0 b ab c y x a abc F 2 椭圆的中心为点它的一个焦点为 1 0 E 3 0 F 半焦距 相应于焦点 F 的准线方程为 2c 7 2 x 则这个椭圆的方程是 选 D 2 5 2 a c 22 5 1ab 2 2 1 1 5 x y 点评 求椭圆方程的题目属于中低档题目 掌握好基础知识就可以 题型 2 椭圆的性质 例 3 1 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距2 离为 1 则该椭圆的离心率为 A B C D 2 2 2 2 1 4 2 2 设椭圆 1 a b 0 的右焦点为F1 右准线为l1 若过F1且垂直于 2 2 2 2 b y a x x轴的弦的长等于点F1到l1的距离 则椭圆的离心率是 解析 1 不妨设椭圆方程为 a b 0 则有 22 22 1 xy ab 22 2 21 ba c ac 且 据此求出 e 选 B 2 2 2 解析 由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为 2 1 a b22 即e c c a a b 22 2 ca 12 2 1 a c 2 1 点评 本题重点考查了椭圆的基本性质 例 4 1 椭圆短轴长是 2 长轴是短轴的 2 倍 则椭圆中心到其准线距离是 9 A B C D 4 3 5 5 4 3 5 8 3 3 4 2 椭圆 1 的焦点为F1和F2 点P在椭圆上 如果线段PF1的中点在y轴 312 22 yx 上 那么 PF1 是 PF2 的 A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 解析 1 D 由题意知a 2 b 1 c 准线方程为x 3 c a 2 椭圆中心到准线距离为 3 34 2 A 不妨设F1 3 0 F2 3 0 由条件得P 3 即 2 3 PF2 PF1 因此 PF1 7 PF2 故选 A 2 3 2 147 点评 本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想 具有较强的思辨性 是高考命题的 方向 题型 3 双曲线的方程 例 5 1 已知焦点 双曲线上的一点到的距离差的绝对 12 5 0 5 0 FF P 12 F F 值等于 求双曲线的标准方程 6 2 求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程 22 1 255 xy 3 2 2 3 已知双曲线的焦点在轴上 并且双曲线上两点坐标分别为y 12 P P 求双曲线的标准方程 9 3 4 2 5 4 解析 1 因为双曲线的焦点在轴上 所以设它的标准方程为x 22 22 1 xy ab 0 0 ab 26 210ac 3 5ac 222 5316b 10 所以所求双曲线的方程为 22 1 916 xy 2 椭圆的焦点为 可以设双曲线的方程为 22 1 255 xy 2 5 0 2 5 0 则 22 22 1 xy ab 22 20ab 又 过点 3 2 2 22 182 1 ab 综上得 所以 22 202 10 2 10ab 22 1 202 102 10 xy 点评 双曲线的定义 方程确定焦点的方法 基本量之间的关系 a b c 3 因为双曲线的焦点在轴上 所以设所求双曲线的标准方程为y 22 22 1 0 0 yx ab ab 点在双曲线上 点的坐标适合方程 12 P P 12 P P 将分别代入方程 中 得方程组 9 3 4 2 5 4 22 22 2 22 4 2 3 1 9 25 4 1 ab ab 将和看着整体 解得 2 1 a 2 1 b 2 2 11 16 11 9 a b 即双曲线的标准方程为 2 2 16 9 a b 22 1 169 yx 点评 本题只要解得即可得到双曲线的方程 没有必要求出的值 在求解 22 a b a b 的过程中也可以用换元思想 可能会看的更清楚 例 6 已知双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 且焦距与虚轴长之比为 3 0 5 4 则双曲线的标准方程是 11 解析 双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 则焦点在 x 轴上 且 a 3 焦距 3 0 与虚轴长之比为 即 解得 则双曲线的标准方程是5 4 5 4c b 5 4cb 22 1 916 xy 点评 本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力 充分挖掘 双曲线几何性质 数形结合 更为直观简捷 题型 4 双曲线的性质 例 7 1 已知双曲线 a 0 b 的两条渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 x2 a2 y2 22 3 A 2 B C D 3 26 3 23 3 解析 1 双曲线的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 22 22 1 0 0 xy ab ab 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线60o 的斜率 离心率 e2 e 2 选 C b a b a 3 222 22 cab aa 4 2 过双曲线的左顶点 1 0 作斜率为 1 的直线 y x 1 若1 2 2 2 b y xMAl 12 与双曲线的两条渐近线分别相交于点 联立方程组lM 2 2 2 0 y x b 1122 B x yC xy 代入消元得 22 1 210bxx x1 x2 2x1x2 12 2 12 2 2 1 1 1 xx b x x b 又 则 B 为 AC 中点 2x1 1 x2 代入解得 BCAB 1 2 1 4 1 2 x x b2 9 双曲线的离心率 e 选 A M10 c a 3 双曲线 a 的两条渐近线的夹角为 则 22 2 1 2 xy a 2 3 23 tan 63a a2 6 双曲线的离心率为 选D 23 3 点评 高考题以离心率为考察点的题目较多 主要实现三元素之间的关系 cba 例 8 1 P 是双曲线的右支上一点 M N 分别是圆 x 5 2 y2 4 22 xy 1 916 和 x 5 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 2 双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍 则 22 1mxy m A B C D 1 4 4 4 1 4 3 如果双曲线的两个焦点分别为 一条渐近线方程为 0 3 1 F 0 3 2 F 那么它的两条准线间的距离是 xy2 A B C D 36421 解析 1 设双曲线的两个焦点分别是 F1 5 0 与 F2 5 0 则这两点正好 是两圆的圆心 当且仅当点 P 与 M F1三点共线以及 P 与 N F2三点共线时所求的值最大 此时 PM PN PF1 2 PF2 1 10 1 9 故选 B 13 2 双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍 m 0 且双曲线方程为 22 1mxy m 选 A 2 2 1 4 x y 1 4 3 如果双曲线的两个焦点分别为 一条渐近线方程为 0 3 1 F 0 3 2 F xy2 解得 所以它的两条准线间的距离是 选 C 22 9 2 ab b a 2 2 3 6 a b 2 22 a c 点评 关于双曲线渐近线 准线及许多距离问题也是考察的重点 题型 5 抛物线方程 例 9 1 焦点到准线的距离是 2 2 已知抛物线的焦点坐标是 F 0 2 求它的标准方程 解析 1 y 4x y 4x x 4y x 4y 22 22 方程是 x 8y 2 点评 由于抛物线的标准方程有四种形式 且每一种形式中都只含一个系数 p 因此 只要给出确定 p 的一个条件 就可以求出抛物线的标准方程 当抛物线的焦点坐标或准线 方程给定以后 它的标准方程就唯一确定了 若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定 则所求的标准方程就会有多解 题型 6 抛物线的性质 例 10 1 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 则的值 2 2ypx 22 1 62 xy p 为 A B C D 2 24 4 2 抛物线的准线方程是 2 8yx A B C D 2x 4x 2y 4y 3 抛物线的焦点坐标为 xy4 2 14 A B C D 1 0 0 1 2 0 0 2 解析 1 椭圆的右焦点为 2 0 所以抛物线的焦点为 2 0 22 1 62 xy 2 2ypx 则 故选 D 4p 2 2p 8 p 4 故准线方程为 x 2 选 A 3 直接计算法 因为 p 2 所以抛物线 y2