2010年中考数学真题分类汇编（150套）专题四十七·开放探究型问题

第 1 页 共 45 页 一 填空题一 填空题 1 1 2010 江苏盐城 江苏盐城 写出图象经过点 1 1 的一个函数关系式 答案 y x 或 y 或 y x2 2x 答案不唯一 1 x 二 解答题二 解答题 1 1 2010 安徽蚌埠二中 安徽蚌埠二中 已知 过点 3 4 点与点关于轴对称 过作ODHDxH 的切线交轴于点 OxA 求的值 HAO sin 如图 设 与轴正半轴交点为 点 是线段上的动点 与点不OxPEFOPP 重合 连接并延长 交 于点 直线交轴于点 若是DEDFOBCBCxGDEF 以为底的等腰三角形 试探索的大小怎样变化 请说明理由 EFCGO sin 答案 2 试探索的大小怎样变化 请说明理由 CGO sin 解 当 两点在上运动时 与点不重合 的值不变EFOPPCGO sin 过点作于 并延长交于 连接 DEFDM MDMO NON 交于 BCT 因为为等腰三角形 DEF EFDM 所以平分DNBDC 所以弧 BN 弧 CN 所以 BCOT 所以 MNOCGO 所以 CGO sin 5 3 sin ON OM MNO 即当 两点在上运动时 与点不重合 的值不变 EFOPPCGO sin y H A D O O C P F y G D Ex B 5 3 sin AO HO HAO 第 2 页 共 45 页 图 4 2 2 2010 安徽蚌埠 安徽蚌埠 如图 1 2 是两个相似比为 的等腰直角三角形 将两个三角形12 如图 3 放置 小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合 在图 3 中 绕点旋转小直角三角形 使两直角边分别与交于点 DBCAC FE 如图 4 求证 222 EFBFAE 若在图 3 中 绕点旋转小直角三角形 使它的斜边和延长线分别与交于CCDAB 点 如图 5 此时结论是否仍然成立 若成立 请给出证明 若FE 222 EFBFAE 不成立 请说明理由 如图 在正方形中 分别是边上的点 满足的周长ABCDFE CDBC CEF 等于正方形的周长的一半 分别与对角线交于 试问线段ABCDAFAE BDNM 能否构成三角形的三边长 若能 指出三角形的形状 并给出证明 若BMMNDN D 图 1 BA C 图 2 DA C B 图 3 F E D BA C A D BF E 图 5 C 第 3 页 共 45 页 不能 请说明理由 答案 在图 4 中 由于 将绕点旋转 得 BDAD AED D 180DE B 连接 EBAE DEED F E 90CABABCEABABCEFB 在中有 FEBRt 222 FEBFBE 又垂直平分 FDE E EFEF 代换得 222 EFBFAE 在图 5 中 由 将绕点旋转 得BCAC AEC C 90 CE B 连接 ECCEEBAE F E 90CABABCECBABCEFB 在中有 FEBRt 222 FEBFBE 又可证 得VCEF FE C EFEF 代换得 222 EFBFAE 3 将绕点瞬时针旋转 得 且 ADF A 90ABG AGAFGBFD 因为的周长等于正方形周长的一半 所以CEF ABCD BECEFDCFCBCDCFEFCE 化简得从而可得 EGEF AEG AEF 推出 45EAGEAF 此时该问题就转化为图 5 中的问题了 由前面的结论知 再由勾股定理的逆定理知 222 DNBMMN 线段 可构成直角三角形 BMMNDN 3 3 2010 安徽省中中考安徽省中中考 如图 已知 ABC 相似比为 且 ABC 111 CBAk1 k 的三边长分别为 的三边长分别为 abccba 111 CBA 1 a 1 b 1 c N F M EB D A C N F M EB D A C G 第 4 页 共 45 页 若 求证 1 ac kca 若 试给出符合条件的一对 ABC 和 使得 和 进 1 ac 111 CBAabc 1 a 1 b 1 c 都是正整数 并加以说明 若 是否存在 ABC 和 使得 请说明理由 1 ab 1 bc 111 CBA2 k 答案答案 4 4 2010 江苏盐城 江苏盐城 本题满分 12 分 已知 函数 y ax2 x 1 的图象与 x 轴只有一个公共 点 1 求这个函数关系式 2 如图所示 