北京市昌平区2016年5月高三第二次统一练习数学文试题含答案

昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷（文科） （ 满分 150分，考试时间 120分钟 ） 生须知： 1 本试卷共 6 页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。 2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写 。 3 答题卡上第 选择题 )必须用 2 (非选择题 )必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5 考试结束后，考生务必将 答题卡 交 监考老师收回，试卷自己妥善保存。 第 卷（选择题 共 40 分） 一、 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) （ 1） 若集合 2, 1, 0,1, 2 ，| | ，则 = 1,0,1B ,1C | 1 1 D | 0（ 2）下列 函数中， 在 (0, ) 上 为 减 函数的是 A. B. 11y x C. . （ 3）过圆 22: ( 1 ) 4C x y 的圆心，且与直线 : 3 2 1 0l x y 垂直的直线方程是 A 2 3 3 0 B. 2 3 3 0 C. 2 3 3 0 D. 2 3 3 0 4） 执行如图所示的程序框图，输出的A. 3 B. 4 C 5 D 6 （ 5）如图，在正方形 , 4,E 为 一点，且 3C则 EA 20 B. 16 C. 15 D. 12 （ 6） 设 R, “ ” 是 “ ”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （ 7）已知 ()上的偶函数，当0x时，11( ) ( )2 . 则不等式 2( ) 0f x x的解集是 A.0,1 B. 1,1 C. 1, ) D. ( , 1 1, ) U （ 8）小王的手机使用的是每月 300M 流量套餐，下图记录了小王在 4 月 1 日至 4 月 10 日这十天 的流量使用情况 , 下列叙述中正确的是 A 1日 这 10天的平均流量小于 B. 11日 这 20天，如果每天的平均流量不超过 11 M，这个月总流量就不会超过套餐流量 日 这 10 天的流量中任选连续 3 天的流量，则 3 日， 4 日， 5 日这三天的流量的方差最大 侧 （ 左 ） 视图俯视图正 （ 主 ） 这 10 天中的流量中任选连续 3 天的流量，则 8 日， 9 日， 10 日这三天的流量的方差最小 第卷（非选择题 共 110分） 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） （ 9）复数 1的虚部是 _. （ 10）在 中，已知 42 , 5 3 , c o B C B ， 则 的面积是 _. (11) 若 , 1 0 ,2 0 , 则 2z x y的最大值为 _. （ 12）已知抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p的准线方程为 2x ，则抛物线 C 的方程为 _; 若某双曲线的一个焦点与抛物线 C 的焦点重合，且渐近线方程为 3 ，则此双曲线的方程为_. （ 13） 某 几何体 的三视图如图所示， 则该 几何体的表面积是 _. （ 14）为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了 “步步夺金”活动 使用平安好医生 步器，每天走路前 1000 步奖励 红包，之后每 2000 步奖励 红包，每天最高奖励不 超过 3 元红包 . 活动期间，连续 3 天领钱成功，从第 4 天起走路奖金翻 1 倍（乘以 2），每天最高奖励不超过 6 元红包 . 某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 步数 13980 15456 17890 19012 21009 则他第二天获得的奖励红包为 _元，这五天累计获得的奖励红包为 _元 . 三、解 答题 (本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) （ 15）（本小题满分 13 分） 已知函数( ) s i n ( ) ( 0 , | | )2f x x 的部分图象如图所示 . （ ） 写出 函数 ()小正周期 T 及 、 的值 ； （ ） 求函数 () , 44上的最大值与最小值 . （ 16）（本小题满分 13分） 在 等比数列 41, 8 （ I） 求数列 （ 若35,项和第 8项，求1 2 3| | | | | | | | ( * )nb b b b n N+ + + 鬃 ?. (17) （本小题满分 13 分） 2015 年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限 区有关部门随机抽取本区 600 名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“ +”表示选，“ ”表示不选 . 结果如下表所示： 人数 课程 课程一 课程二 课程三 课程四 课程五 50 + + + 80 + + 125 + + + 150 + + + 94 + + + 76 + + 25 + + (I) 估计学生既选了课程三，又选了课程四的概率； (估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率； (如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？ 8) （本小题满分 14 分） 如图， P 是 菱形 在 平面外一点，60, 是等边三角形， 2， 22M 是 中点，点（端点除外）， 平面 H . （ I） 求证：/； （ 证：平面面 （ 求几何体体积 . （ 19）（本小题满分 13 分） 已知函数32( ) 3 1 ( 0)f x ax x a , ( ) lng x x （ I） 求函数()值 ； （ 用 值 ) m a x ( ) , ( ) ( 0)h x f x g x x，讨论() （ 20）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 M ： 22 10xy 的 焦距 为 2 ，点 0, 3D 在椭圆 M 上， 过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A 、 B 两点，且点 A 不是 椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴 的垂线，垂足为 H ，点 C 是线段中点，直线 椭圆 M 于点 P ，连接 （ ）求椭圆 M 的 方程及 离心率 ； （ ） 求证： P ; （ 的面积与 的面积之比为 q ，求 q 的取值范围 . 昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 （文科） 、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B D B B C 二、 填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） （ 9） 1 （ 10） 33 （ 11） 7 （ 12） 2228 ; 13yy x x （ 13） 16 6 2 （ 14） 1 ； 8 三、 解答题 (本大题共 6小题，共 80 分解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤 ) （ 15）（本小题满分 13 分） 解：（ I） 2 , . （ ( ) s 2 )3f x x 由 5 , , 2 , 4 4 3 6 6 ， . 