具有时滞的传染病动力学模型

1 具有时滞的传染病动力学模型具有时滞的传染病动力学模型 专业 信息与计算科学专业 信息与计算科学 班级 信息班级 信息 121 信息信息 122 摘摘 要要 2 具有时滞的传染病模型能较好反映传染病的潜伏期 免疫期等问题 对其研究 越来越受到重视 利用计算机模拟方法对具有时滞的传染病动力学模型进行了 分析 阐述了数值仿真的基本原则 采用时滞微分方程的数值解法对模型进行 了定性分析 给出了数值仿真的应用实例 结果表明该方法是有效的 并具有 潜在的应用价值 关键词关键词 传染病模型 时滞微分方程 数值仿真 一 问题背景一 问题背景 近年来随着环境污染 生态破坏和频繁的国际交流 国内外重人传染病爆 发时有发生 如 SARS 禽流感和艾滋病等 这使得对传染病的研究越来越重要 在对传染病的诸多研究中 利用数学模型对传染病进行定性研究是个重要课题 由于具有时滞的传染病模型能更好与实际情况相符 所以近年来对其研究受到 了人们的广泛重视 随着计算机的发展 在研究方法上 除了传统的理论分析 外 计算机模拟也是研究的重要手段 一此重大发现就是通过数值仿真得到的 虽然如此 但迄今为止利用计算机仿真方法研究时滞传染病模型的工作还很少 我们试图在此方面对此尝试 将时滞微分方程数值算法应用于传染病模型研究 取得了较好的结果 总结出了数值仿真的基本原则 说明该方法其有潜在的应 用价值 二 模型建立二 模型建立 时滞 在传染病中是个基本的因素 并在传染病的传播过程中起着重要 作用 它可以反映传染病的潜伏期 患者对疾病的感染期和恢复者对玖病的免 疫期等实际现象 因此使用时滞 模型更贴近实际 如 Busenberg 和 Cooke 将 时滞因素引入到由媒介传播疾病的 SEIS 模型中用时滞项来反映传染病的潜伏期 建立了如图 1 所小的仓室框图 1 3 此模型中 把传染病地区的人群分为三类 用 S t E t I t 分别表示易感者 在潜伏期的感染者和染病者 箭头所指方向可以清楚的显小出各类人群流动的 情况 T 0 是模型的时滞项 代表疾病在人群中的潜伏期 r 0 表小感染者被 治愈后返回到易感人群中的速率 是易感者和传病媒介间的有效接触系数 由 仓库框图容易得到对应数学表达的动力学模型 1 S d I tS t I t dt dE S tS tT I tT dt dI S tT I tTI t dt 上述传染病动力学模型实质上是个具有时滞的微分方程组 对该模型进行数值 仿真 就是对方程组 1 求解 通过研究该方程组解的变化 从而得到如传染 病的发展趋势等相关内容 三 模型分析三 模型分析 通过对实际模型的多次数值仿真实验 得到了数值仿真的基本原则 1 1 运算精度优先运算精度优先 由于一般传染病模型对应的方程组维数不高 对非刚性的时滞传染病模 型应使用至少四阶精度的数值方法如果采用精度不高的数值方法 会造成较大 的误差 从而对理论分析造成很大的偏差 下面我们从实际的程序数值运行和 图示方法加以比较 2 2 模型分析程序 模型分析程序 一阶一阶 EulerEuler 方法方法 include define N 10 float f float a float b 4 float c c b 2 a b return c main int i float h 0 2 float X N 0 0 float Y N 1 0 for i 1 i 5 i X i X i 1 h Y i Y i 1 h f X i 1 Y i 1 for i 0 i 6 i printf f n Y i 四阶四阶 R R K K 方法方法 include define N 10 define M 30 float f float a float b float c c b 2 a b return c main int i float h 0 2 float X N 0 0 float Y N 1 0 float k M 5 for i 1 i 5 i X i X i 1 h for i 0 i 5 i k i f X i Y i k i 1 Y i h k i 2 0 2 0 X i h 2 0 Y i h k i 2 0 k i 2 Y i h k i 1 2 0 2 0 X i h 2 0 Y i h k i 1 2 0 k i 3 Y i h k i 2 0 X i 1 Y i h k i Y i 1 Y i h k i 2 k i 1 2 k i 2 k i 3 6 0 for i 0 i0 表不隔离率 N 代表种群的死亡率 下面利用数值仿真方法来解决这个问题 程序程序 include include define M 30 define N 120 double f double t double i double q double r double c c 0 6 i 0 8 1 i r 1000 q i t 0 return c double g double t double i double q double r double c c 0 2 q 0 4 i 0 4 i t 1 exp 0 2 r 0 return c double h double t double i double q double r double c c 0 2 r 0 4 i t 1 exp 0 2 q 0 return c void main double f double t double i double q double r double g double t double i double q double r 9 double h double t double i double q double r int i double j 1 0 double k M l M m M double T N 0 0000001 double I N 0 001 double Q N 0 001 double R N 0 001 