【初高中】四川省南江四中高一数学衔接教材 二次函数的三种表示方式

用心 爱心 专心1 四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 二次函数的三种表示方四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 二次函数的三种表示方 式式 通过上一小节的学习 我们知道 二次函数可以表示成以下两种形式 1 1 一般式 一般式 y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 2 2 顶点式 顶点式 y y a a x x h h 2 2 k k a a 0 0 其中顶点坐标是 其中顶点坐标是 h h k k 除了上述两种表示方法外 它还可以用另一种形式来表示 为了研究另一种表示方式 我们先来研究二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点个数 当抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴相交时 其函数值为零 于是有 ax2 bx c 0 并且方程 的解就是抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交点的横坐标 纵坐标为零 于是 不难发现 抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交点个数与方程 的解的个数有关 而方程 的解的个数又与方程 的根的判别式 b2 4ac有关 由此可知 抛物线 y ax2 bx c a 0 与x轴交点个数与根的判别式 b2 4ac存在下列关系 1 1 当 当 0 0 时 抛物线时 抛物线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴有两个交点 反过来 若抛物轴有两个交点 反过来 若抛物 线线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴有两个交点 则轴有两个交点 则 0 0 也成立 也成立 2 2 当 当 0 0 时 抛物线时 抛物线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴有一个交点 抛物线的顶点 轴有一个交点 抛物线的顶点 反过来 若抛物线反过来 若抛物线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴有一个交点 则轴有一个交点 则 0 0 也成立 也成立 3 3 当 当 0 0 时 抛物线时 抛物线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴没有交点 反过来 若抛物线轴没有交点 反过来 若抛物线 y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴没有交点 则轴没有交点 则 0 0 也成立 也成立 于是 若抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴有两个交点A x1 0 B x2 0 则 x1 x2是方程ax2 bx c 0 的两根 所以 x1 x2 b a x1x2 c a 即 b a x1 x2 c a x1x2 所以 y ax2 bx c a 2 bc xx aa a x2 x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 由上面的推导过程可以得到下面结论 若抛物线若抛物线y y axax2 2 bxbx c c a a 0 0 与与x x轴交于轴交于A A x x1 1 0 0 B B x x2 2 0 0 两点 则其函数关系式两点 则其函数关系式 可以表示为可以表示为y y a a x x x x1 1 x x x x2 2 a a 0 0 这样 也就得到了表示二次函数的第三种方法 3 3 交点式 交点式 y y a a x x x x1 1 x x x x2 2 a a 0 0 其中 其中x x1 1 x x2 2是二次函数图象是二次函数图象与与x x轴交点的轴交点的 横坐标 横坐标 今后 在求二次函数的表达式时 我们可以根据题目所提供的条件 选用一般式 顶 点式 交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2 图像的顶点在直线y x 1 上 并且图象经过 用心 爱心 专心2 点 3 1 求二次函数的解析式 分析 在解本例时 要充分利用题目中所给出的条件 最大值 顶点位置 从而可 以将二次函数设成顶点式 再由函数图象过定点来求解出系数a 解 二次函数的最大值为 2 而最大值一定是其顶点的纵坐标 顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线y x 1 上 所以 2 x 1 x 1 顶点坐标是 1 2 设该二次函数的解析式为 2 2 1 0 ya xa 二次函数的图像经过点 3 1 2 1 32 1a 解得a 2 二次函数的解析式为 2 2 2 1yx 即y 2x2 8x 7 说明 在解题时 由最大值确定出顶点的纵坐标 再利用顶点的位置求出顶点坐标 然后设出二次函数的顶点式 最终解决了问题 因此 在解题时 要充分挖掘题目所给的 条件 并巧妙地利用条件简捷地解决问题 例 2 已知二次函数的图象过点 3 0 1 0 且顶点到x轴的距离等于 2 求此 二次函数的表达式 分析一 由于题目所给的条件中 二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的 图象与x轴的交点坐标 于是可以将函数的表达式设成交点式 解法一 二次函数的图象过点 3 0 1 0 可设二次函数为y a x 3 x 1 a 0 展开 得 y ax2 2ax 3a 顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离 2 4a 2 即a 1 2 所以 二次函数的表达式为y 2 13 22 xx 或y 2 13 22 xx 分析二 由于二次函数的图象过点 3 0 1 0 所以 对称轴为直线x 1 又由顶点到x轴的距离为 2 可知顶点的纵坐标为 2 或 2 于是 又可以将二次函数的 表达式设成顶点式来解 然后再利用图象过点 3 0 或 1 0 就可以求得函数的表 达式 解法二 二次函数的图象过点 3 0 1 0 对称轴为直线x 1 又顶点到x轴的距离为 2 顶点的纵坐标为 2 或 2 于是可设二次函数为y a x 1 2 2 或y a x 1 2 2 由于函数图象过点 1 0 0 a 1 1 2 2 或 0 a 1 1 2 2 a 1 2 或a 1 2 所以 所求的二次函数为y 1 2 x 1 2 2 或y 1 2 x 1 2 2 说明 上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度 利用交 点式和顶点式来解题 在今后的解题过程中 要善于利用条件 选择恰当的方法来解决问 题 用心 爱心 专心3 例 3 已知二次函数的图象过点 1 22 0 8 2 8 求此二次函数的表 达式 解 设该二次函数为y ax2 bx c a 0 由函数图象过点 1 22 0 8 2 8 可得 22 8 842 abc c abc 解得 a 2 b 12 c 8 所以 所求的二次函数为y 2x2 12x 8 通过上面的几道例题 同学们能否归纳出 在什么情况下 分别利用函数的一般式 顶点式 交点式来求二次函数的表达式 练习 1 填空 1 函数y x2 x 1 图象与x轴的交点个数是 2 函数y x 1 2 2 的顶点坐标是 1 2 3 已知二次函数的图象经过与x轴交于点 1 0 和 2 0 则该二次函数的解析式 可设为y a a 0 4 二次函数y x2 2x 1 的函数图象与x轴