高中物理必修二知识点总结(人教版)

P 蜡块的位置 v vx vy 涉及的公式 22 yx vvv x y v v tan 第五章第五章 平抛运动平抛运动 5 1 5 1 曲线运动曲线运动 运动的合成与分解运动的合成与分解 1 曲线运动 1 定义 物体运动轨迹是曲线的运动 2 条件 运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上 3 特点 方向 某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向 运动类型 变速运动 速度方向不断变化 F合 0 一定有加速度 a F合方向一定指向曲线凹侧 F合可以分解成水平和竖直的两个力 4 运动描述 蜡块运动 2 运动的合成与分解 1 合运动与分运动的关系 等时性 独立性 等效性 矢量性 2 互成角度的两个分运动的合运动的判断 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动 速度方向不在同一直线上的两个分运动 一个是匀速直线运动 一个是匀变速直线运动 其 v v水 v船 万 v d t min sin d x 万 万 v v tan d 合运动是匀变速曲线运动 a合为分运动的加速度 两初速度为 0 的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线 运动 两个初速度不为 0 的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动 当两个分 运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时 合运动是匀变速直线 运动 否则即为曲线运动 3 有关 曲线运动 的两大题型 1 小船过河问题 模模 型型一 过河时间 t 最短 模型二 直接位移 x 最短 模型三 间接位移 x 最短 触类旁通 1 2011 年上海卷 如图 5 4 所示 人沿平直的河岸以速度 v 行走 且通过不 可伸长的绳拖船 船沿绳的方向行进 此过程中绳始终与水面平行 当绳与河岸的夹角为 时 船的速率为 C sin vA sin v B cos vC cos v D d v v水 v船 当 v水v船时 L v vd x 万 万 cos min sin 万 v d t 万 万 v v cos sin cos min 万 万万 v L vvs v船d 解析 依题意 船沿着绳子的方向前进 即船的速度总是沿着绳子的 根据绳子两端连接的物 体在绳子方向上的投影速度相同 可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速 故 v船 v cos C 正确 2 2011 年江苏卷 如图 5 5 所示 甲 乙两同学从河中 O 点出发 分别沿直线游到 A 点和 B 点后 立即沿原路线返回到 O 点 OA OB 分别与水流 方向平行和垂直 且 OA OB 若水流速度不变 两人在静水中游 速相等 则他们所用时间 t 甲 t 乙的大小关系为 C A t甲t乙 D 无法确定 解析 设游速为 v 水速为 v0 OA OB l 则 t甲 乙沿 OB 运动 乙的速度矢量图如图 4 所示 合速 l v v0 l v v0 度必须沿 OB 方向 则 t乙 2 联立解得 t甲 t乙 C 正确 l v2 v2 0 2 绳杆问题 连带运动问题 1 实质 合运动的识别与合运动的分解 2 关键 物体的实际运动是合速度 分速度的方向要按实际运动效果确定 沿绳 或杆 方向的分速度大小相等 模型四 如图甲 绳子一头连着物体 B 一头拉小船 A 这时船的运动方向不沿绳子 B O O A vA v1 v2 vA 甲乙 处理方法 如图乙 把小船的速度 vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和 v2 v1就是拉绳的 速度 vA就是小船的实际速度 触类旁通 如图 在水平地面上做匀速直线运动的汽车 通过定滑轮用绳子吊起一个物体 若 汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2 则下列说法正确的是 C A 物体做匀速运动 且 v2 v1 B 物体做加速运动 且 v2 v1 C 物体做加速运动 且 v2 v1 D 物体做减速运动 且 v2r 联立 式解得r v 4 7 4 3 g2 0 5 3 5 3 圆周运动圆周运动 向心力向心力 生活中常见圆周运动生活中常见圆周运动 一 匀速圆周运动 1 定义 物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动 物体运动的线速度大小不变的圆周运动即 为匀速圆周运动 2 特点 轨迹是圆 线速度 加速度均大小不变 方向不断改变 故属于加速度改变的变 速曲线运动 匀速圆周运动的角速度恒定 匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变 方 向始终与速度方向垂直的合外力 匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现 匀速圆周运动 具有周期性 3 描述圆周运动的物理量 1 线速度 v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量 是矢量 其方向沿轨迹切线 国际单位 制中单位符号是 m s 匀速圆周运动中 v 的大小不变 方向却一直在变 2 角速度 是描述质点绕圆心转动快慢的物理量 是矢量 国际单位符号是 rad s 3 周期 T 是质点沿圆周运动一周所用时间 在国际单位制中单位符号是 s 4 频率 f 是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数 在国际单位制中单位符号是 Hz 5 转速 n 是质点在单位时间内转过的圈数 单位符号为 r s 以及 r min 4 各运动参量之间的转换关系 2 2 2 2 2 R v Tn TR v nRR T Rv 万万 5 三种常见的转动装置及其特点 模型一 共轴传动 模型二 皮带传动 模型三 齿轮传动 触类旁通 1 