【优化方案】2012高中数学 第3章章末综合检测 苏教版选修2-1

1 时间 120 分钟 满分 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 把答案填在题中横线上 1 在平行六面体 ABCD A B C D 中 若 x 2y 3z 则 AC AB BC C C x y z 等于 解析 如图所示 x 2y 3z 所以 x 1 y z 所 AC AB BC CC AB BC CC 1 2 1 3 以 x y z 1 1 2 1 3 7 6 答案 7 6 2 已知向量 1 1 1 则它与 x 轴正方向夹角的余弦值为 OA 解析 设 i 1 0 0 为 x 轴正方向的单位向量 则 cos i OA OA i OA i 3 3 答案 3 3 3 设 a x 4 3 b 3 2 z 且 a b 则 xz 解析 a b x 6 z 从而 xz 9 3 2 答案 9 4 点 A 1 0 1 B 4 4 6 C 2 2 3 D 10 14 17 则这四个点 共面 填是或 否 解析 3 4 5 1 2 2 9 14 16 AB AC AD 设 AD x y AB AC 即 9 14 16 3x y 4x 2y 5x 2y Error Error 即 A B C D 四点共面 答案 是 5 空间四边形 ABCD 中 连结 AC BD 若 BCD 是正三角形 且 E 为其中心 则 的化简结果是 AB 1 2BC 3 2DE AD 解析 2 如图 延长 DE 交 BC 于 F 易知 F 是 BC 的中点 则 AB 1 2BC 3 2DE AD AB AD 0 BF 3 2 2 3DF DB BF DF DB BF FD DB BD 答案 0 6 已知 a 13 b 19 a b 24 则 a b 等于 解析 a b 24 a 13 b 19 所以 a b 2 a2 b2 2a b 132 192 2a b 242 所以 2a b 46 所以 a b 2 a2 b2 2a b 132 192 46 484 所以 a b 22 484 答案 22 7 已知 1 1 1 则与平行的单位向量 e 是 OA OA 解析 与平行的向量可设为 1 1 1 为实数 由题意可得 3 2 1 所以 OA 3 3 答案 或 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 下列命题 若 则 P A B 三点共线 OP 1 2OA 1 3OB 若 a b c 是空间的一个基底 则 a b b c c a 构成空间的另一个基底 a b c a b c ABC 为直角三角形的充要条件是 0 AB AC 其中真命题的序号是 解析 由向量的相关知识容易判断 不正确 而 中 假设 a b b c c a 不 能构成基底 则这三个向量共面 可设 a b x b c y c a 易推得 a b c 共面 与 a b c 构成基底矛盾 所以 正确 答案 9 已知 a b 是非零向量且满足 a 2b a b 2a b 则 a 与 b 的夹角 是 解析 由 a 2b a b 2a b 得 a a 2b 0 b 2a b 0 所以 a2 2a b b2 2a b 所以 2 a b cos a 2且 a 2 b 2 所以 cos 所以 a 2 2 a b 1 2 3 答案 3 10 已知三条直线 l1 l2 l3的一个方向向量分别为 a 4 1 0 b 1 4 5 c 3 12 9 则 l1 l2 但 l1与 l3不垂直 l1 l3 但 l1与 l2不垂直 l2 l3 但 l2与 l1不垂直 解析 a b 4 1 0 1 4 5 4 4 0 0 a c 4 1 0 3 12 9 12 12 24 0 b c 1 4 5 3 12 9 3 48 45 0 a b a 与 c 不垂直 b c l1 l2 l2 l3 但 l1不垂直于 l3 答案 11 已知 a 3 1 5 b 1 2 3 向量 c 与 z 轴垂直 且满足 c a 9 c b 4 则 c 解析 令 c x y z 则Error Error 解得Error Error 3 c 0 22 5 21 5 答案 0 22 5 21 5 12 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面三角形 ABC 的边长 CA CB 1 BCA 90 棱 AA1 2 N 是 AA1的中点 则 BN 的长是 解析 以 C 为原点 CA CB CC1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 C xyz 图略 则 B 0 1 0 N 1 0 1 1 1 1 BN 即 BN 的长是 BN 33 答案 3 13 已知矩形 ABCD P 为 ABCD 外一点 PA 面 ABCD G 为 PAC 的重心 则 1 3 AB AD AP 解析 如图所示 连 AG 交 PC 于 E 则 AG AE 2 3 AB AD AP AC AP 2 2 3 AE 3 2AG AG 1 3 AB AD AP AG 答案 AG 14 已知正方体 ABCD EFGH 的边长等于 1 若 P 点在正方体的内部且满足 AP 3 4 PN AB 则 PN 的长度为 AB 1 2AD 2 3AE 解析 如图 过 P 作 PM 平面 ABCD 于 M 过 M 作 MN AB 于 N 连结 PN AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE AN MN PM 3 4 1 2 2 3 PN 1 2 2 2 3 2 5 6 答案 5 6 4 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本小题满分 