2013高三数学一轮复习课时提能演练 7.7 空间向量及其运算 理 新课标

用心 爱心 专心 1 20132013 版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 7 77 7 空间向量空间向量 及其运算及其运算 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 如图 在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 M 是 AC 与 BD 的交点 若AB a a 11 A D b b 1 A A c c 则下列向量中与 1 B M 相等的向量是 A a a b b c c B a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a a b b c c D a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2012 上海模拟 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为棱 AA1和 BB1的中点 则 sin CM 1 D N 的值为 A B 1 9 4 95 C D 2 95 2 3 3 有以下命题 如果向量 a a b b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底 那么 a a b b 的关系是不共线 O A B C 为空间四点 且向量OA OB OC 不构成空间的一个基底 那么点 O A B C 一定共面 已知向量 a a b b c c 是空间的一个基底 则向量 a a b b a a b b c c 也是空间的一个基底 其中 正确的命题是 A B C D 4 设 A B C D 是空间不共面的四个点 且满足AB AC 0 AD AC 0 AD AB 0 则 BCD 的形状是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 无法确定 5 已知 ABCD 为四面体 O 为 BCD 内一点 如图 则AO AB 1 3 用心 爱心 专心 2 AC AD 是 O 为 BCD 重心的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 6 2012 青岛模拟 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点 M 在 1 AC 上且AM 1 MC N 为 B1B 的中点 则 MN 为 1 2 A B C D 21 6 6 6 15 6 15 3 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 2012 佛山模拟 若空间三点 A 1 5 2 B 2 4 1 C p 3 q 2 共线 则 p q 8 已知 O 是空间中任意一点 A B C D 四点满足任意三点不共线 但四点共面 且 OA 2xBO 3yCO 4zDO 则 2x 3y 4z 9 2012 长沙模拟 空间四边形 OABC 中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 易错题 已知 a a 1 3 2 b b 2 1 1 点 A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2a a b b 2 在直线 AB 上 是否存在一点 E 使得OE b b O 为原点 11 2012 襄阳模拟 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1 底面 ABC 中 CA CB 1 BCA 90 棱 AA1 2 M N 分别是 A1B1 A1A 的中点 用心 爱心 专心 3 1 求BN 的模 2 求 cos 1 BA 1 CB 的值 3 求证 A1B C1M 探究创新 16 分 在棱长为 1 的正四面体 OABC 中 若 P 是底面 ABC 上的一点 求 OP 的最小值 答案解析答案解析 1 解析 选 A 1 B M 1 B B BM 1 A A BD 1 2 c c AD AB c c b b a a 1 2 1 2 a a b b c c 1 2 1 2 变式备选 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E 为上底面 A1C1的中心 若 AE 1 AA xAB yAD 则 x y 的值分别为 A x 1 y 1 B x 1 y 1 2 C x y D x y 1 1 2 1 2 1 2 解析 选 C 如图 AE 1 AA 1 A E 用心 爱心 专心 4 1 AA 11 A C 1 AA 1 2 AB AD 1 2 所以 x y 1 2 1 2 2 解析 选 B 设正方体的棱长为 2 以 D 为原点建立 如图所示空间坐标系 则CM 2 2 1 1 D N 2 2 1 cos CM 1 D N 1 9 sin CM 1 D N 4 5 9 3 解析 选 C 对于 如果向量 a a b b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底 那 么 a a b b 的关系一定是共线 所以 错误 正确 4 解题指南 通过BC BD DB