高三数学简单线性规划的应用.ppt

4 3简单线性规划的应用 一 线性规划问题一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的 或 问题即为线性规划问题 二 线性规划解决的常见问题 1 问题 2 问题 3 问题 4 问题 三 线性规划问题的求解步骤1 根据线性约束条件画出 即不等式或不等式组所确定的平面区域 2 设z 0 画出直线l0 平行移动l0 以确定 的位置 3 解有关方程组 求出最优解对应点的 再代入目标函数求出目标函数的 四 简单线性规划问题应用题的求解步骤1 设未知数 写出约束条件与目标函数 将实际应用问题转化为数学上的线性规划问题 2 解这个线性规划问题 3 根据应用题提出的问题作答 答案 最大值 最小值 资源配置 环境优化 产品配方 合理下料 可行域 最优解所对应的点 坐标 最值 转化 求解 作答 1 线性规划的理论和方法主要在哪几类问题中得到应用 线性规划问题的常见类型有哪些 1 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 物力 资金等资源来完成该项任务 2 线性规划问题的常见类型有 物资调运问题例如已知A1 A2两煤矿每年的产量 煤需经B1 B2两个车站运往外地 B1 B2两车站的运输能力是有限的 且已知A1 A2两煤矿运往B1 B2两车站的运输价格 煤矿应怎样编制调运方案 能使总运费最少 产品安排问题例如某工厂生产甲 乙两种产品 每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A B C三种材料的数量 此厂每月所能提供的三种材料的限制 每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的 这个厂每月应如何安排产品的生产 才能使每月获得的总利润最大 下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管 怎样下料能使损耗最小 2 在利用线性规划求解有关应用问题时 有时候需要根据实际情况 最优解要求是整数 那么 怎样才能正确地得出整数解 在实际应用问题中 有些最优解往往需要整数解 比如人数 车辆数等 而直接根据约束条件得到的不一定是整数解 通常处理的方法有两种 1 利用约束条件画出图形 如果得出的是非整数解 进行适当地调整 可以找与所求出的最优解 非整数解 接近的整数解进行验证 2 在直线的附近找出与此直线距离最近的整点 根据求出的结果给出最优解的整数解 3 我们也可以运用枚举法验证求最优整数解 或者运用平移直线求最优整数解 最优整数解有时并非只有一个 很可能是许多个 应具体情况具体分析 合理的配餐 配料能做到物有所值 物有超值 经济而又实惠 例1 某校食堂以面食和米食为主 面食每百克含蛋白质6个单位 含淀粉4个单位 售价0 5元 米食每百克含蛋白质3个单位 含淀粉7个单位 售价0 4元 学校要给学生配制成盒饭 每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉 应如何配制盒饭 才既科学又使费用最少 解析 设每份盒饭中面食为x百克 米食为y百克 费用z元 则z 0 5x 0 4y 作出不等式组所表示的平面区域如下图所示 变式训练1 某人需要补充维生素 现有甲 乙两种维生素胶囊 这两种胶囊都含有维生素A C D E和最新发现的Z 甲种胶囊每粒含有维生素A C D E Z分别是1mg 1mg 4mg 4mg 5mg 乙种胶囊每粒含有维生素A C D E Z分别是3mg 2mg 1mg 3mg 2mg 若此人每天摄入维生素A至多19mg 维生素C至多13mg 维生素D至多24mg 维生素E至少12mg 那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量 并能获得最大量的维生素Z 作出不等式组表示的平面区域如图所示 作出5x 2y 0 把直线向右上方平移 直线经过可行域上的点M时 z 5x 2y取得最大值 日常生产生活中 对所支配资料能做到科学合理的重组与配置 能够提高劳动效率创造最大经济效益 例2 某工厂生产甲 乙两种产品 每生产1t产品需要的电力 煤 劳动力及产值 如下表所示 该厂的劳动力满员150人 根据限额每天用电不超过180千度 用煤每天不得超过150t 问每天生产这两种产品各多少时 才能创造最大的经济效益 变式训练2 图表信息题 北京华欣公司计划在今年内同时出售 夜莺牌多功能 电子琴和 OK智能型 洗衣机 由于这两种产品的市场需求量非常大 有多少就能销售多少 因此该公司要根据实际情况 如资金 劳动力 确定产品的月供应量 以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力 通过调查 得到关于这两种产品有关数据如下表 试问 怎样确定两种产品的月供应量 才能使总利润达到最大 最大利润是多少 分析 先设出月供应电子琴和洗衣机数量 建立约束条件和目标函数后 再利用图像直观解题 充分利用线性规划知识能够解决生活中节约用材问题 在目前经济危机的状况下 更应大力提倡节约能源 提倡合理有效地配置 创造最佳效益 例3 某工厂制造A种仪器45台 B种仪器55台 现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳 已知钢板有甲 乙两种规格 甲种钢板每张面积2m2 每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个 