2013年山东高考文科数学试题及答案word详解版

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文科数学文科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将 本试卷和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在 答题卡和试卷规定的位置上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 II 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改 液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 参考公式 如果事件BA 互斥 那么 BPAPBAP 第第 I 卷卷 共共 60 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 复数 2 2 为虚数单位i i i z 则 z A 25 B 41 C 6 D 5 2 已知集合BA 均为全集 4 3 2 1 U的子集 且 4 U AB 1 2 B 则 U AB A 3 B 4 C 3 4 D 3 已知函数 xf为奇函数 且当0 x时 x xxf 1 2 则 1 f A 2 B 1 C 0 D 2 4 一个四棱锥的侧棱长都相等 底面是正方形 其正 主 视图如右图 所示 该四棱锥侧面积和体积分别是 A 4 5 8 B 8 4 5 3 C 8 4 51 3 D 8 8 5 函数 1 1 2 3 x f x x 的定义域为 A 3 0 B 3 1 C 3 3 0 D 3 3 1 6 执行右边的程序框图 若第一次输入的a的值为 1 2 第二次输入的a的值为 1 2 则第一次 第二次输出的a 的值分别为 A 0 2 0 2 B 0 2 0 8 C 0 8 0 2 D 0 8 0 8 7 ABC 的内角ABC 的对边分别是abc 若2BA 1a 3b 则c A 2 3 B 2 C 2 D 1 8 给定两个命题qp 的必要而不充分条件 则pq 是的 的pq 是的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9 函数xxxysincos 的图象大致为 10 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分 去掉 1 个最低分 7 个剩余分数的平均分为 91 现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 个数据模糊 无法辨认 在图中以x表示 8 7 7 9 4 0 1 0 9 1x 则 7 个剩余分数的方差为 A 116 9 B 36 7 C 36 D 6 7 7 11 抛物线 0 2 1 2 1 px p yC的焦点与双曲线 2 2 2 1 3 x Cy 的右焦点的连线交 1 C于第一象限 的点 M 若 1 C在点 M 处的切线平行于 2 C的一条渐近线 则p A 16 3 B 8 3 C 3 32 D 3 34 12 设正实数zyx 满足043 22 zyxyx 则当 z xy 取得最大值时 2xyz 的最大值为 A 0 B 9 8 C 2 D 9 4 第第 II 卷卷 共共 90 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 13 过点 3 1 作圆 22 2 2 4xy 的弦 其中最短的弦长为 14 在平面直角坐标系xOy中 M为不等式组 2360 20 0 xy xy y 所表示的区域上一动点 则OM的 最小值是 15 在平面直角坐标系xOy中 已知 1 OAt 2 2 OB 若90oABO 则实数t的值为 16 定义 正对数 0 01 ln ln 1 x x xx 现有四个命题 若0 0 ba 则abab ln ln 若0 0 ba 则baab lnln ln 若0 0 ba 则ba b a lnln ln 若0 0 ba 则2lnlnln ln baba 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 分 17 本小题满分本小题满分 12 分分 某小组共有ABCDE 五位同学 他们的身高 单位 米 以及体重指标 单位 千克 米 2 如下表所示 ABCDE 身高 1 691 731 751 791 82 体重指标 19 225 118 523 320 9 从该小组身高低于 1 80 的同学中任选 2 人 求选到的 2 人身高都在 1 78 以下的概率 从该小组同学中任选 2 人 求选到的 2 人的身高都在 1 70 以上且体重指标都在 18 5 23 9 中的 概率 18 本小题满分本小题满分 12 分分 设函数 2 3 3sinsincos 0 2 f xxxx 且 yf x 的图象的一个对称中心 到最近的对称轴的距离为 4 求 的值 求 f x在区间 3 2 上的最大值和最小值 19 本小题满分本小题满分 12 分分 如图 四棱锥PABCD 中 ABAC ABPA 2ABCD ABCD E F G M N分别为 PB AB BC PD PC的中点 求证 CEPAD 平面 求证 EFGEMN 平面平面 20 本小题满分本小题满分 12 分分 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且 24 4SS 12 2 nn aa 求数列 n a的通项公式 设数列 n b满足 12 12 1 1 2 n n n bbb nN aaa A A A 求 求 n b的前n项和 n T 21 本小题满分本小题满分 12 分分 已知函数 2 ln f xaxbxx a bR 设0a 求 xf的单调区间 设0a 且对于任意0 x 1 f xf 试比较lna与2b 