设二次函数 y ax2 x 1 图象的顶点为 B 与 y 轴的交点为 A P 为图象 上的一点 若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B 求 P 点的坐标 3 在 2 中 若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M 试探索点 M 是否在抛 物线 y ax2 x 1 上 若在抛物线上 求出 M 点的坐标 若不在 请说明理由 A x y O B 第 5 页 共 45 页 答案 解 1 当a 0时 y x 1 图象 与x轴只有一个公共点 1分 当a 0时 1 4a 0 a 此时 图象 与x轴只有一个公共点 1 4 函数的解析式为 y x 1 或 y x2 x 1 3 分 1 4 2 设P为二次函数图象上的一点 过点 P作PC x 轴于点C 是二次函数 由 1 知该函数关系式为 y ax2 x 1 y x2 x 1 则顶点为 B 2 0 图象与 y 轴的交点 1 4 坐标为 A 0 1 4 分 以 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B PB AB 则 PBC BAO Rt PCB Rt BOA 故 PC 2BC 5 分 AO BC OB PC 设 P 点的坐标为 x y ABO 是锐角 PBA 是直角 PBO 是钝角 x 2 BC 2 x PC 4 2x 即 y 4 2x P 点的坐标为 x 4 2x 点 P 在二次函数 y x2 x 1 的图象上 4 2x x2 x 1 6 分 1 4 1 4 解之得 x1 2 x2 10 x0 则 222 6 3 2 x 解得 1 6 2 x 2 6 2 x 舍去 点 B 的横坐标是 6 2 2 当 5 4 a 1 2 b 3 5 5 c 时 得 2 513 5 425 yxx 3 2 5513 5 4520 yx 以下分两种情况讨论 情况 1 设点 C 在第一象限 如图甲 则点 C 的横坐标为 5 5 3 tan3031 3 OCOB O y x C B A 甲 1 1 1 1 由此 可求得点 C 的坐标为 5 5 2 5 5 点 A 的坐标为 2 15 5 15 5 第 22 页 共 45 页 A B 两点关于原点对称 点 B 的坐标为 2 15 5 15 5 将点 A 的横坐标代入 式右边 计算得 15 5 即等于点 A 的纵坐标 将点 B 的横坐标代入 式右边 计算得 15 5 即等于点 B 的纵坐标 在这种情况下 A B 两点都在抛物线上 情况 2 设点 C 在第四象限 如图乙 则点 C 的坐标为 5 5 2 5 5 O y x C B A 乙 1 1 1 1 点 A 的坐标为 2 15 5 15 5 点 B 的坐标为 2 15 5 15 5 经计算 A B 两点都不在这条抛物线上 情况 2 另解 经判断 如果 A B 两点都在这条抛物线上 那么抛物线将开口向下 而已知的抛物线开口向上 所以 A B 两点不可能都在这条抛物线上 存在 m 的值是 1 或 1 22 ya xmamc 因为这条抛物线的对称轴经过点 C 所以 1 m 1 当 m 1 时 点 C 在 x 轴上 此时 A B 两点都在 y 轴上 因此当 m 1 时 A B 两点不可能同时在这 条抛物线上 1616 2010 江苏泰州 如图 二次函数的图象经过点 D 与 x 轴cxy 2 2 1 2 9 3 交于 A B 两点 求的值 c 如图 设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点 直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分 试证明线段 BD 被直线 AC 平分 并求此时直线 AC 的函数解析式 设点 P Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点 试猜想 是否存在这样的 点 P Q 使 AQP ABP 如果存在 请举例验证你的猜想 如果不存在 请说 明理由 图 供选用 第 23 页 共 45 页 答案 抛物线经过点 D 2 9 3 2 9 3 2 1 2 c c 6 过点 D B 点分别作 AC 的垂线 垂足分别为 E F 设 AC 与 BD 交点为 