三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理知识梳理 知识点一知识点一 中点中点 一 与中点有关的概念一 与中点有关的概念 三角形中线的定义 三角形中线的定义 三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一等腰三角形底边的中线三线合一 底边的中线 顶角的角平分线 底边的高重合 三角形中位线定义三角形中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理 中位线判定定理 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定 斜边中线判定 若三角性一边上的中线等于该边的一半 则这个三角形是直角三角形 二 与中点有关的辅助线二 与中点有关的辅助线 方法一 倍长中线方法一 倍长中线 解读 凡是出现中线或类似中线的线段 都可以考虑倍长中线 倍长中线的目的可以旋转等长度的线段 从而达到将条件进行转化的目的 方法二 构造中位线方法二 构造中位线 解读 凡是出现中点 或多个中点 都可以考虑取另一边中点 或延长三角形一边 从而达到构造三角形 中位线的目的 方法三 构造三线合一方法三 构造三线合一 解读 只要出现等腰三角形 或共顶点等线段 就需要考虑构造三线合一 从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四 构造斜边中线方法四 构造斜边中线 解读 只要出现直角三角形 或直角 则考虑连接斜边中线段 第一可以出现三条等线段 第二可以出现 两个等腰三角形 从而转化线段关系 其他位置的也要能看出 常见考点常见考点 构造三角形中位线构造三角形中位线 考点说明 凡是出现中点 或多个中点 都可以考虑取四边形对角线中点四边形对角线中点 等腰三角形底边中点 直等腰三角形底边中点 直 角三角形斜边中点或其他线段中点角三角形斜边中点或其他线段中点 延长三角形一边 从而达到构造三角形中位线的目的 题中有中点 莫忘中位线 与此很相近的几何思想是 题中有中线 莫忘加倍延 这两个是常用几何思 想 但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来 平移也有类似作用 典型例题典型例题 EDCB A CEDB A 例 1 已知 是的中线 是的中线 且 求证 ADABC AEABD ABBD 2ACAE 举一反三举一反三 1 如右下图 在中 若 为边的中点 求证 ABC 2BC ADBC EBC2ABDE 2 在中 以为底作等腰直角 是的中点 求证 ABC 90ACB 1 2 ACBC BCBCD ECD 且 AEEB AEBE E D C BA 例 2 已知四边形的对角线 分别是 的中点 连结分别交 ABCDACBD EFADBCEFAC 于 求证 BDMNAMNBNM MN F E D C B A 举一反三举一反三 1 已知四边形中 分别是的中点 交于 交于 ABCDACBD EF ADBC EFACMEFBDN 和交于点 求证 ACBDGGMNGNM G B C D E F M N A 2 已知 在中 动点绕的顶点逆时针旋转 且 连结 过 ABC BCAC DABC AADBC DC 的中点 作直线 直线与直线 分别相交于点 ABDCEFEFADBCMN M N A B E F D C N M F E D C B A 1 如图 1 当点旋转到的延长线上时 点恰好与点重合 取的中点 连结 DBCNFACHHEHF 求证 AMFBNE 2 当点旋转到图 2 中的位置时 与有何数量关系 请证明 DAMF BNE 例 3 如图 在五边形中 为的中点 求证 ABCDE90ABCAED BACEAD FCD BFEF E DFC B A 举一反三举一反三 1 如图所示 在三角形 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 CA CB 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作直线 CA CB 的垂线 相交于点 P 设线段 PA PB 的中点分别为 M N 求证 1 DEMFDN 2 PAEPBF N M P F E D C B A 3 已知 在中 分别以 为斜边作等腰直角三角形 和 是边的中点 ABC ABACABMCANPBC 求证 PM PN P N M CB A 4 如图所示 已知和都是直角三角形 且 连接 设为的中 ABD ACE 90ABDACE DEMDE 点 1 求证 MBMC 2 设 固定 Rt 让 Rt移至图示位置 此时是否成立 请证明你 BADCAE ABD ACE MBMC 的结论 E M D C B A E M D C B A 5 在 ABC 中 AB AC 分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的外侧作等腰直角三角形 M 是 BC 边中 点中点 连接 MD 和 ME 1 如图 1 所示 若 AB AC 则 MD 和 ME 的数量关系是 E D M B C A ED M B C A M B C A 2 如图 2 所示 若 AB AC 其他条件不变 则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系 请给出证明过 程 3 在任意 ABC 中 仍分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的内侧作等腰直角三角形 M 是 BC 的中 点 连接 MD 和 ME 请在图 3 中补全图形 并直接判断 MED 的形状 图 1 图 2 图 3 例 4 以的两边 为腰分别向外作等腰和等腰 ABC ABACRt ABD Rt ACE 90BADCAE 连接 分别是 的中点 探究 与的位置关系及数量关系 DEMNBCDEAMDE 1 如图 当为直角三角形时 与的位置关系是 线段与的数量关系ABC AMDEAMDE 图 24 3 是 2 将图 中的等腰绕点沿逆时针方向旋转 后 如图 所示 1 问中得到Rt ABD A 090 的两个结论是否发生改变 并说明理由 N M E D C B A N M E D C B A 举一反三举一反三 1 1 如图 1 分别是的外角平分线 过点作 垂足分别为 BDCEABC A ADBDAECE 连接 求证 DE DE 1 2 DEBCDEABBCAC 2 如图 2 