的大小 22 本小题满分本小题满分 14 分分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 C 的中心在原点 O 焦点在x轴上 短轴长为 2 离心率为 2 2 I I 求椭圆 C 的方程 IIII A B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为 6 4 的任意两点 E 为线段 AB 的中点 射线 OE 交椭圆 C 与点 P 设OPtOE 求实数t的值 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文科数学试题参考答案文科数学试题参考答案 一 一 选择题选择题 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 11 D 12 C 1 解析 法一 由得 2 2 i z i 34 34 34 43 1 iiii zi ii i 答案 C 22 4 3 5z 法二 由得 2 2 i z i 2 2 2 22 2 2 22 1 5 i i zi ii 2 解析 又 1 2 3 4U 4 U CAB 1 2 3AB 1 2B 且 答案 A 3A 3 4 U C B 3 U AC B 3 解析 当时 又 为奇函数 0 x 2 1 f xx x 2 1 1 12 1 f f x 答案 D 1 1 2ff 4 解析 由其正 主 视图可知 在2ABBCOP 中 侧面的高为 该四棱 t RPOE 22 215PE 的侧面积 体积为 侧 1 4254 5 2 S 答案 B 锥 2 18 22 33 V 5 解析 要使函数有意义 只须 解得 答案 1 12 3 x f x x 120 30 x x 30 x A 6 解析 第一次输入的 1 20a 1 210 20a 第一次输出的值为 第二次输入的0 210 80a a0 8 第二次输出的值为 答案 1 21a 1 210 21a a0 2 C 7 解析 在中 由正弦定理ABC 2BA 1a 3b 得 sinsin ab AB 13 sinsin2AA 3 cos 2 A 0 2 A 6 A 2 63 B 在中 答案 B 2 C t RABC 22 3 12c 8 解析 是的必要而不充分条件 等价于p q且pqp q且qpq 是的充分而不必要条件 答案 A ppq 9 解析 函数为奇函数 答案 B 不正确 时 cossinyxxx 0 6 x 答案 C 不正确 时 答案 A 不正确 答案 D 0y x 0y 10 解析 7 个剩余分数的平均分为 91 解得 1 87949090919190 91 7 x 4x 7 个剩余分数的方差为 22 1 8791 7 s 22 9491 9091 22 9091 9191 22 9191 9491 36 7 答 案 B 11 解 抛物线的焦点为 2 1 1 0 2 Cyxp p 0 2 p F 双 曲线的右焦点为 直线的方程 2 2 2 1 3 x Cy 2 2 0 F 2 FF 为 即 由消 1 2 2 xy p 420pxyp 2 2 420 xpy pxyp y 得 解得 222 220 xp xp 22 1 2 16 4 ppp x 0 x 又 在点 M 处 22 16 4 ppp x 1 yx p 1 C 的 切线斜率为 双曲线的渐近线 222 16161 44 ppppp k p 2 2 2 1 3 x Cy 为 解得 答案 D 3 3 yx 2 163 43 pp 4 3 3 p 12 解 正实数 满足 xyz 22 340 xxyyz 当取得最小值时 且 22 3443zxxyyxyxyxy 1 z xy z xy xyz 2xy 所以 2 2zy 0y 2 2222xyzyyy 2 2 1 22y 的最大值为 答案 C 2xyz 2 二 二 填空题填空题 13 14 15 5 16 2 22 13 解析 圆的圆心 半径为 当点为弦的中点 22 2 2 4xy 2 2 C2r 31P 时 其弦最短 最短弦的长为 答案 22 2 2 2 2 2 2 2 14 解析 画出不等式组所表示的区域如图 当 M 点位于 AB 的中点 N 时 2360 20 0 xy xy y 的值最小 最小值是 答案 OM 2 22 2 2 15 解析 1 OAt 22 OB 2 2 ABOBOA 又 1 3 2 tt 90ABO ABOB 解得 答案 232 2 0AB OBt 5t 5 16 解析 定义 正对数 001 ln ln1 x x xx 对 若 则 0a 0b ln ln b aba 当 时 左边 右边 命题成01a 0b 01 b a ln 0 b a ln00bab 立 当 时 左边 右边 命1a 0b 1 b a ln ln ln bb aaba lnlnbaba 题成立 所以 正确 对 若 则 0a 0b ln lnlnabab 当 时 左边 右边 所以命题 2a 1 3 b 2 01 3 ab ln 0ab ln200 不正确 对 若 则 0a 0b ln lnln a ab b 当时 左边 右边 命题成立 1ab 1 a b ln lnlnln aa ab bb lnlnab 当时 左边 右边 命题成立 1ba 01 a b ln 0 a b lnln0ab 当时 左边 右边10ab 1 a b ln lnlnlnln aa aba bb 命题成立 ln0lnaa 当时 左边 右边 命题成立 10ba 01 a b ln 0 a b 0ln0b 当时 左边 右边 命题成立 01ba 1 a b ln ln0 aa bb 000 当时 左边 右边 命题成立 01ab 01 a b ln 0 a b 000 所以 正确 对 若 则 0a 0b ln lnlnln2abab 当 时 左边 右边 1a 1b 2ab ln ln abab 命题成立 lnlnln2lnlnln2ln 2 ln ln abababababab 