M AC 将四边形 ABCD 的面积二等分 即 S ABC S ADC DE BF 又 DME BMF DEM BFE DEM BFM DM BM 即 AC 平分 BD c 6 抛物线为6 2 1 2 xy A B 0 32 0 32 M 是 BD 的中点 M 4 9 2 3 设 AC 的解析式为 y kx b 经过 A M 点 解得 4 9 2 3 032 bk bk 5 9 10 33 b k 直线 AC 的解析式为 5 9 10 33 xy 存在 设抛物线顶点为 N 0 6 在 Rt AQN 中 易得 AN 于是以 A 点为圆心 4 3 第 24 页 共 45 页 AB 为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q 连接 AQ 再作 QAB 平分线 AP 交4 3 抛物线于 P 连接 BP PQ 此时由 边角边 易得 AQP ABP 1717 2010 福建福州 如图 1 在平面直角坐标系中 点 B 在直线 y 2x 上 过点 B 作 x 轴 的垂线 垂足为 A OA 5 若抛物线 y x2 bx c 过 O A 两点 1 6 1 求该抛物线的解析式 2 若 A 点关于直线 y 2x 的对称点为 C 判断点 C 是否在该抛物线上 并说明理 由 3 如图 2 在 2 的条件下 O1是以 BC 为直径的圆 过原点 O 作 O1的切线 OP P 为切点 点 P 与点 C 不重合 抛物线上是否存在点 Q 使得以 PQ 为直径的圆与 O1相切 若存在 求出点 Q 的横坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 把 O 0 0 A 5 0 分别代入 y x2 bx c 1 6 得解得 0 25 50 6 c bc 5 6 0 b c 该抛物线的解析式为 y x2 x 1 6 5 6 2 点 C 在该抛物线上 理由 过点 C 作 CD x 轴于点 D 连结 OC 设 AC 交 OB 于点 E 点 B 在直线 y 2x 上 B 5 10 点 A C 关于直线 y 2x 对称 OB AC CE AE BC OC OC OA 5 BC BA 10 又 AB x 轴 由勾股定理得 OB 5 5 SRt OAB AE OB OA AB 1 2 1 2 AE 2 AC 4 55 OBA 十 CAB 90 CAD CAB 90 CAD OBA 又 CDA OAB 90 CDA OAB CD 4 AD 8 C 3 4 CD OA AD AB AC OB 当 x 3 时 y 9 3 4 1 6 5 6 第 22 题图 1 第 22 题图 2 第 25 页 共 45 页 点 C 在抛物线 y x2 x 上 1 6 5 6 3 抛物线上存在点 Q 使得以 PQ 为直径的圆与 O1相切 过点 P 作 PF x 轴于点 F 连结 O1P 过点 O1作 O1H x 轴于点 H CD O1H BA C 3 4 B 5 10 O1是 BC 的中点 由平行线分线段成比例定理得 AH DH AD 4 1 2 OH OA AH 1 同理可得 O1H 7 点 O1的坐标为 1 7 BC OC OC 为 O1的切线 又 OP 为 O1的切线 OC OP O1C O1P 5 四边形 OPO1C 为正方形 COP 900 POF OCD 又 PFD ODC 90 POF OCD OF CD PF OD P 4 3 设直线 O1P 的解析式为 y kx B k 0 把 O1 1 7 P 4 3 分别代人 y kx B 得 解得 7 43 kb kb 4 3 25 3 k b 直线 O1P 的解析式为 y x 4 3 25 3 若以 PQ 为直径的圆与 O1相切 则点 Q 为直线 O1P 与抛物 线的交点 可设点 Q 的坐标为 m n 则有 n m n m2 M 4 3 25 3 1 6 5 6 m m2 M 整理得 m2 3m 50 0 4 3 25 3 1 6 5 6 解得 m 点 Q 的横坐标为或 1818 2010 江苏无锡 1 如图 1 在正方形ABCD中 M是BC边 不含端点B C 上任意一点 P是BC延 长线上一点 N是 DCP的平分线上一点 若 AMN 90 求证 AM MN 下面给出一种证明的思路 你可以按这一思路证明 也可以选择另外的方法证 明 证明 