DC CB CD 的符号判断 BCD 各内角的大 小 进而确定出三角形的形状 解析 选 C BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB 2 AB 2 0 同理DB DC 0 CB CD 0 故 BCD 为锐角三角形 5 解析 选 C 若 O 是 BCD 的重心 则AO AB BO AB BD BC 2 3 1 2 AB BD BC AB AD AB AC AB 1 3 1 3 AB AC AD 1 3 若AO AB AC AD 1 3 则AO AB AO AC AO AD 0 0 即BO CO DO 0 0 设 BC 的中点为 P 则 2OP DO 0 0 用心 爱心 专心 5 DO 2PO 即 O 为 BCD 的重心 6 解析 选 A 如图 设AB a a AD b b 1 AA c c 则 a a b b b b c c c c a a 0 由条件知MN MA AB BN a a b b c c a a c c 1 3 1 2 a a b b c c 2 3 1 3 1 6 MN 2 a a2 b b2 c c2 4 9 1 9 1 36 21 36 MN 21 6 7 解析 AB 1 1 3 AC p 1 2 q 4 由题设AB AC Error Error Error Error p q 5 答案 5 8 解析 A B C D 四点共面 OA mOB nOC pOD 且 m n p 1 由条件知OA 2xOB 3yOC 4zOD 2x 3y 4z 1 2x 3y 4z 1 答案 1 9 解析 由题意知AO BC AO AC AB AO AC AO AB 8 4 cos45 8 6 cos60 16 24 2 cos AO BC AO BC AO BC A 16 2 24 8 5 2 2 3 5 OA 与 BC 所成角的余弦值为 3 2 2 5 答案 3 2 2 5 用心 爱心 专心 6 误区警示 本题常误认为 AO BC 即为 OA 与 BC 所成的角 变式备选 已知点 A 1 2 1 B 1 3 4 D 1 1 1 若AP 2PB 则 PD 的值是 解析 设 P x y z 则AP x 1 y 2 z 1 PB 1 x 3 y 4 z 由AP 2PB 知 x y z 3 1 3 8 3 故 P 3 1 3 8 3 由两点间距离公式可得 PD 77 3 答案 77 3 10 解析 1 2a a b b 2 6 4 2 1 1 0 5 5 故 2a a b b 5 02 5 2 522 2 令AE tAB t R 所以OE OA AE OA tAB 3 1 4 t 1 1 2 3 t 1 t 4 2t 若OE b b 则OE b b 0 所以 2 3 t 1 t 4 2t 0 解得 t 9 5 因此存在点 E 使得OE b b 此时 E 点的坐标为 6 5 14 5 2 5 变式备选 已知 b b 与 a a 2 1 2 共线 且满足 a a b b 18 ka a b b ka a b b 求 b b 及 k 的值 解析 a a b b 共线 存在实数 使 b b a a a a b b a a2 a a 2 2 18 22 1 2 22 解得 2 b b 4 2 4 ka a b b ka a b b ka a b b k a a b b 0 ka a 2a a k a a 2a a k2 4 a a 2 0 k 2 11 解析 如图 建立空间直角坐标系 Oxyz 1 依题意得 B 0 1 0 N 1 0 1 用心 爱心 专心 7 BN 1 0 2 0 1 2 1 0 23 2 依题意得 A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 1 BA 1 1 2 1 CB 0 1 2 1 BA 1 CB 3 1 BA 1 CB 65 cos 1 BA 1 CB 11 11 BA CB BA CB 1 10 30 3 依题意 得 C1 0 0 2 M 2 1 A B 1 1 2 1 C M 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B 1 C M 0 0 1 A B 1 C M 1 2 1 2 A1B C1M 方法技巧 用向量法解题的常见类型及常用方法 1 常见类型 利用向量可解决空间中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 常用的解题方法 基向量法 先选择一组基向量 把其他向量都用基向量表示 然后根据向量的运算解题 坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系 并求出相关点的坐标 根据向量的坐标运算解题即 可 探究创新 用心 爱心 专心 8 解题指南 向量OA OB OC 的模均为 1 其夹角都是 60 故选取OA OB OC 当基底 利用向量的运算求 OP 的最小值 解析 设OA a a OB b b OC c c 由题意 知 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 点 P 在平面 ABC 上 存在实数 x y z 使OP x a a y b b z c c 且 x y z 1 OP 2 x a a y b b z c c 2 x2 y2 z2 2xy a a b b 2yz b b c c 2xz a a c c x