当 时 左边 右边 1a 01b 1ab ln ln abab 命题成立 lnlnln2ln0ln2ln 2 ln abaaab 当 时 左边 右边 1b 01a 1ab ln ln abab 命题成立 lnlnln20lnln2ln 2 ln abbbab 当 时 左边 或左边 右01a 01b 2ab 0ln ln abab ln2 边 命题成立 lnlnln200ln2ln2ab 所以 正确 故答案 三 三 解答题解答题 17 解 解 I 从身高低于 1 80 的同学中任选 2 人 其一切可能的结果组成的基本事件有 A B A C A D B C B D C D 共 个 由于每个人被选到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的 2 人身高都在 1 78 以下的事件有 A B A C B C 共 3 个 因此选到的 2 人身高都在 1 78 以下的概率为 31 P 62 II 从该小组同学中任选 2 人 其一切可能的结果组成的基本事件有 A B A C A D A C D D 共 10 个 由于每个人被选到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的 人身高都在 1 70 以上且体重指标都在 18 5 23 9 中的事件有 D 共 3 个 因此 选到的 2 人身高都在 1 70 以上且体重指标都在 18 5 23 9 中的概率为 1 3 P 10 18 解 解 I 2 3 3sinsincos 2 f xxxx 31cos21 3sin2 222 x x 31 cos2sin2 22 xx sin 2 3 x 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为 4 又 0 所以 2 4 24 因此1 II 由 I 知 sin 2 3 f xx 当时 3 2 x 58 2 333 x 所以 3 sin 2 1 23 x 因此 3 1 2 f x 故在区间上的最大值和最小值分别为 f x 3 2 3 1 2 19 I 证法一 证法一 取 PA 的中点 H 连接 EH DH 因为 E 为 PB 的中点 所以 EH AB 1 2 EHAB 又因为 AB CD 1 2 CDAB 所以 EH CD EH CD 因此 四边形 DCEH 是平行四边形 所以 CE DH 又 DHPAD CEPAD 平面平面 因此 CE 平面 PAD 证法二 证法二 连接 CF 因为 F 为 AB 的中点 所以 1 2 AFAB 又 1 2 CDAB 所以 AFCD 又 AF CD 所以 四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CF AD 又 CFPAD 平面 所以 CF 平面 PAD 因为 E F 分别为 PB AB 的中点 所以 EF PA 又 EFPAD 平面 所以 EF 平面 PAD 因为 CFEFF 故 平面 CEF 平面 PAD 又 CECEF 平面 所以 CE 平面 PAD II 证明 证明 因为 E F 分别为 PB AB 的中点 所以 EF PA 又 AB PA 所以 AB EF 同理可证 AB FG 又 EFFGF EFEFG FGEFG 平面平面 因此 AB 平面 EFG 又 M N 分别为 PD PC 的中点 所以 MN CD 又 AB CD 所以 MN AB 因此 MN 平面 EFG 又 MNEMN 平面 所以 平面 EFG 平面 EMN 20 解 解 I 设等差数列的首项为 公差为 n a 1 ad 由 得 42 4SS 2 21 nn aa 11 11 4684 21 2 21 1 adad andand 解得 1 1 2ad 因此 21 n annN II 由已知 12 12 1 1 2 n n n bbb nN aaa 当时 1n 1 1 1 2 b a 当时 2n 1 111 1 1 222 n nnn n b a 所以 1 2 n n n b a nN 由 I 知 21 n annN 所以 21 2 n n n bnN 又 23 13521 2222 n n n T 又 231 1132321 22222 n nn nn T 两式相减得 231 1122221 222222 n nn n T 11 3121 222 nn n 所以 23 3 2 n n n T 21 解 解 I 由 2 ln 0 f xaxbxx x 得 2 21 axbx fx x 1 当时 0a 1 bx fx x i 若 当时 恒成立 0b 0 x 0fx 所以 函数的单调递减区间是 f x 0 ii 若 当时 函数单调递减 0b 1 0 x b 0fx f x 当时 函数单调递增 1 x b 0fx f x 所以 函数的单调递减区间是 单调递增区间是 f x 1 0 b 1 b 2 当时 令 0a 0fx 得 2 210axbx 由得 2 80ba 22 12 88 44 bbabba xx aa 显然 12 0 0 xx 当时 函数单调递减 1 0 xx 0fx f x 当时 函数单调递增 2 xx 0fx f x 所以函数单调递减是 f x 2 8 0 4 bba a 单调增区间为 2 8 4 bba a 由题意 函数在处取得最小值 f x1x 由 知是的唯一极小值点 故 2 8 4 bba a f x 2 8 1 4 bba a 整理得 即 令 则 21ab 12ba 24lng xxx 14 x g x x 令 得 0g x 1 4 x 当时 函数为单调增函数 1 0 4 x 0g x g x 当时 函数为单调减函数 1 4 x 0g x f x 因此 故 11 1ln1ln40 44 g xg 0g a 又 所以 故 12ba 24ln2ln0aaba ln2ab 22 解 设椭圆的方程为 C 22 22 10 xy ab ab 由题意得 222 2 2 22 abc c a b 解得 所以