在边AB上截取AE MC 连 ME 正方形ABCD中 B BCD 90 AB BC NMC 180 AMN AMB 180 B AMB MAB MAE 下面请你完成余下的证明过程 第 22 题图 第 26 页 共 45 页 M N P D C E B A 图 1 M N PCB A 图 2 2 若将 1 中的 正方形ABCD 改为 正三角形ABC 如图 2 N 是 ACP 的平 分线上一点 则当 AMN 60 时 结论 AM MN 是否还成立 请说明理由 3 若将 1 中的 正方形ABCD 改为 正边形ABCD X 请你作出猜想 当n AMN 时 结论AM MN仍然成立 直接写出答案 不需要证明 答案 解 1 AE MC BE BM BEM EMB 45 AEM 135 CN平分 DCP PCN 45 AEM MCN 135 在 AEM和 MCN中 AEM MCN AM MN CMN AEMMCN AEMC EAM 2 仍然成立 在边AB上截取AE MC 连接ME ABC是等边三角形 AB BC B ACB 60 ACP 120 AE MC BE BM BEM EMB 60 AEM 120 CN平分 ACP PCN 60 AEM MCN 120 CMN 180 AMN AMB 180 B AMB BAM AEM MCN AM MN 3 2 180n n 1919 2010 黄冈 黄冈 6 分 如图 一个含 45 的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合 过 E 点作 EF AE 交 DCE 的角平分线于 F 点 试探究线段 AE 与 EF 的 数量关系 并说明理由 第 18 题图 第 27 页 共 45 页 答案答案 提示 由 H FCE AH CE HAE FCE 可证 HAE CEF 从而得 到 AE EF 2020 2010 山东临沂 如图 1 已知矩形 点是边的中点 且 ABCDCDE2ABAD 1 判断的形状 并说明理由 ABC 2 保持图 1 中的固定不变 绕点旋转所在的直线到图 2 中的位置 当ABC CDEMN 垂线段 在直线的同侧 试探究线段 长度之间有什么关系 ADBEMNADBEDE 并给予证明 3 保持图 2 中的固定不变 继续绕点旋转所在的直线到图 3 中的位ABC CDEMN 置 当垂线段 在直线的异侧 试探究线段 长度之间有什ADBEMNADBEDE 么关系 并给予证明 答案 解 1 ABC 是等腰直角三角形 如图 1 在矩形 ABED 中 因为点 C 是边 DE 的中点 且 AB 2AD 所以 AD DC CE EB D E 90 Rt ADC Rt BEC AC BC 1 2 45 ACB 90 ABC 是等腰直角三角形 2 DE AD BE 如图 2 在 Rt ADC 和 Rt BEC 中 1 CAD 90 1 2 90 CAD 2 又 AC BC ADC CEB 90 Rt ADC Rt CEB DC BE CE AD DC CE BE AD 即 DE AD BE 3 DE BE AD 如图 3 在 Rt ADC 和 Rt CEB 中 1 CAD 90 1 2 90 CAD 2 又 ADC CBE 90 AC CB Rt ADC Rt CBE DC BE CE AD DC CE BE AD 即 DE BE AD E D C B A 图1 EDC B A 图2 M N N M 图3 A B C D E 第 25 题图 第 28 页 共 45 页 第25题图1 AB CDE 12 N M 第25题图2 A B C D E 1 2 N M 第25题图3 A B C D E 1 2 2121 2010 福建宁德 福建宁德 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 求证 AMB ENB 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 当 AM BM CM 的最小值为时 求正方形的边长 13 E A D B C N M 答案 解 ABE 是等边三角形 BA BE ABE 60 MBN 60 MBN ABN ABE ABN 即 BMA NBE 又 MB NB AMB ENB SAS 5 分 当 M 点落在 BD 的中点时 AM CM 的值最小 