一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面 圆锥筒固定 有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动 如图 所示 A的运动半径较大 则 AC A A球的角速度必小于B球的角速度 B A球的线速度必小于B球的线速度 C A球的运动周期必大于B球的运动周期 D A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 解析 小球 A B 的运动状态即运动条件均相同 属于三种模型中的皮带传送 则可以知道 两个小球的线速度 v 相同 B 错 因为 RA RB 则 A B TA TB A C 正确 又因为两小球各 方面条件均相同 所以 两小球对筒壁的压力相同 D 错 所以 A C 正确 r R O B A BA B A BA TT r R v v A B O r R O r R T T R r vv A B A B BA A B r2 r1 A B B A BA n n r r T T vv 2 1 2 1 2 两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示 AB 两点的半径之比 为 2 1 CD 两点的半径之比也为 2 1 则 ABCD 四点的角速度之比 为 1 1 2 2 这四点的线速度之比为 2 1 4 2 二 向心加速度 1 定义 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心 这个加速度叫向心加速度 注 并不是任何情况下 向心加速度的方向都是指向圆心 当物体做变速圆周运动时 向心加 速度的一个分加速度指向圆心 2 方向 在匀速圆周运动中 始终指向圆心 始终与线速度的方向垂直 向心加速度只改变线 速度的方向而非大小 3 意义 描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量 4 公式 2 2 2 2 2 2 rnr T vr r v an 5 两个函数图像 触类旁通 1 如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车 A 小车下装有吊着物体 B 的吊钩 在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度 沿吊臂方向匀速运动的同时 吊钩将物体 B 向上吊起 A B 之间的距 OO anan r r v 一定 一定 A B 离以 d H 2t2 SI SI 表示国际单位制 式中 H 为吊臂离地面的高度 规律变化 对于地面的 人来说 则物体做 AC 速度大小不变的曲线运动 速度大小增加的曲线运动 加速度大小方向均不变的曲线运动 加速度大小方向均变化的曲线运动 2 如图所示 位 于竖直平面上的圆弧轨道光滑 半径为 R OB 沿竖直方向 上端 A 距地面高度为 H 质量为 m 的小球从 A 点由静止释放 到 达 B 点时的速度为 最后落在地面上 C 点处 不计空气阻力 求 1 小球刚运动到 B 点时的加速度为多大 对轨道的压力多大 2 小球落地点 C 与 B 点水平距离为多少 三 向心力 1 定义 做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力 叫做向心力 2 方向 总是指向圆心 3 公式 2 2 2 2 2 2 rnmr T mmvrm r v mFn 4 几个注意点 向心力的方向总是指向圆心 它的方向时刻在变化 虽然它的大小不变 但 是向心力也是变力 在受力分析时 只分析性质力 而不分析效果力 因此在受力分析是 不要加上向心力 描述做匀速圆周运动的物体时 不能说该物体受向心力 而是说该物体受 到什么力 这几个力的合力充当或提供向心力 四 变速圆周运动的处理方法 1 特点 线速度 向心力 向心加速度的大小和方向均变化 2 动力学方程 合外力沿法线方向的分力提供向心力 合外力沿切线方向的 rm r v mFn 2 2 分力产生切线加速度 FT m aT 3 离心运动 1 当物体实际受到的沿半径方向的合力满足 F供 F需 m 2r 时 物体做圆周运动 当 F供 F需 m 2r 时 物体做离心运动 2 离心运动并不是受 离心力 的作用产生的运动 而是惯性的表现 是 F供 gR 小球固定 在轻杆的 一端在竖 直平面内 转动 杆对球可以 是拉力也可 以是支持力 若 F 0 则 mg v mv2 RgR 若 F 向下 则 mg F m v v2 RgR 若 F 向上 则 mg F 或 mv2 R mg F 0 则 0 v gR 小球在竖 直细管内 转动 管对球的弹 力FN可以 向上也可以 向下 依据 mg 判断 若 v v0 FN 0 mv2 0 R 若 vv0 FN向下 球壳外的 小球 在最高点时 弹力FN的 方向向上 如果刚好能通过球壳的最高点 A 则 vA 0 FN mg 如果到达某点后离开球壳面 该点处小 球受到壳面的弹力 FN 0 之后改做斜抛 运动 若在最高点离开则为平抛运动 六 有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析 1 解题步骤 明确研究对象 定圆心找半径 对研究对象进行受力分析 对外力进行正交分解 列方程 将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后 另得数等于 向心力 解方程并对结果进行必要的讨论 2 典型模型 I 圆周运动中的动力学问题 谈一谈 谈一谈 圆周运动问题属于一般的动力学问题 无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况 或者由物体的运动情况求解物体的受力情况 解题思路就是 以加速度为纽带 运用那个牛顿 第二定律和运动学公式列方程 求解并讨论 模型一 火车转弯问题 模型二 汽车过拱桥问题 FN F合 mg h L a 涉及公式 L h mgmgF sinmgtan 万 由 得 R v mF 2 0 万 L Rgh v 0 b 分析 设转弯时火车的行驶速度为 v 则 1 若 v v0 外轨道对火车轮缘有挤压作用 2 若 v v0 内轨道对火车轮缘有挤压作用 a 涉及公式 所以当 R v mFmg N 2 