例谈一元二次方程区间根问题的应对策略_Fixed

例谈一元二次方程区间根问题的应对策略例谈一元二次方程区间根问题的应对策略 内容摘要 二次函数是高考的重点内容 而三个 二次 关系的考查更能体现学生 的能力 区间根问题是这类问题考查的极好载体 但有些师生对此往往感到棘手 本文以 例题的形式探讨了其常规的四种不同解法 关键词 三个 二次 关系 区间根问题 四种解法 正文 一元二次方程区间根问题是三个 二次 即二次函数 一元二次方程和一元二次不等 式 关系部分考查学生能力的一类常见问题 高考通常不会以单题的形式出现 但不时会 出现在函数性质综合考查的题目中 此问题的解决通常有四种方法 利用一元二次方程 根与系数的关系 即韦达定理 等价转化 利用求根公式等价转化 分离参数后利用 函数求值域等价转化 利用相应二次函数图像的性质等价转化 具体方法的选择要依据 题目特征而定 下面通过举例加以阐释 例 1 已知关于 x 的方程 x2 ax a 1 0 有两正根 求实数 a 的取值范围 解法一 设原方程的两根为 x1 x2 则由一元二次方程根与系数的关系知其有两正根 的充要条件为 解得 1 a 2 2 2 12 12 4 1 0 0 10 aa xxa x xa 2 解法二 由求根公式知须其较小根 2 4 1 0 2 aaa 2 22 4 1 0 0 4 1 aa a aaa 解得 1 a 2 2 2 解法三 设方程的根为 x 则 x 0 x 1 1 由方程得 a 而 x 1 1 由对号函数的图 22 1 1 2 1 22 12 111 xxx x xxx 像及性质知 x 1 即 2 1x 2 2 3 2 121 22 2 1 x x a 1 2 2 2 解法四 设函数 其图像为开口向上的一条抛物线 对称轴为 2 1f xxaxa 则由图 知方程有两正 2 a x 根的充要条件为 解得 1 a 2 0 0 2 00 a f 2 2 点评 此题目涉及根的正负 通常用根与系数关系等价转化较为简单 分离参数后利 用相应函数求值域亦可 也可利用相应二次函数图像的性质求解 若以求根公式等价转化 解之则运算量较大 例 2 已知关于 x 的方程 x2 m 2 x 5 m 0 的两根都大于 2 求实数 m 的取值范围 解法一 由求根公式知只须其较小根 2 2 24 5 2 2 mmm 解得 5 2 162mm 2 2 2 160 20 162 m m mm 4m 解法二 设 其图像为开口向上的抛物线 对称轴为 2 25f xxmxm 如图 可知原方程两根都大于 2 的充要条件为 2 2 m x 解得 5 2 24 50 2 2 2 250 mm m fm 4m 解法三 由原方程得 m x 1 x2 2x 5 原方程的两个根 x1 x2均大于 2 m x 1 x 2 x 1 1 由对号函数的图像知其 2 25 1 xx x 2 14 1 x x 4 1x 值域为 5 4 m 5 4 点评 此题目涉及根都大于一个常数 通常可用求根公式等价转化 也可利用相应二次函 数图像的性质转化 分离参数后可利用函数值域来求解 但要注意一个函数值须对应两个 自变量的取值 若用根与系数关系则运算量较大 且一般等价条件不易寻找 故此法不可 取 例 3 集合 A B 若 A B 求实数 2 2x yyxmx 10 02 xy x y x m 的范围 解法一 由方程组消 y 得且 2 2 10 yxmx xy 2 110 xmx x A B 方程在区间上有解 令 f x 0 2 2 110 xmx 0 2 其图像为开口向上的抛物线 对称轴为 且 f 0 1 0 故 2 11xmx 1 2 m x 由图 图 知 f x 0 在上有解的充要条件为 0 2 2 或 20f 2 140 1 02 2 2230 m m fm 解得 m 1 解法二 同解法一得方程在区间上有解 设此方程的解为 2 110 xmx 0 2 x0 则 x0 显然 x0 0 x0 且由方程得 m 1 0 2 0 2 x0 m 1 2 m 1 2 0 0 00 11x x xx 0 2 00 00 11 22xx xx 点评 解法一利用相应二次函数图像的性质转化解之 而解法二通过分离参数 m 的方 法将问题转化为利用函数求值域而解之 避免了方法一中的分类讨论 且运算量较小 由上三例可见 一元二次方程区间根问题的四种转化方法 要视具体问题特征而选 一般的 根与系数关系常用于涉及根的正负时 求根公式用于两根都大于 或小于 某个 常数时运算量相对较小 分离参数转化为函数值域问题适用于参数便于分离时 而利用相 应的二次函数图像的性质等价转化则具有普遍性 其次 利用相应二次函数图像的性质等价转化时一般从图像开口方向 判别式的正负 对称轴的位置 区间端点函数值的正负等四个方面考虑 同时针对具体方程注意挖掘其方 程本身的隐含条件 以便有利于问题的解决 避免不必要的讨论 如 例 4 已知 二次函数 设不等式 0 的解集为 A aR 2 22f xaxxa f x 又知集合 B 若 A B 求的取值范围 2006 全国高考文13xx a 21 解 由题知 0 又的 4 8 0 设 0 的两根为 且 a f x 2 a f x 1 x 2 x 1 x 1 当 0 时 A 或 又 2 0 2 xa 1 x xx 2 xx 0 fa 由的图像 如图 知 A B 的充要条件为 7 6 f x 3 fa 0 a 6 7 2 当 0 时 A 此时 2 0 a 12 x xxx 0 fa 由的图像 如图 知 A B 的充要条件为 f x 1 fa 2 0 2 a 1 x 综上 1 2 知 2 或 为所求 aa 6 7 点评 此题目亦可用求根公式求解 但仍需挖掘出 2 0 1 x 2 x 12 1 2 3 1 x 2 x 2 x