如图 连接 CE 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时 AM BM CM 的值最小 理由如下 连接 MN 由 知 AMB ENB AM EN F E A D B C N M 第 29 页 共 45 页 MBN 60 MB NB BMN 是等边三角形 BM MN AM BM CM EN MN CM 根据 两点之间线段最短 得 EN MN CM EC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时 AM BM CM 的值最小 即等于 EC 的长 过 E 点作 EF BC 交 CB 的延长线于 F EBF 90 60 30 设正方形的边长为 x 则 BF x EF 2 3 2 x 在 Rt EFC 中 EF2 FC2 EC2 2 x x 2 2 x 2 3 2 13 解得 x 舍去负值 2 正方形的边长为 2 2222 2010 湖北随州 湖北随州 已知抛物线顶点为 C 1 1 且过原点 O 过 2 0 yaxbxc a 抛物线上一点 P x y 向直线作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 5 4 y 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 3 1 4 F 并证明此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请 求出 t 值 若不存在请说明理由 答案 1 a 1 b 2 c 0 2 过 P 作直线 x 1 的垂线 可求 P 的纵坐标为 横坐标为 此时 1 4 1 13 2 MP MF PF 1 故 MPF 为正三角形 第 30 页 共 45 页 3 不存在 因为当 t x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 同理 当 t x 1 时 5 4 5 4 PM 与 PN 不可能相等 2323 2010 内蒙古包头 内蒙古包头 已知二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象经过点 10 A 2 0 B 02 C 直线xm 2m 与x轴交于点D 1 求二次函数的解析式 2 在直线xm 2m 上有一点E 点E在第四象限 使得EDB 为顶点 的三角形与以AOC 为顶点的三角形相似 求E点坐标 用含m的代数式表示 3 在 2 成立的条件下 抛物线上是否存在一点F 使得四边形ABEF为平行四 边形 若存在 请求出m的值及四边形ABEF的面积 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 根据题意 得 0 420 2 abc abc c 解得132abc 2 32yxx 2 分 2 当EDBAOC 时 得 AOCO EDBD 或 AOCO BDED 122AOCOBDm 当 AOCO EDBD 时 得 12 2EDm 2 2 m ED 点E在第四象限 1 2 2 m Em 4 分 当 AOCO BDED 时 得 12 2mED 24EDm 点E在第四象限 2 42 E mm 6 分 3 假设抛物线上存在一点F 使得四边形ABEF为平行四边形 则 y xO y xO BA D C x m F2 F1 E1 E2 第 31 页 共 45 页 1EFAB 点F的横坐标为1m 当点 1 E的坐标为 2 2 m m 时 点 1 F的坐标为 2 1 2 m m 点 1 F在抛物线的图象上 2 2 1 3 1 2 2 m mm 全品中考网 2 211140mm 27 2 0mm 7 2 2 mm 舍去 1 53 24 F 33 1 44 ABEF S A 9 分 当点 2 E的坐标为 42 mm 时 点 2 F的坐标为 142 mm 点 2 F在抛物线的图象上 2 42 1 3 1 2mmm 2 7100mm 2 5 0mm 2m 舍去 5m 2 4 6 F 1 66 ABEF S A 12 分 2424 2010 湖南湘潭 湖南湘潭 如图 直线与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 以线段6yx