mg R v mmgFN 2 此时汽车处于失重状态 而且 v 越大越明显 因此汽车过拱桥时不 宜告诉行驶 b 分析 当 gRv R v mmgFN 2 1 汽车对桥面的压力为 0 汽车出于完全失重状态 gRv 2 汽车对桥面的压力为 gRv 0mgFN 0 3 汽车将脱离桥面 出现飞车现象 gRv c 注意 同样 当汽车过凹形桥底端时满足 汽车 R v mmgFN 2 对桥面的压力将大于汽车重力 汽车处于超重状态 若车速过大 容易出现爆胎现象 即也不宜高速行驶 触类旁通 1 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的 已知内外 轨道平面与水平面的倾角为 如图所示 弯道处的圆弧半径为 R 若质量为 m 的火车转弯时速度小于 则 A A 内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B 外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C 这时铁轨对火车的支持力等于 D 这时铁轨对火车的支持力大于 解析 当内外轨对轮缘没有挤压时 物体受重力和支持力的合力提供向心力 此时速度为 gRtan 2 如图所示 质量为 m 的物体从半径为 R 的半球形碗边向碗底滑动 滑 倒最低点时的速度为 v 若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是 f 则物体与 碗的动摩擦因数 为 B A B C D mg f 2 mvmgR fR 2 mvmgR fR 2 mv fR 解析 设在最低点时 碗对物体的支持力为 F 则 解得 由 R v mmamgF 2 R v mmgF 2 f F 解得 化简得 所以 B 正确 R v mmg f 2 2 mvmgR fR II 圆周运动的临界问题 A A 常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题 谈一谈 谈一谈 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动 对于物体在竖直平面内做变速圆周运 动的问题 中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况 并且经常出现有关最高点的临界 问题 模型三 轻绳约束 单轨约束条件下 小球过圆周最高点 模型四 轻杆约束 双轨约束条件下 小球过圆周最高点 注意 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 1 临界条件 小球到达最高点时 绳子的拉力或单 轨的弹力刚好等于 0 小球的重力提供向心力 即 gR 2 万万 万万 v R v mmg 2 小球能过最高点的条件 绳万万gR gR vv 对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力 3 小球不能过最高点的条件 实际上球还gR v 没到最高点时就脱离了轨道 1 临界条件 由于轻杆和双轨的支撑作用 小球恰能到达 最高点的临街速度 0 万万 v 2 如图甲所示的小球过最高点时 轻杆对小球的弹力情况 当 v 0 时 轻杆对小球有竖直向上的支持力 FN 其大小等 于小球的重力 即 FN mg 当时 轻杆对小球的支持力的方向竖直向上 大小gR0 v 随小球速度的增大而减小 其取值范围是 gFNm0 v v v O 绳 O R 杆 O v 甲甲 v 乙乙 当时 FN 0 gR v 当时 轻杆对小球有指向圆心的拉力 其大小随速度的增大而增大 gR v 3 如图乙所示的小球过最高点时 光滑双轨对小球的弹力情况 当 v 0 时 轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力 FN 其大小等于小球的重力 即 FN mg 当时 轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力 FN 大小随小球速度的gR0 v 增大而减小 其取值范围是 gFNm0 当时 FN 0 gR v 当时 轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力 其大小随速度的增大gR v 而增大 b a O Q P M O L A F 模型五 小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动 触类旁通 1 如图所示 质量为 0 5 kg 的小杯里盛有 1 kg 的水 用绳子 系住小杯在竖直平面内做 水流星 表演 转动半径为 1 m 小杯通过最 高点的速度为 4 m s g 取 10 m s2 求 1 在最高点时 绳的拉力 2 在最高点时水对小杯底的压力 3 为使小杯经过最高点时水不流出 在最高点时最小速率是多少 答案 1 9 N 方向竖直向下 2 6 N 方向竖直向上 3 m s 3 16 m s 2 如图所示 细杆的一端与一小球相连 可绕过 O 点的水平轴自由转动 现给小 球一初速度 使其做圆周运动 图中 a b 分别表示小球轨道的最低点和最高点 则杆对球的 作用力可能是 AB A a 处为拉力 b 处为拉力 B a 处为拉力 b 处为推力 C a 处为推力 b 处为拉力 D a 处为推力 b 处为推力 3 如图所示 LMPQ 是光滑轨道 LM 水平 长为 5m MPQ 是一半径 R 1 6m 的半圆 QOM 在同一竖直面上 在恒力 F 作用下 质量 m 1kg 的物体 A 从 L 点由静止开始运动 当达到 M 时立即停止用力 欲使 A 刚好能通过 Q 点 则力 F 大小为多少 取 g 10m s2 解析 物体 A 经过Q 时 其受力情况如图所示 由牛顿第二定律得 R v mFmg N 2 两种情况 1 若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑 物体在最高点的速度 v 的限制条件是 gRv 2 若 物体将从最高电起 脱离圆轨道做平抛运动 gRv Q P M mg FN O 物体 A 刚好过 A 时有 FN 0 解得 smgRv 4 对物体从 L 到 Q 全过程 由动能定理得 解得 F 8N 