for i 1 i 99 i T i T i 1 j for i 0 i 99 i k i f T i I i Q i R i m i h T i I i Q i R i k i 1 f T i j 2 0 I i j 2 0 k i Q i j 2 0 l i R i j 2 0 m i m i 1 h T i j 2 0 I i j 2 0 k i Q i j 2 0 l i R i j 2 0 m i k i 2 f T i j 2 0 I i j 2 0 k i 1 Q i j 2 0 l i 1 R i j 2 0 m i 1 m i 2 h T i j 2 0 I i j 2 0 k i 1 Q i j 2 0 l i 1 R i j 2 0 m i 1 k i 3 f T i 1 I i j k i 2 Q i j l i 2 R i j m i 2 I i 1 I i j 6 0 k i 2 k i 1 2 0 k i 2 k i 3 l i g T i I i Q i R i l i 1 g T i j 2 0 I i j 2 0 k i Q i j 2 0 l i R i j 2 0 m i l i 2 g T i j 2 0 I i j 2 0 k i 1 Q i j 2 0 l i 1 R i j 2 0 m i 1 l i 3 g T i 1 I i j k i 2 Q i j l i 2 R i j m i 2 Q i 1 Q i j 6 0 l i 2 l i 1 2 0 l i 2 l i 3 m i 3 h T i 1 I i j k i 2 Q i j l i 2 R i j m i 2 R i 1 R i j 6 0 m i 2 m i 1 2 0 m i 2 m i 3 for i 0 i 99 i printf I d f Q d f R d f n i I i i Q i i R i 10 数据数据 I 1 0 122121 Q 1 0 134221 R 1 0 069789 I 2 0 149134 Q 2 0 133561 R 2 0 082639 I 3 0 182112 Q 3 0 089096 R 3 0 147959 I 4 0 222359 Q 4 0 011815 R 4 0 279218 I 5 0 271454 Q 5 0 186444 R 5 0 494890 I 6 0 331302 Q 6 0 457876 R 6 0 819675 I 7 0 404198 Q 7 0 856490 R 7 1 286036 I 8 0 492883 Q 8 1 421805 R 8 1 936112 I 9 0 600614 Q 9 2 204732 R 9 2 824049 I 10 0 731220 Q 10 3 270275 R 10 4 018781 I 11 0 889147 Q 11 4 700674 R 11 5 607276 I 12 1 079468 Q 12 6 598955 R 12 7 698154 I 13 1 307837 Q 13 9 092697 R 13 10 425529 I 14 1 580343 Q 14 12 337714 R 14 13 952698 I 15 1 903229 Q 15 16 521046 R 15 18 475082 I 16 2 282420 Q 16 21 862366 R 16 24 221431 I 17 2 722799 Q 17 28 612454 R 17 31 451940 I 18 3 227217 Q 18 37 047024 R 18 40 451451 I 19 3 795253 Q 19 47 453908 R 19 51 515734 I 20 4 421852 Q 20 60 111823 R 20 64 929024 I 21 5 096090 Q 21 75 259860 R 21 80 932030 I 22 5 800441 Q 22 93 058833 R 22 99 681703 I 23 6 510974 Q 23 113 548563 R 23 121 207123 I 24 7 198820 Q 24 136 608452 R 24 145 369235 I 25 7 832927 Q 25 161 930961 R 25 171 834407 I 26 8 383717 Q 26 189 017272 R 26 200 071364 I 27 8 826868 Q 27 217 200742 R 27 229 377039 I 28 9 146315 Q 28 245 697221 R 28 258 930121 I 29 9 335788 Q 29 273 674360 R 29 287 863828 I 30 9 398646 Q 30 300 327286 R 30 315 344654 I 31 9 346282 Q 31 324 947200 R 31 340 643147 I 32 9 195679 Q 32 346 972483 R 32 363 186038 I 33 8 966740 Q 33 366 017086 R 33 382 584525 I 34 8 679919 Q 34 381 876293 R 34 398 639018 I 35 8 354427 Q 35 394 513829 R 35 411 324666 I 36 8 007094 Q 36 404 036284 R 36 420 763955 I 37 7 651819 Q 37 410 660968 R 37 427 192772 I 38 7 299473 Q 38 414 682392 R 38 430 925305 I 39 6 958090 Q 39 416 441076 R 39 432 321583 I 40 6 633239 