当 236x 时，即4x ，m i n 1( ) ( ) ;42f x f 当 232x 时，即12x ，m a x( ) ( ) 1 x f 13 分 (16)（本小题满分 13 分） 解：（ I）设 等比数列 q . 由 141, 8,所以 3341 8.a a q q= = =所以 所以等比数列 1 *1 2 ( ) a q n = ? . (为35, 项和第 8 项 ，所以6 3 8 54 , 1 6 .b a b a= = = = 设 等差数列 差为 ,d 81617 1 6 ,5 4 .b b db b + = = + = 解得， 126, = = 所以等差数列 1 ) 2 6 6 ( 1 ) 6 3 2 b n d n n= + - = - + - = - 时， 5n .（ 1）当 5n 时，1 2 3 1 2 3| | | | | | | | ( )b b b b b b b+ + + 鬃 ? = - + + + + 鬃 ? 21() 3 2 92 nn b b - = - +. （ 2）当 6n 时，1 2 3 1 2 3 4 5 6| | | | | | | | ( )b b b b b b b b b b+ + + 鬃 ? = - + + + + + + 鬃 ?，1 5 65 ( ) ( 5 ) ( )22 nb b n b b+ - += - + 227 0 ( 3 2 9 7 0 ) 3 2 9 1 4 0 .n n n n= + - + = - + 综上所述： 21 2 3 23 2 9 , 5 , * ,| | | | | | | |3 2 9 1 4 0 , 6 , * n n nb b b bn n n n + ?+ + + 鬃 ?= - + ? . (17) （本小题满分 13 分） 解：（ I）学生既选了课程三，又选了课程四的概率 为 150 76 113600 300 . （ 生在五项课程中，选了三项课程的概率为 50 125 150 94 419600 600 . . (学生已经选了课程二，再选课程一的概率为50 80 1350 80 150 28 ； 再选课程三的概率为150 15； 再选课程四的概率为50 150 550 80 150 7 ； 所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大 . (18) （本小题满分 14 分） (I) 证明：连接 在菱形O 为 点， 且点 M 为 点， 所以 /A ,且 221 又 M O B D M 平 面 , P A B D M 平 面 , 所以 /P A B D . 由已知，平面 ， 所以 H 平 面 ，从而 H G A P G H 平 面 ， 又 H G B D M 平 面 ， 所以 ,B D M A P G H G H 平 面 所以 /H . (证明：在等边三角形 中， 2C ， M 是 中点 . 所以3 在菱形 ，60， 2，所以1 D又2所以 2 2 2D O M O D M，所以 O 在菱形 , C , 又 A C M O OI , 所以 B D P A C 平 面 . 又 B D B D M 平 面 , 所以 P A C B D M平 面 平 面. 9 分 (在 中， 2 2 , 2 , 2 3 ,P A P C A C 所以 2 2 2P A P C A C , 所以C，即O. 又 P A C B D M平 面 平 面. P A C B D M M O 平 面, 所以 P C B D M 平 面 . 所以 1233M B D C C B D M B D S C M . （ 19）（本小题满分 13 分） 解： （ I）因为 函数32( ) 3 1 f x ax x， 所以2( ) 3 6 3 ( 2) f x ax x x 令( ) 0 1 0x，或2 2x a. 因为0a，所以12 所以()及()符号变化如下， x,0)0(, ), )() 0 极大值 极小值 所以()的极大值为 (0) 1f ，极小值为2 2 22 8 1 2 4( ) 1 1 f a a a a. （ ( ) g x x ，则 1x . 当 01x 时， ( ) 0 1x 时， ( ) 0当 1x 时， ( ) 0 （ 1）当 1x 时， ( ) 0 () (1, ) 上无零点 . 所以( ) m a x ( ), ( )h x f x g 1, ) 上无零点 . （ 2）当 1x 时， (1) 0g ， 所以 1 为 ()一个零点 . (1) 2 当21 是 () 所以当时， ( ) m a x ( ), ( )h x f x g 当02a时， ( ) ( ), ( ) 当2a时， ( ) a x ( ), ( )h x f x g （ 3）当 01x 时， ( ) 0 () (0,1) 上无零点 . 所以( ) m a x ( ), ( )h x f x g 0,1) 上的零点个数就是()0,1) 上的零点个数 . 当（ I）可知, )( , )上为增函数， 且 (0) 1f ， (1) 22222 4 4( ) 1 af a a a. 当2a，即 02a 时，()在 (0,1) 上为减函数，且 ( 1 ) 2 0 , ( 0 ) 1 0 .f a f 所以()0,1) 上有 1 个零点，即 个零点 . 当2，即 2a 时， 在 (0,1) 上为减函数，且 (1) 2 0 所以 在 (0,1) 上无零点，即 无零点 . 当2 1，即 2a 时，()在20, )( ,1)上为增函数， 2222 4 4( ) 1 0af a a a ，所以0,1) 上无零点 综上，当 02a 时，() 个零点，当 2a 时， 有 1 个零点，当 2a 时，() （ 20）（本小题满分 14 分） 解： （ I） 由题意知1,c 3b， 则2 2 2 4a b c ， 所以椭圆 M 的方程为22143， 椭圆 M 的 离心率为 12. （ 0 0 1 1( , ) , ( , )A x y P x y，则 00 0 0( , ) , ( , ) x y C x由点 ,以001 11 点 A 不是 椭圆 M 的顶点， - 得， 2210221034. 法一：又 01 0 01 0 0 0332,24P B B y x x x 且点 ,点共线， 所以1 0 01 0 034y y yx x x , 即 0 1 00 1 04 ( ) )y y yx x x 所以， 220 1 0 1 0 1 0 1 00 1 0