2 2 1 2mvmgRLMF B B 物体在水平面内做圆周运动的临界问题物体在水平面内做圆周运动的临界问题 谈一谈 谈一谈 在水平面内做圆周运动的物体 当角速度 变化时 物体有远离或向着圆心运动 半径变化 的趋势 这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力 存在时方向如何 特别是一些接触力 如静摩擦力 绳的拉力等 模型六 转盘问题 综合应用 1 如图所示 按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A 当 A 通过 与圆心等高的 a 处时 有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动 已知轮子的半径为 R 求 1 轮子的角速度 满足什么条件时 点 A 才能与质点 B 相遇 2 轮子的角速度 满足什么条件时 点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同 处理方法 先对 A 进行受力分析 如图所示 注意在分析时不能忽略摩擦力 当然 如果说明盘面为光滑平面 摩擦力就可以忽略了 受力分析完成后 可 以发现支持力 N 与 mg 相互抵销 则只有 f 充当该物体的向心力 则有 接着可以求的所需的圆周 mgfRnmR T mRm R v mF 222 2 2 2 运动参数等 等效处理 O 可以看作一只手或一个固定转动点 B 绕着 O 经长为 R 的轻绳或 轻杆的牵引做着圆周运动 还是先对 B 进行受力分析 发现 上图的 f 在此图 中可等效为绳或杆对小球的拉力 则将 f 改为 F拉即可 根据题意求出 F拉 带 入公式 即可求的所需参量 万 FRnmR T mRm R v mF 222 2 2 2 O A N mg f 等效为等效为 O B R 解析 1 点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇 即轮子的最低处 则点 A 从 a 处转到 d 处所 转过的角度应为 2n 其中n为自然数 3 2 由h gt2知 质点B从O点落到d处所用的时间为t 则轮子的角速度应满足条件 1 2 2R g 2n 其中n为自然数 t 3 2 g 2R 2 点 A 与质点 B 的速度相同时 点 A 的速度方向必然向下 因此速度相同时 点 A 必然 运动到了 c 处 则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为 2n 其中 n 为自然 数 转过的时间为 12 n t 此时质点 B 的速度为 vB gt 又因为轮子做匀速转动 所以点 A 的速度为 vA R 由 vA vB 得 轮子的角速度应满足条件 其中n为自然数 R gn 12 2 2009 年高考浙江理综 某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车 比赛 比赛路径如下图所示 赛车从起点 A 出发 沿水平直线轨 道运动 L 后 由 B 点进入半径为 R 的光滑竖直圆轨道 离开竖直 圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到 C 点 并能越过壕沟 已 知赛车质量 m 0 1 kg 通电后以额定功率 P 1 5 W 工作 进入竖直轨道前受到的阻力恒为 0 3 N 随后在运动中受到的阻力均可不记 图中 L 10 00 m R 0 32 m h 1 25 m x 1 50 m 问 要使赛车完成比赛 电动机至少工作多长时间 取 g 10 m s2 解析 设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1 由平抛运动的规律 x v1t h gt2 解得 v1 x 3 m s 1 2 R 2h 设赛车恰好越过圆轨道 对应圆轨道最高点的速度为v2 最低点的速度为v3 由牛顿第二 定律及机械能守恒定律得 mg m mv mv mg 2R v2 2 R 1 22 3 1 22 2 解得v3 4 m s 5gh 通过分析比较 赛车要完成比赛 在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin 4 m s 设电动机工作时间至少为t 根据功能关系 Pt FfL mv 由此可得t 2 53 s 1 22min 3 如下图所示 让摆球从图中 A 位置由静止开始下摆 正好到最低点 B 位置时线被拉断 设摆线长为 L 1 6 m 摆球的质量为 0 5kg 摆 线的最大拉力为 10N 悬点与地面的竖直高度为 H 4m 不计空气阻 力 g 取 10 m s2 求 1 摆球着地时的速度大小 2 D 到 C 的距离 解析 1 小球刚摆到 B 点时 由牛顿第二定律可知 由 并带入数据可解的 l v mmgF B m 2 smvB 4 小球离开 B 后 做平抛运动 竖直方向 落地时竖直方向的速度 2 2 1 gtlH gtvy 落地时的速度大小 由 得 22 yB vvv 8smv 2 落地点 D 到 C 的距离 3 5 8 mtvs B 第六章第六章 万有引力与航天万有引力与航天 6 1 6 1 开普勒定律开普勒定律 一 两种对立学说 了解 1 地心说 1 代表人物 托勒密 2 主要观点 地球是静止不动的 地球是宇宙的中心 2 日心说 1 代表人物 哥白尼 2 主要观点 太阳静止不动 地球和其他行星都绕太阳运动 二 开普勒定律 1 开普勒第一定律 轨道定律 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆 的一个焦点上 2 开普勒第二定律 面积定律 对任意一个行星来说 它与太阳的连线在相等时间内扫过相 等的面积 此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动 3 开普勒第三定律 周期定律 所有行星轨道的半长轴 R 的三次方与公转周期 T 的二次方的 比值都相同 即值是由中心天体决定的 通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近kk T a 2 3 似为圆 则半长轴 a 即为圆的半径 