14 分 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 以 D 点为原点 所在直线为 x y z 轴建立空间直角坐标系 D xyz 且 MN 是 AB1与 BC1的 DA DC DD1 公垂线 M 在 AB1上 N 在 BC1上 求 MN 解 由题设知 A 1 0 0 B1 1 1 1 B 1 1 0 C1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 又 AB1 BC1 M 在 AB1上 可设 M 1 p p N 在 BC1上 可设 N q 1 1 q 则 q 1 1 p 1 p q MN 由 MN 是 AB1和 BC1的公垂线 知 0 0 MN AB1 MN BC1 即 q 1 1 p 1 p q 0 1 1 0 q 1 1 p 1 p q 1 0 1 0 Error Error 解得 p q 2 3 2 3 MN 1 3 1 3 1 3 16 本小题满分 14 分 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 AC 的中点 求证 1 BD1 AC 2 BD1 EB1 证明 以 D 为原点 分别以 DA DC DD1所在直线为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系 D xyz 设正方体的棱长为 1 则 B 1 1 0 D1 0 0 1 A 1 0 0 C 0 1 0 E 0 1 2 1 2 B1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 BD1 AC 1 1 1 1 1 0 0 BD1 AC BD1 AC BD1 AC 2 1 1 1 1 BD1 EB1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 BD1 EB1 1 2 1 2 BD1 EB1 BD1 EB1 17 本小题满分 14 分 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示 截面为 5 A1B1C1 BAC 90 A1A 平面 ABC A1A AB AC 2 A1C1 1 证 32 BD DC 1 2 明 平面 A1AD 平面 BCC1B1 证明 如图 建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 B 0 0 C 0 2 0 A1 0 0 C1 0 1 233 BD DC 1 2 BD 1 3BC D 点坐标为 0 2 2 3 2 3 0 2 0 AD 2 2 3 2 3 BC 2 0 0 AA1 3 0 0 BC AA1 BC AD BC AA1 BC AD 又 A1A AD A BC 平面 A1AD 又 BC 平面 BCC1B1 平面 A1AD 平面 BCC1B1 18 本小题满分 16 分 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 DD1 BD 的中点 G 在棱 CD 上 且 CG CD 1 4 1 求证 EF B1C 2 求 EF 与 C1G 的夹角的余弦值 解 如图 建立空间直角坐标系 则 B1 1 0 1 C 1 1 0 E 0 1 F 0 G 1 0 C1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 4 1 证明 EF 1 2 1 2 1 2 0 1 1 B1C 6 0 EF B1C EF B1C 2 0 1 C1G 1 4 cos EF C1G EF C1G EF C1G 1 8 0 1 2 3 4 17 16 51 17 即直线 EF 与 C1G 的夹角的余弦值为 51 17 19 本小题满分 16 分 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC BC AC BC AC 2 AA1 3 D 是 AC 的中点 问在侧棱 AA1上是否存在一点 P 使 CP 平面 BDC1 并证明你的结论 解 以 C1为原点 C1A1 C1C C1B1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直 角坐标系 C1 xyz 则 B 0 3 2 C 0 3 0 D 1 3 0 0 3 2 1 3 0 C1B C1D 假设侧棱 AA1上存在一点 P 2 y 0 0 y 3 使 CP 平面 BDC1 则 2 y 3 0 CP Error Error 即Error Error 上述方程组无解 假设不成立 侧棱 AA1上不存在一点 P 使 CP 平面 BDC1 20 本小题满分 16 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是棱 BC CC1上的点 CF AB 2CE AB AD AA1 1 2 4 1 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值 2 证明 AF 平面 A1ED 3 求二面角 A1 ED F 的正弦值 解 如图所示 建立空间直角坐标系 A xyz 7 设 AB 1 依题意得 D 0 2 0 F 1 2 1 A1 0 0 4 E 1 0 3 2 1 易得 0 1 0 2 4 EF 1 2 A1D 于是 cos EF A1D EF A1D EF A1D 3 5 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 易知 1 2 1 1 4 1 0 AF EA1 3