上海市奉贤区2012届高三数学4月调研考试（二模）试题 文 沪教版

用心 爱心 专心1 1 x 开始 输入x 1 x y x 否 是 否 是 图图 1 1 结束 输出y y 1y 2x 3 上海市奉贤区上海市奉贤区 20122012 届高三二模调研试题届高三二模调研试题 数学文数学文 一 填空题 本大题满分 56 分 1 若 4 ai ibi 其中 a bR i 是虚数单位 则ab 2 函数 32 x xf的反函数 xf 1 3 若集合 1 0 1 cos ABy yx xA 则AB 4 阅读如图 1 所示的程序框图 若输出y的值为 0 则输入x的值为 5 二项式 6 1 x x 展开式中的常数项是 用数字回答 6 无穷等比数列满足 1 2 nn aa 1 1 a 则数列 n a的各项和为 7 已知数列 n a是等差数列 公差0 d 在行列式 987 654 321 aaa aaa aaa 中 元素 91 iNiai是实数 则所有元素的代数余子式大于零的个数 有 个 8 不等式0 2 2 a x x 的在 2 1内有实数解 则实数a的取值范围是 9 文 在ABC 中 CBCBAsinsinsinsinsin 222 则A 10 文 如图 一个空间几何体的正视图 侧视图 俯视图为 全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角边长为 1 那么这个几何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图 11 文 双曲线 01 2 2 2 2 ba b y a x 的实轴长4 则双曲线上的一点 3 4到两渐近 线的距离的乘积等于 12 文 从 1 1 2 3 3 2 中随机抽取一个数记为a 从 1 1 2 2 中随机抽取一个数记为 b 则函数 x yab 的图象经过第三象限的概率是 13 文 过平面区域 20 20 20 xy y xy 内一点P作圆 22 1O xy 的两条切线 切点分别 为 A B 记APB 当 最小时 此时点P坐标为 用心 爱心 专心2 14 文 操作变换记为 1 yxP 其规则为 1 yxyxyxP 且规定 11 yxPPyxP nn n是大于 1 的整数 如 1 3 2 1 1 P 4 2 1 3 2 1 2 1 1112 PPPP 则 1 1 2012 P 二 选择题 本大题满分 16 分 15 已知b c是平面 内的两条直线 则 直线a 是 直线ab 且直线ac 的 答 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 16 若有不同的三点 CBA 满足 5 4 3 BCABABCACABC 则这三点 答 A 组成锐角三角形 B 组成直角三角形 C 组成钝角三角形D 在同一条直线上 17 文 预测人口的变化趋势有多种方法 直接推算法 使用的公式是 n n kPP 1 0 其中 n P为预测人口数 0 P为初期人口数 k为预测年内增长率 n为预测期间隔年 数 如果在某一时期k满足01 k 那么这期间人口数 答 A 呈上升趋势 B 呈下降趋势 C 摆动变化 D 不变 18 文 平行于x轴的直线 1 l 与椭圆C 1 925 22 yx 交于左右A B两点 平行于 y 轴的直线 2 l 与椭圆C 1 925 22 yx 交于上下C D两点 则四边形 ACBD面积的最大值为 答 A 15B 60 C 30D 不是一个定值 三 解答题 本大题满分 78 分 本大题共有 6 题 解答下列各题必须写 出必要的步骤 19 本题满分 10 分 本题共有两个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 7 分 设关于x的不等式 1 0 x xaa R的解集为M 不等式 0 3 1 x x 的解集为N 1 当1a 时 求集合M 2 若MN 求实数a的取值范围 20 本题满分 11 分 本题共有两个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 6 分 E D C A B O P y x N M 用心 爱心 专心3 已知函数 2 3sinsin cosf xxxx 2 x 1 求 f x的零点 2 求 f x的最大值和最小值 21 本题满分 11 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 6 分 函数 xbxxf24lg 2 其中0 b 1 若 xf是奇函数 求b的值 2 在 1 的条件下 判别函数 xfy 的图像是否存在两点 A B 使得直线 AB 平行于 x轴 说明理由 22 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 文 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 90ABC 4AB 4BC 1 3BB M N分别是 11 BC和AC的中点 1 求异面直线 1 AB与NC1所成的角 2 求三棱锥 CNCM 1 的体积 23 本题满分 17 分 文 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题 9 分 平面内一动点 yxP 到两定点 0 1 0 1 21 FF 的距离之积等于2 1 求 21F PF 周长的最小值 4 分 2 求动点 yxP 的轨迹C方程 用 xfy 2 形式表示 4 分 1 类似高二第二学期教材 