我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运 动速率的大小 牛刀小试 1 关于 地心说 和 日心说 的下列说法中正确的是 AB A 地心说的参考系是地球 B 日心说的参考系是太阳 C 地心说与日心说只是参考系不同 两者具有等同的价值 D 日心说是由开普勒提出来的 2 开普勒分别于 1609 年和 1619 年发表了他发现的行星运动规律 后人称之为开普勒行星运动定律 关 于开普勒行星运动定律 下列说法正确的是 B A 所有行星绕太阳运动的轨道都是圆 太阳处在圆心上 B 对任何一颗行星来说 离太阳越近 运行速率就越大 C 在牛顿发现万有引力定律后 开普勒才发现了行星的运行规律 D 开普勒独立完成了观测行星的运行数据 整理观测数据 发现行星运动规律等全部工作 6 2 6 2 万有引力定律万有引力定律 一 万有引力定律 1 月 地检验 检验人 牛顿 结果 地面物体所受地球的引力 与月球所受地球的引力 都是同一种力 2 内容 自然界的任何物体都相互吸引 引力方向在它们的连线上 引力的大小跟它们的质量 m1和 m2乘积成正比 跟它们之间的距离的平方成反比 3 表达式 2 21 r mm GF 1067 6 2211 万万万万kgmNG 4 使用条件 适用于相距很远 可以看做质点的两物体间的相互作用 质量分布均匀的球体也 可用此公式计算 其中 r 指球心间的距离 5 四大性质 普遍性 任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力 相互性 两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力 满足牛顿第三定律 宏观性 一般万有引力很小 只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间 其存在 才有意义 特殊性 两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离 而与它们所处环境 以及周围是否有其他物体无关 6 对 G 的理解 G 是引力常量 由卡文迪许通过扭秤装置测出 单位是 22 kgmN G 在数值上等于两个质量为 1kg 的质点相距 1m 时的相互吸引力大小 G 的测定证实了万有引力的存在 从而使万有引力能够进行定量计算 同时标志着力学实验 精密程度的提高 开创了测量弱相互作用力的新时代 牛刀小试 1 关于万有引力和万有引力定律理解正确的有 B A 不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B 可看作质点的两物体间的引力可用 F 计算 2 21 r mm G C 由 F 知 两物体间距离 r 减小时 它们之间的引力增大 紧靠在一起时 万有引力非常大 2 21 r mm G D 引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的 且等于 6 67 10 11N m2 kg2 2 下列说法中正确的是 ACD A 总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒 B 总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略 C 总结出万有引力定律的物理学家是牛顿 D 第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许 7 万有引力与重力的关系 1 黄金代换 公式推导 当时 就会有 FG 2 2 gRGM R GMm mg 2 注意 重力是由于地球的吸引而使物体受到的力 但重力不是 万有引力 只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力 重力的方向竖直向下 但并不一定指向地心 物体在赤道上重力最小 在两极时重力最大 随着纬度的增加 物体的重力减小 物体在赤道上重力最小 在两极时重力最大 物体随地球自转所需的向心力一般很小 物体的重力随纬度的变化很小 因此在一般粗略的 计算中 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力 即可得到 黄金代换 公式 牛刀小试 设地球表面的重力加速度为 g0 物体在距地心 4 R R 为地球半径 处 由于地球的作用而产生的 重力加速度为 g 则 g g0为 D A 16 1B 4 1C 1 4D 1 16 8 万有引力定律与天体运动 1 运动性质 通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动 2 从力和运动的关系角度分析天体运动 天体做匀速圆周运动运动 其速度方向时刻改变 其所需的向 心力由万有引力提供 即 F需 F万 如图所示 由牛顿第二定律得 从运动的角度分析向心加速度 2 m L GM FmaF 万万 2 2 2 2 2 2 LfL T L L v an 3 重要关系式 2 2 2 2 2 2 2 LfmL T mLm L v m L GMm 牛刀小试 1 两颗球形行星 A 和 B 各有一颗卫星 a 和 b 卫星的圆形轨道接近各自行星的表面 如果两颗 行星的质量之比 半径之比 q 则两颗卫星的周期之比等于 p q q 2 地球绕太阳公转的角速度为 1 轨道半径为 R1 月球绕地球公转的角速度为 2 轨道半径为 R2 那么 太阳的质量是地球质量的多少倍 解析 地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力 月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力 最后 算得结果为 3 2 1 2 2 1 R R 3 假设火星和地球都是球体 火星的质量M1与地球质量M2之比 p 火星的半径R1与地球的半径 2 1 M M R2之比 q 那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比等于 A 2 1 R R 2 1 g g A B p q2C D p q 2 q p q p 9 计算大考点 填补法 计算均匀球体间的万有引力 谈一谈 谈一谈 