2.1.1函数的概念和图象

适用学科 高中数学适用年级高一 适用区域 苏教版区域课时时长 分钟 2 课时 知识点 函数的概念 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 区间的意义及表示 函数的表示法 解析法 列表法 图象法 分段函数及其应用 映射的概念 教学目标 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 2 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 4 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 教学重点运用函数图象理解和研究函数的性质 教学难点 运用函数图象理解和研究函数的性质 知识导图知识导图 教学过程 函数是整个高中数学的重点 其中函数思想是最重要的数学思想方法 在未来的高考 中可以说得函数者得天下 对本部分内容的考察形势稳中求变 向着更灵活的的方向发展 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现 通过具体问题 几何问题 实际应用题 找 出变量间的函数关系 再求出函数的定义域 值域 进而研究函数性质 寻求问题的结果 1 下列各组函数中 表示同一函数的是 A f x x g x x2 B f x g x 2 x2x C f x g x x 1 x2 1 x 1 D f x g x x 1x 1x2 1 1 函数的定义 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 2 函数的定义域 值域 在函数 y f x x A 中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 显然 值域是集 考点 1 函数的基本概念 二 知识讲解 一 导入 合 B 的子集 3 函数的三要素 定义域 对应关系和值域 4 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法 图象法和列表法 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 求函数解析式常用方法有待定系数法 换元法 配凑法 消去法 类型一 判断函数 例 1有以下判断 f x 与 g x Error 表示同一函数 x x 函数 y f x 的图象与直线 x 1 的交点最多有 1 个 f x x2 2x 1 与 g t t2 2t 1 是同一函数 若 f x x 1 x 则 f 0 f 1 2 考点 2 映射的概念 三 例题精析 例题 1 考点 3 函数解析式的求解 其中正确判断的序号是 规范解答 对于 由于函数 f x 的定义域为 x x R 且 x 0 x x 而函数 g x Error 的定义域是 R 所以二者不是同一函数 对于 若 x 1 不是 y f x 定义域内的值 则直线 x 1 与 y f x 的图象没有交点 如果 x 1 是 y f x 定义域内的值 由函数定义可知 直线 x 1 与 y f x 的图象只有一个交点 即 y f x 的图象与直线 x 1 最多有一个交点 对于 f x 与 g t 的定义域 值域和对应关系均相同 所以 f x 和 g t 表 示同一函数 对于 由于 f 0 所以 f f 0 1 1 2 1 2 1 1 2 f 1 2 综上可知 正确的判断是 总结与反思 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定 当且仅当定义域和对应关 系都相同的函数才是同一函数 值得注意的是 函数的对应关系是就效果而言的 判断两个 函数的对应关系是否相同 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值 按照 这两个对应关系算出的函数值是否相同 类型二 函数解析式 1 如果 f 则当 x 0 且 x 1 时 则 f x 1 x x 1 x 2 已知 f x 是一次函数 且满足 3f x 1 2f x 1 2x 17 则 f x 3 已知函数 f x 的定义域为 0 且 f x 2f 1 则 f x 1 xx 规范解答 1 令 t 得 x f t f x 1 x 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 1 x 1 例题 1 2 设 f x ax b a 0 则 3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax 5a b 即 ax 5a b 2x 17 不论 x 为何值都成立 Error 解得Error f x 2x 7 3 在 f x 2f 1 中 用 代替 x 得 f 2f x 1 1 xx 1 x 1 x 1 x 将 f 1 代入 f x 2f 1 中 可求得 f x 1 x 2f x x 1 xx 2 3 x 1 3 总结与反思 函数解析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数 f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 3 配凑法 由已知条件 f g x F x 可将 F x 改写成关于 g x 的表达式 然后以 x 替代 g x 便得 f x 的解析式 4 消去法 已知关于 f x 与 f或 f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另外一个等式 1 x 组成方程组 通过解方程组求出 f x 类型三 函数定义域 1 求函数的定义域 1 1f xx x 2 已知函数 f x 的定义域为 1 2 则函数 g x 的定义域为 f 2x x 1 0 规范解答 1 要使函数有意义 则需有 解得 1 0 0 x x 1 00 x 所以原函数的定义域为 1 00 2 要使函数 g x 有意义 f 2x x 1 0 例题 1 则必须有Error x0 时 f a 2 2a 2 0 无解 当 a 0 