AB 为直径作 C 抛物线过 A C O 三点 cbxaxy 2 1 求点 C 的坐标和抛物线的解析式 2 过点 B 作直线与 x 轴交于点 D 且 OB2 OA OD 求证 DB 是 C 的切线 3 抛物线上是否存在一点 P 使以 P O C A 为顶点的四边形为直角梯形 如果 存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 第 32 页 共 45 页 x y 答案答案 解 1 A 6 0 B 0 6 1 分 连结 OC 由于 AOB 90o C 为 AB 的中点 则 ABOC 2 1 所以点 O 在 C 上 没有说明不扣分 过 C 点作 CE OA 垂足为 E 则 E 为 OA 中点 故点 C 的横坐标为 3 又点 C 在直线 y x 6 上 故 C 3 3 2 分 抛物线过点 O 所以 c 0 又抛物线过点 A C 所以 解得 3 93 0 366 ab ab 1 2 3 ab 所以抛物线解析式为 3 分xxy2 3 1 2 2 OA OB 6 代入 OB2 OA OD 得 OD 6 4 分 所以 OD OB OA DBA 90o 5 分 又点 B 在圆上 故 DB 为 C 的切线 6 分 通过证相似三角形得出亦可 3 假设存在点 P 满足题意 因 C 为 AB 中点 O 在圆上 故 OCA 90o 要使以 P O C A 为顶点的四边形为直角梯形 则 CAP 90o或 COP 90o 7 分 若 CAP 90o 则 OC AP 因 OC 的方程为 y x 设 AP 方程为 y x b 又 AP 过点 A 6 0 则 b 6 8 分 方程 y x 6 与联立解得 xxy2 3 1 2 1 1 6 0 x y 2 2 3 9 x y 故点 P1坐标为 3 9 9 分 若 COP 90o 则 OP AC 同理可求得点 P2 9 9 用抛物线的对称性求出亦可 26 题图 第 33 页 共 45 页 故存在点 P1坐标为 3 9 和 P2 9 9 满足题意 10 分 2525 20102010 甘甘肃肃 12 分 如图 抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 设抛物线的顶点为 D 1 求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 2 以 B C D 为顶点的三角形是直角三角形吗 为什么 3 探究坐标轴上是否存在点 P 使得以 P A C 为顶点的三角形与 BCD 相似 若 存在 请指出符合条件的点 P 的位置 并直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 答案答案 解 1 设该抛物线的解析式为 cbxaxy 2 由抛物线与 y 轴交于点 C 0 3 可知 3 c 即抛物线的解析式为 1 分3 2 bxaxy 把 A 1 0 B 3 0 代入 得 30 9330 ab ab 解得 2 1 ba 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 3 分 顶点 D 的坐标为 4 分 4 1 说明 只要学生求对 不写 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 不扣分 2 1 ba 2 以 B C D 为顶点的三角形是直角三角形 5 分 理由如下 过点 D 分别作轴 轴的垂线 垂足分别为 E F xy 第 34 页 共 45 页 在 Rt BOC 中 OB 3 OC 3 6 分18 2 BC 在 Rt CDF 中 DF 1 CF OF OC 4 3 1 7 分2 2 CD 在 Rt BDE 中 DE 4 BE OB OE 3 1 2 820 2 BD 分 故 BCD 为直角三角形 9 分 222 BDCDBC 3 连接 AC 可知 Rt COA Rt BCD 得符合条件的点为 O 0 0 10 分 过 A 作 AP1 AC 交 y 轴正半轴于 P1 可知 Rt CAP1 Rt COA Rt BCD 求得符合条件的点为 11 分 3 1 0 1 P 过 C 作 CP2 AC 交 x 轴正半轴于 P2 可知 Rt P2CA Rt COA Rt BCD 求得符合条件的点为 P2 9 0 12 