分别是的内角平分线 其他条件不变 BDCE ABC 3 如图 3 为的内角平分线 为的外角平分线 其他条件不变 则在图 2 BDABC CEABC 图 3 两种情况下 还平行吗 它与三边又有怎样的数量关系 请你写出猜测 并给与证 DEBC ABC 明 1 E D CB A 2 BC E D A F A B C D E 3 2 已知中 边上的高线与的两条内角平分线 分别交于 ABC 90ACB ABCHABC AMBNP 两点 的中点分别为 求证 QPMQNEFEFAB Q P E F M N H CB A 例 5 等腰梯形中 与交于点 分ABCDABCD ACBD ACBDO60AOB PQR 别是 的中点 求证 是正三角形 OABCODPQR Q P R O DC BA 举一反三举一反三 1 是的中线 是的中点 的延长线交于 求证 ADABC FADBFACE 1 3 AEAC F A D E CB 例 6 如左下图 在梯形中 分别是 中点 求证 且ABCDABCD EFACBDEFAB 1 F E D C B A 1 2 EFABCD F E CD BA 举一反三举一反三 2 在课外小组活动时 小慧拿来一道题 原问题 和小东 小明交流原问题 如图 1 已知 ABC 分别以为边向外作和 且 90ACB 45ABC AB BC ABD BCE DADB EBEC 连接交于点 探究线段与的数量关系 90ADBBEC DEABFDFEF 小慧同学的思路是 过点作于 构造全等三角形 通过推理使问题得解 DDGAB G 小东同学说 我做过一道类似的题目 不同的是 30ABC 60ADBBEC 小明同学经过合情推理 提出一个猜想 我们可以把问题推广到一般情况 请你参考小慧同学的思路 探究并解决这三位同学提出的问题 1 写出原问题中与的数量关系 DFEF 2 如图 2 若 原问题中的其他条件不变 你在 1 中得到 30ABC 60ADBBED 的结论是否发生变化 请写出你的猜想并加以证明 3 如图 3 若原问题中的其他条件不变 你在 1 中得到的结论是否发 2 ADBBECABC 生变化 请写出你的猜想并加以证明 2 F E D C B A 3 F E D C B A 真题演练真题演练 1 已知 中 中 连接 点 AOB 2ABOB COD 3CDOC ABODCO ADBC 分别为 的中点 MNPAODOBC 1 如图 1 若 三点在同一直线上 且 60ABO 则 PMN 的形状是 AOC 此时 AD BC 2 如图 2 若 三点在同一直线上 且 证明 并计算的 AOC2ABO PMN BAO AD BC 值 用含的式子表示 3 在图 2 中 固定 将绕点旋转 直接写出的最大值 AOB COD OPM N P O M D C BA O P N M D C B A 图 1 图 2 2 如图 D 是 ABC 中 AB 边的中点 BCE 和 ACF 都是等边三角形 M N 分别是 CE CF 的中点 1 求证 DMN 是等边三角形 2 连接 EF Q 是 EF 中点 CP EF 于点 P 求证 DP DQ 同学们 如果你觉得解决本题有困难 可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考 小聪同学发现此题条件中有较多的中点 因此考虑构造三角形的中位线 添加出了一些辅助线 小慧同学想到要证明线段相等 可通过证明三角形全等 如何构造出相应的三角形呢 她考虑将 NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置 由此猜想到了所需构造的三角形的位置 3 在 ABC 中 D 为 BC 边的中点 在三角形内部取一点 P 使得 ABP ACP 过点 P 作 PE AB 于点 N M D E F AB C E PF AC 于点F 1 如图 1 当 AB AC 时 判断的 DE 与 DF 的数量关系 直接写出你的结论 2 如图 2 当 ABAC 其它条件不变时 1 中的结论是否发生改变 请说明理由 图 1 图 2 4 探究问题 已知 AD BE 分别为 ABC 的边 BC AC 上的中线 且 AD BE 交于点 O A E F P BDCC E B A D FP 1 ABC 为等边三角形 如图 1 则 AO OD 2 当小明做完 1 问后继续探究发现 若 ABC 为一般三角形 如图 2 中的结论仍成立 请你 给予证明 3 运用上述探究的结果 解决下列问题 如图 3 在 ABC 中 点 E 是边 AC 的中点 AD 平分 BAC AD BE 于点 F 若 AD BE 4 求 ABC 的周长 O E D C B A O E D CB A F E D C B A 图 1 图 2 图 3 5 如图 1 在四边形ABCD中 AB CD E F 分别是BC AD 的中点 连结EF并延长 分别与 BACD 的延长线交于点M N 则 BMECNE 不需证明 温馨提示 在图 1 中 连结BD 取BD的中点H 连结HE HF 根据三角形中位线定理 证明 HEHF 从而 12 再利用平行线性质 可证得 BMECNE 问题一 如图 2 在四边形ADBC中 AB与CD相交于点O AB CD E F 分别是BC AD 的 中点 连结EF 分别交DC AB 于点M N 判断 OMN 的形状 请直接写出结论 问题二 如图 3 在 ABC 中 AC AB D点在AC上 AB CD E F 分别是BC AD 的中 点 连结EF并延长 与BA的延长线交于点G 若 60EFC 连结GD 判断AGD 的形状并证 明 D G F E C B A N M O F E D C B A E F H N M D C B A 图 1 图 2 图 3 6 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为 请你用此性质解决下面的问题 2 1 已知 如图 点为等腰直角三角形的重心 直线过点 过三点分别作 OABC90CAB mOABC 直线的垂线 垂足分别为点 mDEF 1 当直线与平行时 如图 1 请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明 mBCBECF AD 2 当直线绕点旋转到与不平行时 分别探究在图 2 图 3 这两种情况下 上述结论是否还成 mOBC 立 若成立 请给予证明 若不成立 线段三者之间又有怎样的数量关系 请写出你的结 ADBECF 论 不需证明 3 2 1 D O A B C m E F O A B C m E F D DF E m C B A