万有引力定律适用于两质点间的引力作用 对于形状不规则的 物体应给予填补 变成一个形状规则 便于确定质点位置的物 体 再用万有引力定律进行求解 模型 如右图所示 在一个半径为 R 质量为 M 的均匀球体中 紧贴球的边缘挖出一个半径为 R 2 的球形空穴后 对位于球心和空穴中心连线上 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 思路分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可求解 根据 思路分析 所述 引力 F 可视作 F F1 F2 M R MRR MR d GMm F 8 1 3 4 23 4 23 4 2 3 33 2 万万万万万万万万万万万万万 2 2 22 22 21 22 2 2 8 287 2 8 2 8 2 R dd RdRd GMm R d Mm G d GMm FFF R d Mm G R d mM GF万万 则挖去小球后的剩余部分对球外质点 m 的引力为 2 2 22 2 8 287 R dd RdRd GMm 能力提升 某小报登载 年 月 日 国发射了一颗质量为 100kg 周期为 1h 的人造环月 球卫星 一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料 但他记得月球半径约为 地球的 月球表面重力加速度约为地球的 经过推理 他认定该 1 4 1 6 报道是则假新闻 试写出他的论证方案 地球半径约为 6 4 103km 证明 因为G mR 所以T 2 Mm R2 4 2 T2 R3 GM 又G mg得g 故Tmin 2 2 2 Mm R2 GM R2 R3 GM R月 g月 1 4R地 1 6g地 2 2 s 6 2 103s 1 72h 3R地 2g地 3 6 4 106 2 9 8 环月卫星最小周期约为 1 72h 故该报道是则假新闻 6 3 6 3 由由 万有引力定律万有引力定律 引出的四大考点引出的四大考点 1 解题思路 金三角 关系 1 万有引力与向心力的联系 万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力 即 是本章解题的主线索 rnmr T mrm r v mma r GMm 2 2 2 2 2 2 2 2 万有引力与重力的联系 物体所受的重力近似等于它受到的万有引力 即 为对应轨道处的重力加速度 这是本章解题的副线索 gmg r GMm 2 3 重力与向心力的联系 为对应轨道处的重力加速度 适gr T mrm r v mmg 2 2 2 2 用于已知 g 的特殊情况 2 天体质量的估算 模型一 环绕型 谈一谈 谈一谈 对于有卫星的天体 可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动 中心天体对卫星的万有 引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力 利用引力常量 G 和环形卫星的 v T r 中任意两 个量进行估算 只能估计中心天体的质量 不能估算环绕卫星的质量 已知 r 和 T 42 2 32 2 2 GT r Mr T m r Mm G 已知 r 和 v 22 2 G rv M r v m r Mm G 已知 T 和 v 2 2 3 2 2 2 G Tv Mr T m r v m r Mm G 模型二 表面型 谈一谈 谈一谈 对于没有卫星的天体 或有卫星 但不知道卫星运行的相关物理量 可忽略天体自 转的影响 根据万有引力等于重力进行粗略估算 2 2 G gR Mmg R Mm G 变形 如果物体不在天体表面 但知道物体所在处的 g 也可以利用上面的方法 求出天体的质量 处理 不考虑天体自转的影响 天体附近物体的重力等于物体受的万有引力 即 2 2 G hRg Mmg hR Mm G 触类旁通 1 2013 福建理综 13 设太阳质量为M 某行星绕太阳公转周期为T 轨道可视 作半径为r的圆 已知万有引力常量为G 则描述该行星运动的上述物理量满足 A A GM B GM C GM D GM 4 2r3 T2 4 2r2 T2 4 2r2 T3 4 r3 T2 解析 本题考查了万有引力在天体中的应用 是知识的简单应用 由 mr可得 GMm r2 4 2 T2 GM A 正确 4 2r3 T2 2 2013 全国大纲卷 18 嫦娥一号 是我国首次发射的探月卫星 它在距月球表面高度为 200km 的圆形轨道上运行 运行周期为 127 分钟 已知引力常量 G 6 67 10 11N m2 kg2 月球半径约为 1 74 103km 利用以上数据估算月球的质量约为 D A 8 1 1010kg B 7 4 1013kg C 5 4 1019kg D 7 4 1022kg 解析 本题考查万有引力定律在天体中的应用 解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心 力是由月球对卫星的万有引力提供 由 G mr得 M 又 r R月 h 代入数值 Mm r2 4 2 r2 4 2r3 GT2 得月球质量 M 7 4 1022kg 选项 D 正确 3 土星的 9 个卫星中最内侧的一个卫星 其轨道为圆形 轨道半径为 1 59 105 km 公转周 期为 18 h 46 min 则土星的质量为 5 21 1026 kg 4 宇航员站在一颗星球表面上的某高处 沿水平方向抛出一个小球 经过时间 t 小球落到星 球表面 测得抛出点与落地点之间的距离为 L 若抛出时的初速度增大到 2 倍 则抛出点与落 地点之间的距离为 已知两落地点在同一水平面上 该星球的半径为 R 万有引力常数为L3 G 求该星球的质量 M 解析 在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同 根据已知条件可以求出该星球表面 的加速度 需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小 而非 水平方向的位移的大小 然后根据万有引力等于重力 求出该星球的质量 2 2 3 32 Gt LR 5 科学真是迷人 如果我们能测出月球表面的加速度g 月球的半径R和月球绕地球运转 的周期T 就能根据万有引力定律 