第一课时正切函数的定义、图像及性质_第1页
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第一课时 正切函数的定义 图像及性质 一 教学思路 创设情境 揭示课题 常见的三角函数还有正切函数 在前两次课中 我们学习了任意 角的正 余弦函数 并借助于它们的图像研究了它们的性质 今 天我们类比正弦 余弦函数的学习方法 在直角坐标系内学习任 意角的正切函数 请同学们先自主学习课本 P40 探究新知 正切函数的定义 在直角坐标系中 如果角 满足 R k k Z 那么 角 2 的终边与单位圆交于点 P a b 唯一确定比值 根据函数定 a b 义 比值 是角 的函数 我们把它叫作角 的正切函数 记作 a b y tan 其中 R k k Z 2 比较正 余弦和正切的定义 不难看出 tan cos sin R k k Z 2 由此可知 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以比值为函数值 的函数 我们统称为三角函数 下面 我们给出正切函数值的一种几何表示 如右图 单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A 1 0 任意角 x y o T A 210 30 的终边与单位圆交于点 P 过点 A 1 0 作 x 轴的垂线 与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点 从图中可以看出 当角 位于第一和第三象限时 T 点位于 x 轴的上方 当角 位于第二和第四象限时 T 点位于 x 轴的下方 分析可以得知 不论角 的终边在第几象限 都可以构造两 个相似三角形 使得角 的正切值与有向线段 AT 的值相等 因 此 我们称有向线段 AT 为角 的正切线 2 正切函数的图象 1 首先考虑定义域 zkkx 2 2 为了研究方便 再考虑一下它的周期 zkkxRxx x x x x x 2 tan cos sin cos sin tan 且 的周期为 最小正周 zkkxRxxy 2 tan 且 T 期 3 因此我们可选择的区间作出它的图象 2 2 P x y 2 2 根据正切函数的周期性 把上述图像向左 右扩展 得到正切函 数 且的图像 称 正切曲线 Rxxy tan zkkx 2 O 2 3 2 2 2 30 y x 从上图可以看出 正切曲线是由被相互平行的直线 x k k Z 隔开的无穷多支曲线组成的 这些直线叫作正切 2 曲线各支的渐近线 3 正切函数 y tanx 的性质 引导学生观察 共同获得 1 定义域 zkkxx 2 2 值域 R 观察 当 从小于 时 x zkk 2 2 kx xtan 当 从大于 时 x zkk 2 kx 2 xtan 3 周期性 T 4 奇偶性 奇函数 xxtantan 5 单调性 在开区间内 函数单调递增 zkkk 2 2 二 归纳整理 整体认识 1 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些 所涉及的主要 数学思想方法有那些 2
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