12 4 椭圆的性质 12 6 双曲线的性质 12 8 抛物线的性 质 中研究曲线的方法请你研究轨迹C的性质 请直接写出答案 9 分 24 本题满分 17 分 文 本题有 3 小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题满分 7 分 数列 n a的各项均为正数 1 pa 0 p Nk n knn pkpfaa 1 当 1 k kpkpf 5 p时 求 32 a a 用心 爱心 专心4 2 若数列 n a成等比数列 请写出 kpf 满足的一个条件 并写出相应的通项公式 不必证明 3 当 1 k kpkpf 时 设 1321 222 nnn aaaaaT 求 n T 20122012 调研测试高三数学参考答案调研测试高三数学参考答案 一 填空题 1 5 2 3log2 x 3 1 4 3log2 x或0 x 5 20 6 2 7 4 8 3 a 9 理 5 32 文 3 10 理 3 5 11 理 1 12 理 2 2 0 文 6 1 文 5 4 文 或 375 0 8 3 13 理 4 1 14 理 12 文 2 4 文 10061006 2 2 14 理 点集Q实际上可以写成 22 22 xyB QxyA 其中 22 xyA 看成是A按照向量 22 xy 的平移得到的点集 而 22 xyA 得到 的是以 22 xy 为圆心半径为1的圆 所以Q就是所有圆心在正方形KLMN里 半径为1的圆的并 如图所示 当半径为1的圆在KLMN边界上滑动时 分 别得到4个长为2宽为1的矩形 在顶点滚动时 得到4个扇形 所以最终 Q 就是图示阴影部分 不难求得面积 424412 4 S 二 选择题 15 A 16 C 17 理 C 18 理 A 文 B 文 C 三 解答题 10 11 11 12 17 17 19 解 解 当1a 时 由已知得 2 0 x x 所以 02 Mxx 3 分 方法一 由已知得 31 xxN 5 分 当1a 时 因为10a 所以 10 Mx ax 因为MN 所以110a 解得21a 7 分 若1a 时 M 显然有MN 所以1a 成立 8 分 若1a 时 因为10a 所以 01 Mxxa 又 13Nxx 因为MN 所以013a 解得12a 9 分 综上所述 a的取值范围是 2 2 10 分 说明 可以并入 也可并入 每一种 2 分 一共 4 分 最后结论 1 分 T S V U R Q P O L KN M y O x 2 121 用心 爱心 专心5 方法二 方法一 由已知得 31 xxN 5 分 由题得 01 11 a a 6 分 解得12 a 7 分 31 01 a a 8 分 解得21 a 9 分 所以 2 2 a 10 分 20 1 1 解法一 解法一 解 令 0f x 得 sin 3sincos 0 xxx 所以sin0 x 或 3 tan 3 x 2 分 由 sin0 x 2 x 得 x 3 分 由 3 tan 3 x 2 x 得 5 6 x 4 分 综上 函数 xf的零点为 5 6 或 5 分 解法二 解法二 31 3 1 cos2sin2sin 2 2232 f xxxx 3 分 令 0f x 得 3 sin 2 32 x 5 分 因为 2 x 所以 2 5 2 333 x 所以 当 4 2 33 x 或 5 2 33 x 时 0f x 7 分 即 5 6 x 或 x 时 0f x 8 分 综上 函数 xf的零点为 5 6 或 9 分 2 解 31 3 1 cos2sin2sin 2 2232 f xxxx 8 分 因为 2 x 所以 2 5 2 333 x 9 分 当 2 2 33 x 即 2 x 时 xf的最大值为3 10 分 当 3 2 32 x 即 11 12 x 时 xf的最小值为 3 1 2 11 分 用心 爱心 专心6 21 解 解 1 22 44 0 xbxb 恒成立 所以函数 xbxxf24lg 2 的定义域是一切实数 关于原点对称 2 分 方法一 xf是奇函数 00 f 3 分 0lg0 bf 1 b 5 分 方法二 因为 xf是奇函数 所以 0 xfxf 3 分 0lg2 4 lg24lg 22 bxbxxbxxfxf 1 b 5 分 2 方法一 假设存在BA 两点 使得AB平行x轴 0 AB k 6 分 2 2 21 2 1 214lg214lgxxxx 7 分 12 2 2 2 1 221414xxxx 两边平方化简得到 0144 2 2 2 1 xx 10 分 得到矛盾 xfy 的图像上不存在两点 使得所连的直线与x轴平行 11 分 方法二 不存在 21 0 xx 分61 1414 22 222 1414 44 214214 2 2 2 1 21 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 21 2 121 xx xx xxxx xx xx xxxxxhxh 1 1414 22 0 1420 1420 0 2 2 2 1 21 2 22 2 1121 xx xx xxxxxx xf在 0单调递增 7 分 xf是奇函数 所以在 0 单调递增 8 分 用心 爱心 专心7 xf 在R单调递增 9 分 0 BA BA AB xx yy k 10 分 xfy 的图像上不存在两点 使得所连的直线与x轴平行 11 分 说明 证明在整个R上单调递增的要 4 分 不证明单调性 直接说函数是单调递增的 扣 3 分 22 理 1 方法一 1 0 P则 1 2 1 2 1 PN 1 分 