称量 月球的质量了 已知引力常数G 用M表示月球的 质量 关于月球质量 下列说法正确的是 A A M B M C M D M G gR2 g GR2 2 32 4 GT R G RT 2 32 4 解析 月球绕地球运转的周期T与月球的质量无关 3 天体密度的计算 模型一 利用天体表面的 g 求天体密度 4 3 3 4 3 2 GR g RMmg R Mm G 物体不在天体表面 4 3 3 4 3 2 3 2 GR hRg RMmg hR Mm G 模型二 利用天体的卫星求天体的密度 3 3 4 4 3 4 3 4 4 32 3 3 2 32 3 3 2 2 2 RGT r R GT r R M RM T r m r Mm G 4 求星球表面的重力加速度 在忽略星球自转的情况下 物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小 即 22 万 万 万 万 万 万 R GM g R mM Gmg 牛刀小试 2012 新课标全国卷 21 假设地球是一半径为 R 质量分布均匀的球体 一矿井 深度为d 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零 矿井底部和地面处的重力加速度 大小之比为 A 变形变形 A 1 B 1 C D d R d R 2 R dR 2 dR R 解析 设地球的质量为 M 地球的密度为 根据万有引力定律可知 地球表面的重力加速度 g 地球的质量可表示为 M R3 GM R2 4 3 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零 所以矿井下以 R d 为半径的地球的质量为 M R d 3 解得 M 3M 则矿井底部处的重力加速度 g 所以矿 4 3 R d R GM R d 2 井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比 1 选项 A 正确 选项 g g d R B C D 错误 5 双星问题 特点 四个相等 两星球向心力相等 角速度相等 周期相等 距离等于轨道半径之和 符号表示 L mm m rL mm m r m v m rvmrmF 21 1 2 21 2 1 2 1 1 处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力 即 G m1 2r1 m2 2r2 由此得出 m1m2 L2 1 m1r1 m2r2 即某恒星的运动半径与其质量成反比 2 由于 r1 r2 L 所以两恒星的质量之和 m1 m2 2 T 4 2L3 GT2 牛刀小试 1 2010 年全国卷 如图所示 质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引 力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动 星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L 已知 A B 的 中心和 O 三点始终共线 A 和 B 分别在 O 的两侧 引力常量为 G 1 求两星球做圆周运动的周期 2 在地月系统中 若忽略其他星球的影响 可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B 月球绕 其轨道中心运行为的周期记为 T1 但在近似处理问题时 常常认为月球是绕地心做圆周运动的 这样算得的运行周期为 T2 已知地球和月球的质量分别为 5 98 1024kg 和 7 35 1022kg 求 T2与 T1两者的平方之比 结果保留两位小数 解析 1 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动 它们之间的万有引力提供向心力 则 A 和 B 的向 心力相等 且 A 和 B 与 O 始终共线 说明 A 和 B 有相同的角速度和周期 因此有 m 2r M 2R r R L 联立解得R L r L m m M M m M 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 L mM M T m L GMm 2 2 2 2 3 mMG L T 2 将地月看成双星 由 1 得 2 3 mMG L T 将月球看做绕地心做圆周运动 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 2 2 2 化简得 GM L T 3 2 所以两种周期的平方比值为 1 01 2 1 2 T T M m M 5 98 1024 7 35 1022 5 98 1024 2 2013 山东理综 20 双星系统由两颗恒星组成 两恒星在相互引力的作用下 分别围绕其 连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动 研究发现 双星系统演化过程中 两星的总质量 距离和周期均可能发生变化 若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T 经过一段时间演化 后 两星总质量变为原来的k倍 两星之间的距离变为原来的n倍 则此时圆周运动的周期为 B A T B T C T D T n3 k2 n3 k n2 k n k 解析 本题考查双星问题 解题的关键是要掌握双星的角速度 周期 相等 要注意双星的距离 不是轨道半径 该题考查了理解能力和综合分析问题的能力 由 mr1 2 Mr2 2 GMm r2 GMm r2 r r1 r2得 r 2 r同理有 nr 解得 T1 T B 正确 G M m r2 4 2 T2 Gk M m nr 2 4 2 T2 1 n3 k 6 4 6 4 宇宙速度宇宙速度 卫星卫星 1 涉及航空航天的 三大速度 一 宇宙速度 1 第一宇宙速度 人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇 宙速度 也叫地面附近的环绕速度 v1 7 9km s 它是近地卫星的运行速度 也是人造卫星 最小发射速度 待在地球旁边的速度 2 第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力的束缚 