乙种钢板每张面积3m2 每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个 问甲 乙两种钢板各用多少张才能用料最省 用料最省 是指所用钢板的总面积最小 变式训练3 某厂生产圆桌和衣柜两种产品 现有两种木料 第一种有72m3 第二种有56m3 假设生产每种产品都需要两种木料 生产一张圆桌和一个衣柜所需木料如下表所示 每生产一张桌子可获利润6元 生产一个衣柜可获利润10元 该厂在现有木料条件下 圆桌和衣柜应各生产多少 才能使获得的利润最多 在现有资源 条件不变的情况下 合理地调度 往往也能起到节约运费 节约成本的功效 例4 已知A B C三城市分别有某种机器10台 10台和8台 支持D市18台 E市10台 从A市调一台机器到D E两市运费分别为200元和800元 从B市调一台机器到D E两市运费分别为300元和700元 从C市调一台机器到D E两市运费分别为400元和500元 1 若从A B两市各调x台到D市 当三市28台机器全部调完毕后 求总运费P x 关于x的函数表达式 并求P x 的最大值和最小值 2 若从A市调x台到D市 从B市调y台到D市 当28台机器全部调完毕后 用x y表示总运费P 并求P的最大值和最小值 解析 第一步 列表 分析条件 表1 第二步 确定目标函数 1 设从A市 B市中调x台到D市 调运预想方案如表2 表2 于是 总运费为P x 200 x 300 x 400 18 2x 800 10 x 700 10 x 500 2x 10 17200 800 x 其中 0 x 10 0 18 2x 8 5 x 9 P x max P 5 13200 元 P x min P 9 10000 元 2 设从A市 B市分别调x台 y台到D市 调运预想方案如表3 表3 于是 总运费为 P 200 x 300y 400 18 x y 800 10 x 700 10 y 500 x y 10 17200 100 5x 3y 其中0 x 10 0 y 10 0 18 x y 8 第三步 求出最优点 在xOy平面上 作出上述不等式的可行域如下图中阴影部分 其中l1 x y 18 l2 x y 10 可以发现 当x 10 y 8时 Pmin 9800 当x 0 y 10时 Pmax 14200 变式训练4 甲 乙两地生产某种产品 它们可调出的数量分别为300t 950t A B C三地需要该产品的数量分别为200t 450t 400t 甲地运往A B C三地的费用分别为6元 t 3元 t 5元 t 乙地运往A B C三地的费用分别为5元 t 9元 t 6元 t 怎样调运才能使总运费最省 解析 设甲地生产的某种产品运往A B C三地的数量分别为xt yt 300 x y t 则乙地生产的产品运往A B C三地的数量分别为 200 x t 450 y t 400 300 x y t 总运费z 6x 3y 5 300 x y 5 200 x 9 450 y 6 100 x y 2x 5y 7150 作出可行域 如下图所示 由图可知当7150 z取最大值时 z值最小 即过点 0 300 时 zmin 5650元 即甲地产品全部运往B地 乙地产品运往A B C三地分别为200t 150t 400t时总运费最省为5650元 最优整数解问题 就是在有些线性规划问题中 变量x y要求取整数 因此其最优解也必须为整点 解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题 不考虑整数 再在可行域内适当调整 从而确定最优整数解即可 例5 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车 有9名驾驶员 在建筑某高速公路中 该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务 已知每辆卡车每天往返的次数 A型卡车为8次 B型卡车为6次 每辆卡车每天往返的成本费用情况 A型卡车160元 B型卡车252元 试问 A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低 解析 设每天出动的A型卡车数为x 则0 x 7 每天出动的B型卡车数为y 则0 y 4 因为每天出车的驾驶员最多9名 则x y 9 每天要完成的搬运任务为48x 60y 360 每天公司所花成本费用为z 160 x 252y 本题即求满足不等式组 结合图形可知 在四边形区域上 横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1 3 4 P2 4 4 P3 4 3 P4 5 2 P5 5 3 D 5 4 P6 6 2 P7 6 3 P8 7 1 C 7 2 10个点 作直线l 160 x 252y 0 把l向上方作平行移动 可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4 5 2 所以在点P4 5 2 上 得到的z的值最小 zmin 160 5 252 2 1304 答 当公司每天出动A型卡车5辆 B型卡车2辆时 公司的成本费用最低 变式训练5 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 解法2 特值验证法 由解法1知 目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点 依次取满足条件的整点A0 0 15 A1 1