分 符合条件的点有三个 O 0 0 P2 9 0 3 1 0 1 P 2626 2010 福建南平福建南平 如图 1 在 ABC 中 AB BC P 为 AB 边上一点 连接 CP 以 PA PC 为邻边作 APCD AC 与 PD 相交于点 E 已知 ABC AEP 0 90 1 求证 EAP EPA 2 APCD 是否为矩形 请说明理由 3 如图 2 F 为 BC 中点 连接 FP 将 AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度 得到 MEN 点 M N 分别是 MEN 的两边与 BA FP 延长线的交点 猜想线段 EM 与 EN 之间的数量关系 并证明你的结论 第 35 页 共 45 页 图 1 A B D C E P 图 2 A B D C E P M N F 答案 1 证明 在 ABC 和 AEP 中 ABC AEP BAC EAP ACB APE 在 ABC 中 AB BC ACB BAC EPA EAP 2 答 APCD 是矩形 四边形 APCD 是平行四边形 AC 2EA PD 2EP 由 1 知 EPA EAP EA EP 则 AC PD APCD 是矩形 3 答 EM EN EA EP EPA 90 1 2 EAM 180 EPA 180 90 90 1 2 1 2 由 2 知 CPB 90 F 是 BC 的中点 FP FB FPB ABC EPN EPA APN EPA FPB 90 90 1 2 1 2 EAM EPN AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度 得到 MEN AEP MEN AEP AEN MEN AEN 即 MEA NEP EAM EPN EM EN 2727 20102010 甘甘肃肃 12 分 如图 抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 设抛物线的顶点为 D 1 求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 2 以 B C D 为顶点的三角形是直角三角形吗 为什么 3 探究坐标轴上是否存在点 P 使得以 P A C 为顶点的三角形与 BCD 相似 若 存在 请指出符合条件的点 P 的位置 并直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 第 36 页 共 45 页 答案答案 解 1 设该抛物线的解析式为 cbxaxy 2 由抛物线与 y 轴交于点 C 0 3 可知 3 c 即抛物线的解析式为 1 分3 2 bxaxy 把 A 1 0 B 3 0 代入 得 30 9330 ab ab 解得 2 1 ba 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 3 分 顶点 D 的坐标为 4 分 4 1 说明 只要学生求对 不写 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 不扣分 2 1 ba 2 以 B C D 为顶点的三角形是直角三角形 5 分 理由如下 过点 D 分别作轴 轴的垂线 垂足分别为 E F xy 在 Rt BOC 中 OB 3 OC 3 6 分18 2 BC 在 Rt CDF 中 DF 1 CF OF OC 4 3 1 7 分2 2 CD 在 Rt BDE 中 DE 4 BE OB OE 3 1 2 820 2 BD 第 37 页 共 45 页 分 故 BCD 为直角三角形 9 分 222 BDCDBC 3 连接 AC 可知 Rt COA Rt BCD 得符合条件的点为 O 0 0 10 分 过 A 作 AP1 AC 交 y 轴正半轴于 P1 可知 Rt CAP1 Rt COA Rt BCD 求得符合条件的点为 11 分 3 1 0 1 P 过 C 作 CP2 AC 交 x 轴正半轴于 P2 可知 Rt P2CA Rt COA Rt BCD 求得符合条件的点为 P2 9 0 12 分 符合条件的点有三个 O 0 0 P2 9 0 3 1 0 1 P 2828 2010 福建莆田 福建莆田 如图 1 在中 ACB AC 6 BC 8 点 D 在边 