Q 40 416 296905 R 40 431 759903 I 41 6 328445 Q 41 414 607976 R 41 429 615059 I 42 6 045624 Q 42 411 715000 R 42 426 242397 11 I 43 5 785465 Q 43 407 930742 R 43 421 967115 I 44 5 547762 Q 44 403 533696 R 44 417 077961 I 45 5 331688 Q 45 398 765115 R 45 411 824387 I 46 5 136002 Q 46 393 828555 R 46 406 416277 I 47 4 959213 Q 47 388 891174 R 47 401 025468 I 48 4 799698 Q 48 384 086192 R 48 395 788445 I 49 4 655793 Q 49 379 516036 R 49 390 809709 I 50 4 525847 Q 50 375 255816 R 50 386 165465 I 51 4 408273 Q 51 371 356885 R 51 381 907375 I 52 4 301566 Q 52 367 850312 R 52 378 066203 I 53 4 204330 Q 53 364 750175 R 53 374 655248 I 54 4 115282 Q 54 362 056599 R 54 371 673515 I 55 4 033257 Q 55 359 758525 R 55 369 108582 I 56 3 957212 Q 56 357 836186 R 56 366 939171 I 57 3 886221 Q 57 356 263312 R 57 365 137413 I 58 3 819474 Q 58 355 009052 R 58 363 670841 I 59 3 756270 Q 59 354 039660 R 59 362 504106 I 60 3 696010 Q 60 353 319917 R 60 361 600447 I 61 3 638190 Q 61 352 814347 R 61 360 922923 I 62 3 582393 Q 62 352 488216 R 62 360 435435 I 63 3 528281 Q 63 352 308330 R 63 360 103538 I 64 3 475586 Q 64 352 243665 R 64 359 895071 I 65 3 424101 Q 65 352 265825 R 65 359 780624 I 66 3 373671 Q 66 352 349350 R 66 359 733840 I 67 3 324185 Q 67 352 471894 R 67 359 731594 I 68 3 275571 Q 68 352 614293 R 68 359 754046 I 69 3 227785 Q 69 352 760520 R 69 359 784601 I 70 3 180804 Q 70 352 897576 R 70 359 809780 I 71 3 134626 Q 71 353 015305 R 71 359 819029 I 72 3 089258 Q 72 353 106161 R 72 359 804479 I 73 3 044716 Q 73 353 164949 R 73 359 760675 I 74 3 001022 Q 74 353 188538 R 74 359 684278 I 75 2 958196 Q 75 353 175567 R 75 359 573767 I 76 2 916261 Q 76 353 126157 R 76 359 429139 I 77 2 875233 Q 77 353 041628 R 77 359 251618 I 78 2 835129 Q 78 352 924236 R 78 359 043388 I 79 2 795958 Q 79 352 776928 R 79 358 807344 I 80 2 757726 Q 80 352 603125 R 80 358 546864 I 81 2 720433 Q 81 352 406531 R 81 358 265621 I 82 2 684076 Q 82 352 190968 R 82 357 967409 I 83 2 648645 Q 83 351 960239 R 83 357 656006 I 84 2 614128 Q 84 351 718019 R 84 357 335062 I 85 2 580506 Q 85 351 467765 R 85 357 008008 I 86 2 547761 Q 86 351 212655 R 86 356 677996 12 I 87 2 515870 Q 87 350 955545 R 87 356 347851 I 88 2 484808 Q 88 350 698941 R 88 356 020044 I 89 2 454549 Q 89 350 444987 R 89 355 696686 I 90 2 425065 Q 90 350 195471 R 90 355 379521 I 91 2 396328 Q 91 349 951832 R 91 355 069948 I 92 2 368311 Q 92 349 715181 R 92 354 769032 I 93 2 340986 Q 93 349 486328 R 93 354 477537 I 94 2 314324 Q 94 349 265809 R 94 354 195950 I 95 2 288299 Q 95 34