成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上 去的最小速度 v2 11 2km s 离弃地球 投入太阳怀抱的速度 3 第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力的束缚 飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度 v2 16 7km s 离弃太阳 投入更大宇宙空间怀抱的速度 二 发射速度 1 定义 卫星在地面附近离开发射装置的初速度 2 取值范围及运行状态 人造卫星只能 贴着 地面近地运行 skmvv 9 7 1 万 可以使卫星在距地面较高的轨道上运行 skmvv 9 7 1 万 一般情况下人造地球卫星发射速度 smvskmvvv 2 11 9 7 21 万万 万 三 运行速度 1 定义 卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度 2 大小 对于人造地球卫星 该速度指的是人造地球卫星在轨道上 2 2 r GM v r v m r Mm G 的运行的环绕速度 其大小随轨道的半径 r 而 v 3 注意 当卫星 贴着 地面飞行时 运行速度等于第一宇宙速度 当卫星的轨道半径大 于地球半径时 运行速度小于第一宇宙速度 牛刀小试 1 地球的第一宇宙速度约为 8 km s 某行星的质量是地球的 6 倍 半径是地球的 1 5 倍 该行星上的第一宇宙速度约为 A A 16 km sB 32 km sC 46 km sD 2 km s 解析 由公式m G 若M增大为原来的 6 倍 r增大为原来的 1 5 倍 可得v增大为 r 2 v 2 r Mm 原来的 2 倍 2 某行星的质量为地球质量的 16 倍 半径为地球半径的 4 倍 已知地球的第一宇宙速度为 7 9 km s 该行星的第一宇宙速度是多少 解析 思路与第一题相同 答案可易算得为 15 8 km s 3 某星球半径为R 一物体在该星球表面附近自由下落 若在连续两个T时间内下落的高度 依次为h1 h2 则该星球附近的第一宇宙速度为 T hhR 12 2 两种卫星 一 人造地球卫星 1 定义 在地球上以一定初速度将物体发射出去 物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的 人造卫星 2 分类 近地卫星 中轨道卫星 高轨道卫星 地球同步卫星 极地卫星等 3 三个 近似 近地卫星贴近地球表面运行 可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径 在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力 天体的运动轨道可近似看成圆轨道 万有引力提供向心力 4 四个等式 运行速度 vh hR v hR GM v hR v m hR Mm G 1 2 2 角速度 1 33 2 2 h hRhR GM hRm hR Mm G 周期 ThhRT GM hR ThR T m hR Mm G 2 2 3 3 2 2 向心加速度 ah hR a hR GM ama hR Mm G 1 222 二 地球同步卫星 1 定义 在赤道平面内 以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星 2 五个 一定 周期 T 一定 与地球自转周期相等 24h 角速度 也等于地球自转角速度 轨道一定 所有同步卫星的运行方向与地球自转方向一致 轨道平面与赤道平面重合 运行速度 v 大小一定 所有同步卫星绕地球运行的线速度大小一定 均为 3 08km s 离地高度 h 一定 所有同步卫星的轨道半径均相同 其离地高度约为 3 6 104km 向心加速度 an大小一定 所有同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等 约为 0 22m s2 注 所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆 它们都在同一轨道上运动且都相对静 止 3 卫星变轨问题 1 原因 线速度 v 发生变化 使万有引力不等于向心力 从而实现变轨 2 条件 增大卫星的线速度 v 使万有引力小于所需的向心力 从而实现变轨 3 注意 卫星到达高轨道后 在新的轨道上其运行速度反而减小 当卫星的线速度 v 减小时 万有引力大于所需的向心力 卫星则做向心运动 但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速 度反而增大 4 卫星追及相遇问题 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分 但它们都处在同一条 直线上 由于它们轨道不是重合的 因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等 来处理 而是通过卫星运动的圆心角来衡量 若它们初始位置在同一直线上 实际内轨道所转 过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 的整数倍时就是出现最近或最远的时刻 四 与卫星有关的几组概念的比较总结 1 天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的比较 卫星的轨道半径 r 是指卫星绕天体做匀速圆周运动的 半径 与天体半径 R 的关系是 r R h h 为卫星距离天体表面的高度 当卫星贴近天体表面 运动时 可视作 h 0 即 r R 2 卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较 1 卫星运行的加速度 卫星绕地球运行 由万有引力提供向心力 产生的向心加速度满足 其 22 r GM ama r Mm G 万 方向始终指向地心 大小随卫星到地心距离 r 的增大而减小 2 物体随地球自转的向心加速度 当地球上的物体随地球的自转而运动时 万有引力的一个分力使物体产生随地球自转的 向心加速度 其方向垂直指向地轴 大小从赤道到两极逐渐减