平面ABC的一个法向量为 0 0 1 n 2 分 则 nPN nPN sin 4 5 2 1 1 2 3 1 2 2 4 分 所以当 2 1 时 5 52 sin max 5 分 5 52 arcsin max 5 5 arccos2arctan 6 分 方法二 过P作ABPH 交于H点 可得ABCPH面 PNH 就是所成的线面角 1 分 计算 AH 2 1 2 HN 2 分 4 1 2 1 1 2 1 1 tan 2 2 HN PH 4 分 所以当 2 1 时 2tan max 5 分 用心 爱心 专心8 2arctan max 5 5 arccos 5 52 arcsin 6 分 2 方法一 过P作 PT面 11BCC B 可证得T在 11C B上 8 分 点P到平面 11BCC B的距离 4 2 PT 9 分 8 2 2 1 2 2 2 1 CMN S 10 分 48 1 4 2 8 2 3 1 MNCP V 12 分 方法二 用向量 平面 11BCC B的法向量 0 2 1 2 1 n 8 分 点P到平面 11BCC B的距离 d n PNn 4 2 9 分 面积 8 2 2 1 2 2 2 1 CMN S 10 分 48 1 4 2 8 2 3 1 MNCP V 12 分 22 文 解 1 过A作 AQ C1N交 A1C1于 Q 连结QB1 AQA1 为异面直线 1 AB与NC1所成的角 或其补角 2 分 根据四边形CCAA 11 N 是中点 为矩形 可证 Q 为中点 计算17 22 5 11 AQQBAB 3 分 11 BC BC 11 BC BC BC AD BCAD 四边形 11 ADC B为矩形 且 1 AB 1 C D 由已知条件和余弦定理可得 5 17 cos 1 QCC 5 分 异面直线 1 AB与 1 BC所成的角为 5 17 arccos 6 分 2 方法一 过M作 11C AMH 于 H 面 111 CBA面CCAA 11 于 11C A 用心 爱心 专心9 MH面CCAA 11 MP 平面ABC 8 分 2 MH 10 分 1 NCCM V MHCCNC 1 2 1 3 1 22322 2 1 3 1 12 分 方法二 2 取BC的中点P 连结MP NP 则MP 1 BB MP 平面ABC 8 分 又NPABC 平面 MPNP 1 2 2 PNAB 3MP CMCNNCCM VV 11 10 分 NPCCMC 11 2 1 3 1 2232 2 1 3 1 12 分 23 理 解 1 1 21 PFPF 列式 111 2 2 2 2 yxyx 3 分 化简114 222 xxy 1 分 2 性质 对称性 关于原点对称 关于x轴对称 关于y轴对称 3 分 顶点 0 0 0 2 3 分 用心 爱心 专心10 x的范围 22 x 1 分 y的范围 2 1 2 1 y 2 分 3 2 1 1 12121 21 PF PFFFPFPFC FPF 1 分 xxyxPF2141 22 22 1 2 0 0 2 x 12 11 12 1 PF 1 分 222 4 2121 21 FFPFPFC FPF 1 1 分 23 文 解 1 222 21 21 PFPFPFPF 2 分 当且仅当 1 0 2 21 PPFPF时等式成立 1 分 21F PF 周长的最小值222 1 分 2 2 21 PFPF 列式 211 2 2 2 2 yxyx 3 分 化简112 222 xxy 1 分 3 性质 对称性 关于原点对称 关于x轴对称 关于y轴对称 3 分 顶点 1 0 0 3 2 分 x的范围 33 x 2 分 y的范围 11 y 2 分 23 题的图 1 5 1 0 5 0 5 1 2 112 g x 4 x2 1 x2 1f x 4 x2 1 x2 1 1 5 1 0 5 0 5 1 2 112 g x 4 x2 4 x2 1f x 4 x2 4 x2 1 用心 爱心 专心11 23 2 理科 y的取值范围推导过程 解 1 推导过程 3 114 2 tx设 4 1 2 4 1 4 3 4 114 2 2 22 tt t xxxh 2 1 t时 xhxx时即 2 3 0 211 2 递增 所以 4 1 4 3 max 22 yx时 解 2 设 021 0 xxx 时 xh递增 0 21 xhxh 01 1414 4 1414 44 114114 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 121 xx xxxx xx xx xxxxxhxh 0 2 2 2 1 xx 令 021 xxx 2 3 01 1414 4 0 2 2 2 1 x xx 文科 23 3 单调性 3 0 x单调递减 推导过程 2 11 2 tx 设 112112 2 222 tttxxxh 2 1 t时 xhxx时即3 0 211 2 递减 所以1 0max 22 yx时 另解 设 21 0 xx 1 11 2 11 22 112112 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 121 xx xxxx xx xx xxxxxhxh 0 2 2 2 1 xx 01 11 2 2 2 2 1 xx 21 xhxh 3 0 xxh单调递减 即 xfy 在 3 0单调递减 用心 爱心 专心12 24 理 解 1 n nn aa56 1 1 21 56 n nn aa 2 分 设等比数列 n a的公比是q 则可计算出5 q 4 分 1 n时 305 tt 5 t 5 分 2