ABRt ABC 0 90 上运动 DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E 垂足为 M 垂足为 N EMBD ENCD 1 当 AD CD 时 求证 DE AC 2 探究 AD 为何值时 BME 与 CNE 相似 3 探究 AD 为何值时 四边形 MEND 与 BDE 的面积相等 答案答案 第 38 页 共 45 页 第 39 页 共 45 页 第 40 页 共 45 页 2929 2010 天门 潜江 仙桃 天门 潜江 仙桃 如图 平面直角坐标系中 点 A B C 在 x 轴上 点 D E 在 y 轴上 OA OD 2 OC OE 4 DB DC 直线 AD 与经过 B E C 三点的抛 物线交于 F G 两点 与其对称轴交于 M 点 P 为线段 FG 上一个动点 与 F G 不重合 PQ y 轴与抛物线交于点 Q 1 求经过 B E C 三点的抛物线的解析式 2 是否存在点 P 使得以 P Q M 为顶点的三角形与 AOD 相似 若存在 求出满足 条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若抛物线的顶点为 N 连接 QN 探究四边形 PMNQ 的形状 能否成为菱形 能 否成为等腰梯形 若能 请直接写出点 P 的坐标 若不能 请说明理由 答案 1 设函数解析式为 y a x 2 x 4 则 a 2 4 4 解得 a 2 1 所以经过 B E C 三点的抛物线的解析式为 y x 2 x 4 x2 x 4 2 1 2 1 2 y x2 x 4 x 1 2 2 1 2 1 2 9 易知直线 AD 解析式为 y x 2 所以 M 1 3 过点 M 作 MR PQ 于点 R 因为 AOD 是 等腰直角三角形 结合题意可知 MPQ 是等腰直角三角形 设 MN m 则 PQ 2m 所以 P 1 第 41 页 共 45 页 m 3 m Q 1 m 3 m 所以 1 m 1 2 3 m 解得 m1 1 m2 3 不合题意 舍去 2 1 2 9 此时 P 0 2 3030 20102010 年福建省泉州 年福建省泉州 我们容易发现 反比例函数的图象是一个中心对称图形 你 可以利用这一结论解决问题 如图 在同一直角坐标系中 正比例函数的图象可以看作是 将轴所在的直线绕着x 原点逆时针旋转 度角后的图形 若它与反比例函数的图象分别交于第一 O x y 3 三象限的点 已知点 BD 0 mA 0 mC 1 直接判断并填写 不论 取何值 四边形的形状一定是 ABCD 2 当点为时 四边形是矩形 试求 和有值 B 1 pABCDpm 观察猜想 对 中的值 能使四边形为矩形的点共有几个 不mABCDB 必说理 3 试探究 四边形能不能是菱形 若能 直接写出 B 点的坐标 若不能 ABCD 说明理由 第 42 页 共 45 页 答案 解 1 平行四边形 3 分 2 点在的图象上 1 pB x y 3 p 3 1 4 分 3 p 过作 则BExBE轴于 13 BEOE 在中 BOERt 3 3 3 1 tan OE BE 30 5 分 2 OB 又 点 B D 是正比例函数与反比例函数图象的交点 点 B D 关于原点 O 成中心对称 6 分 OB OD 2 四边形为矩形 且ABCD 0 mA 0 mC 7 分 2 ODOCOBOA 8 分 2 m 能使四边形为矩形的点 B 共有 2 个 9 分 ABCD 3 四边形不能是菱形 10 分 ABCD 法一 点 的坐标分别为 AC 0 m 0 m 四边形的对角线在轴上 ABCDACx 又 点 分别是正比例函数与反比例函数在第一 三象限的交点 BD 对角线与不可能垂直 ACBD 四边形不能是菱形ABCD 法二 若四边形 ABCD 为菱形 则对角线 AC BD 且 AC 与 BD 互相平分 因为点 A C 的坐标分别为 m 0 m 0 所以点 A C 关于原点 O 对称 且 AC 在 x 轴上 11 分 第 43 页 共 45 页 所以 BD 应在 y 轴上 这与 点 B D 分别在第一 三象限 矛盾 所以四边形 ABCD 不可能为菱形 12 分 3131 20102010 年福建省泉州 年福建省泉州 如图所示 已知抛物线的图象与轴相交于点kxxy 2 4 1 y 点在该抛物线图象上 且以为直径的 恰好恰好经过顶