时 f a a 1 a 1 2 0 a 3 2 由题设 f x 2 x2 1 得当 x 1 或 x 1 时 fM x 2 x2 当 1 x 1 时 fM x 1 fM 0 1 反思与总结 1 应用分段函数时 首先要确定自变量的值属于哪个区间 其次选定相 应关系代入计算求解 特别要注意分段区间端点的取舍 当自变量的值不确定时 要分类 讨论 2 若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时 应根据每一段的解析 式分别求解 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围 例题 1 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数 1 f x g x 2 x 33 x 2 f x g x x x 01 01 x x 2 求函数定义域 2 1 32 f x xx 3 求函数定义域 2 4 23 x f x xx 答案与解析答案与解析 1 解 1 由于 f x x g x x 故它们的值域及对应法则都不相同 2 x 33 x 所以它们不是同一函数 2 由于函数 f x 的定义域为 0 0 而 g x x x 的定义域为 R 所以它们不是同一函数 01 01 x x 2 答案 21 x 解析 解得023 2 xx12 orxx 3 答案 33 11 4x 解析 解得 032 04 2 xx x 33 11 4x 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数 1 f x g x 2n 1 n N 1212 nn x 12 n x 四 课堂运用 基础 巩固 2 f x g x x1 xxx 2 3 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 2 设函数 89 100 5 100 3 f xxff xx xf求 3 已知函数定义域为 0 2 求函数的定义域 f x 2 23f x 答案与解析答案与解析 1 1 由于当 n N 时 2n 1 为奇数 f x x g x 2n 1 x 它们的定义域 值域及对应法则都相同 1212 nn x 12 n x 所以它们是同一由于函数 f x 的定义域为 x x 0 而 g x 的为x1 xxx 2 x x 1 或 x 0 它们的定义域不同 所以它们不是同一函数 3 函数的定义域 值域和对应法则都相同 所以它们是同一函数 2 这是分段函数与复合函数式的变换问题 需要反复进行数值代换 101 104 99 94 89 fffffffffffff 99 102 97 100 103 98 fffffffffff 98 101 104 fff 3 由得且 所以得定义域为 2 02x 22x 0 x 2 f x 2 0 0 2 1 函数的图象与直线的公共点数目是 xfy 1x 拔高 2 已知若 则的值为 2 2 1 12 2 2 xx f xxx x x 3f x x 3 下列四个命题 1 有意义 2 函数是其定义域到值域的映射 xxxf 12 3 函数的图象是一条直线 4 函数 的图象是抛物线 其2 yx xN 0 0 2 2 xx xx y 中正确的命题个数为 答案与解析答案与解析 1 0 或 1 解析 有可能是没有交点的 如果有交点 那么对于 x 1 仅有一个函数值 2 3 解析 该分段函数的三段各自的值域为 1 0 4 4 而 3 0 4 f x x2 3 x 而 1 x 2 x 33 3 1 解析 1 x 2 且 x 1 不存在 2 函数是特殊的映射 3 该图象是由离散的点组成 的 4 该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的 不是抛物线 故只有 2 正确 1 在判断两个函数是否为同一函数时 要紧扣两点 一是定义域是否相同 二是对应关系 是否相同 2 定义域优先原则 函数定义域是研究函数的基础依据 对函数性质的讨论 必须在定义 域上进行 3 函数解析式的几种常用求法 待定系数法 换元法 配凑法 消去法 4 求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f x0 时 首先要判断 x0属于定义域的哪个子集 然后再代入相应的关系 式 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 五 课堂小结 六 课后作业 基础 1 求函数定义域 1 2 3 3 1 x f x x 0 1x f x xx 1 9 1 f xx x 2 已知函数 试计算的值 2 0 2 0 xx f x f xx 5f 3 已知一次函数满足 试确定函数的解析式 f x 312153fxfxx f x 答案与解析答案与解析 1 1 2 3 1 3 x 0 x 9 1 x 2 答案 1 解析 115 ff 3 解析 解 因为是一次函数 不妨设 则 f x 0f xkxb k 化简可得 312153kxbkxbx 553kxkbx 即有 解得 55 3 k kb 1 2 k b 所以函数的解析式为 f x 2f xx 综上 1m 1 已知函数的定义域为 则函数的定义域为 21fx 0 1 2f x 2 已知函数 若 则实数的值是多少 2 0 1 0 xx f x xx 10f af a 3 已知函数满足 试确定函数的解析式 f x 2 1 220f xfxxx x f x 答案与解析答案与解析 1 答案 1 1 x 解析 3 112 1 0 xx 1 1 3 12 xx 巩固 2 答案 3 a 解析 3 21 2 21 aaaff 3 解析 因为 2 1 22f xfxx x 所以有 2 1 22fxf xx x 可得 2 2 3 32f xx x 所以函数的解析式为 f x 2 21 3 f xx x 1 已知函数的定义域为 试确定实数的取值范围 2 22f xmxmxm Rm 2 已知实数 函数 若 则0a 2 1 2 1 xax f x xa x 11fafa a 3 已知定义在上的函数满足 当时 试求R f x 1f xf x 0 1x 2 f xx 解函数在区